CHAPITRE XXIV

§1. — Dans le premier Livre, nous avons reconnu que toutes les assertions exprimables par des mots portent sur une ou plusieurs des cinq choses suivantes : l'Existence, l'Ordre dans le Lieu, l'Ordre dans le Temps, la Causation et la Ressemblance (1). Mais la Causation n'étant pas, à notre point de vue, essentiellement différente de l'Ordre dans le Temps, le nombre des propositions possibles est réduit à quatre. Les propositions qui affirment l'Ordre dans le Temps, selon l'un ou l'autre de ses deux modes, la Coexistence et la Succession, ont été jusqu'ici le sujet du présent Livre. Nous avons exposé aussi complètement que possible, dans les limites assignées à cet ouvrage, la nature de la preuve sur laquelle reposent ces propositions, ainsi que les procédés d'investigation par lesquels elles sont vérifiées et démontrées. Restent trois classes de faits, l'Existence, l'Ordre dans le Lieu et la Ressemblance, à l'égard desquelles nous avons maintenant les mêmes questions à résoudre.

De la première, il n'y a que très-peu de chose à dire. L'Existence en général est un sujet qui n'appartient pas à notre science, mais à la métaphysique. La détermination des choses qui peuvent être reconnues réellement existantes, indépendamment de nos propres sensations ou autres impressions, et du sens dans lequel le terme Existence leur est dans ce cas appliqué, dépendent de la considération des « choses en soi » ; question que, dans tout le cours de cet ouvrage, nous avons, autant que possible, évité d'aborder. L'existence, au point de vue de la Logique, n'a rapport qu'aux phénomènes, aux états actuels ou possibles de conscience externe ou interne, en nous-mêmes et dans les autres. Les sentiments des êtres sensibles, ouïes possibilités

(1) Vol. I, p. 115.

d'avoir ces sentiments, sont les seules choses dont l'existence puisse être le sujet d'une induction logique, parce que ce sont les seules choses dont l'existence puisse, dans des cas particuhers, tomber sous l'expérience.

A la vérité, nous disons qu'une chose existe, lors même qu'elle est absente, et que, par conséquent, elle n'est ni ne peut être perçue. Mais même alors le mot Existence exprime uniquement la conviction où nous sommes que nous percevrions cette chose à certaines conditions, à savoir, si nous nous trouvions dans les circonstances requises de temps et de lieu, et si nos organes étaient assez parfaits. Croire que l'empereur de la Chine existe, c est simplement croire que , si l'on était transporté au palais impérial ou en quelque autre endroit de Pékin, on le verrait. Croire que .Iules César a existé, c'est croire qu'on l'aurait vu si l'on s'était trouvé sur le champ de bataille de Pharsale ou dans le sénat, à Rome. Quand je crois qu il existe des étoiles au delà de la portée extrême de ma vue, aidée des plus puissants télescopes, ma croyance, philosophiquement définie, revient à ceci, qu'avec de meilleurs télescopes, s'il en existait, je pourrais voir ces étoiles, ou bien encore qu'elles pourraient être aperçues par des êtres placés à un point de l'espace moins éloigné d'elles, ou doués de facultés de perception supérieures aux miennes.

L'existence d'un phénomène n'exprime donc que le fait fie sa perception actuelle par nous, ou la possibilité de le percevoir établie par voie d'inférence. Lorsque le phénomène a lieu dans les limites de notre observation immé- «Jiate, l'observation nous garantit son existence; quand il se produit au delà de ces hmitcs, ce qui fait dire qu'il est absent, nous en inférons l'existence d'après certains indices ou certaines preuves. Mais que peuvent être ces preuves? d'autres phénomènes, reconnus par induction, liés à ce phénomène par un rapport de succession ou de coexistence. La simple existence d'un phénomène individuel doit donc, lorsqu'il n'est pas directement perçu, être inférée de quelque ioi inductive de succession ou de coexistence, et, par con-

uo

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séquent, ne relève d'aucun principe inductif particulier. Nous prouvons l'existence d'une chose en prouvant qu'elle est liée par succession ou coexistence à une autre chose

connue.

Quant aux propositions générales de cette classe, c'est-àdire celles qui affirment simplement l'existence, elles présentent une particularité qui facihte beaucoup leur mise en œuvre logique. Ce sont des générahsations qu'un seul exemple suffit à prouver. L'existence de fantômes, d'unicornes, de serpents de mer, serait pleinement établie si l'on pouvait constater avec certitude que de pareilles choses ont été vues une seule fois. Tout ce qui est arrivé une fois peut arriver encore. La question est seulement de déterminer les conditions de son apparition.

Ainsi donc, en ce qui concerne la simple existence, la Logique inductive n'a pas de nœuds à déher. Nous pouvons dés'' lors passer aux deux dernières grandes divisions des faits, la Ressemblance et l'Ordre dans l'Espace.

§ 2. — La Ressemblance et la Dissemblance, hors le cas où elles prennent les noms d'Égalité et d'Inégalité, sont à peine des objets de science ; on les suppose perçues par simple appréhension, par l'application de nos sens ou la direction de notre attention à deux objets à la fois ou en succession immédiate, et cette application simultanée (ou virtuellemenl simultanée) de nos facultés aux deux choses à comparer, est nécessairement le dernier appel, toutes les fois qu'elle est praticable. Mais dans la plupart des cas elle ne l'est pas, les objets ne pouvant pas être assez rapprochés les uns des autres pour que le sentiment de leur ressemblance puisse être directement, au moins avec une précision suffisante, excité dans notre esprit. Notre seule ressource est de les comparer chacun séparément avec un troisième, qu'il est possible de transporter de l'un à l'autre. Rien plus, lors même que les objets peuvent être immédiatement juxtaposés, nous ne connaissons qu'imparfaitement leur ressemblance ou leur différence, tant que nous ne les avons pas comparés minu-

tieusement, partie par partie. Jusqu'alors des choses réellement très -dissemblables présentent souvent une similitude apparente qui ne permet pas de les distinguer. Deux lignes de longueur très-inégale paraîtront à peu près égales si elles sont dirigées dans différents sens, mais plaçons-les parallèlement, leur inégalité pourra être directement perçue.

n n'est donc pas toujours aussi facile qu'il peut le sembler d'abord de constater si deux phénomènes se ressemblent ou diffèrent. Quand l'observateur ne peut pas les juxtaposer, au moins de façon à rendre possible une comparaison détaillée de leurs diverses parties, il est forcé d'employer les moyens indirects, le raisonnement et les propositions générales. Lorsque nous ne pouvons pas rapprocher deux lignes droites pour reconnaître si elles sont égales, nous recourons à deux auxiliaires, l'un matériel, c'est la règle graduée que nous appliquons successivement aux deux lignes ; l'autre logique, qui est cette proposition ou formule générale : « Deux choses égales à une troisième sont égales entre » elles. » La comparaison de deux choses par le moyen d'une troisième, quand leur comparaison directe est impossible, est essentiellement le procédé scientifique pour constater les ressemblances et les dissemblances; et là se borne tout ce que la Logique a à nous apprendre sur ce point.

C'est pour avoir exagéré la portée de cette observation que Locke fut conduit à considérer le raisonnement luimême comme une simple comparaison de deux idées par 1 intermédiaire d'une troisième, et toute connaissance comme la perception de l'accord ou du désaccord de deux idées ; •loctrine adoptée aveuglément par l'école de Gondillac, sauf les restrictions et les distinctions dont son illustre auteur avait eu soin de l'accompagner. A la vérité, lorsque l'accord ou le désaccord, en d'autres termes, la ressemblance ou la dissemblance de deux choses, est fobjet même à déterminer, comme c'est particulièrement le cas dans la science des nombres et de l'étendue, le procédé indirect d'arriver à la solution, à une perception immédiate, consiste à com-

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parer les deux choses au moyen d'une troisième. Mais il n'en est pas ainsi, tant s'en faut, dans toutes les recherches. Nous connaissons que les corps tomhent, non par la perception d'un accord ou d'un désaccord, mais parcelle d'une série de faits physiques, par une succession de sensations. Les définitions de Locke devraient être restreintes à la connaissance et au raisonnement relatifs aux Ressemblances. Et, même ainsi restreintes, les propositions ne seraient pas rigoureusement exactes, puisque la comparaison ne porte pas, comme il le prétend, sur les idées des phénomènes, mais sur les phénomènes mêmes. Cette méprise a été signalée précédemment (1), et nous l'avons attribuée à l'imparfaite conception du procédé employé dans les mathématiques, consistant à comparer les idées elles-mêmes sans faire appel aux sens extérieurs, uniquement parce que, en mathématiques, la comparaison des idées est rigoureusement équivalente à celle des phénomènes mêmes. Quand il s'agit de nombres, de lignes, de figures, et généralement dans tous les cas où l'idée d'un objet en est la représentation complète, nous pouvons naturellement apprendre de l'image tout ce que nous aurions appris de l'objet lui-même en le contemplant tel qu'il existe au moment précis où la peinture mentale l'a reproduit. Nous n apprendrions jamais, en nous bornant à regarder de la poudre à canon, qu'elle ferait explosion au contact d'une étincelle, et, par conséquent, la contemplation de ridée de la poudre à canon ne nous l'apprendrait pas davantage. Mais il suffit de voir une ligne droite pour voir qu'elle ne peut enclore un espace, et, par suite, la contemplation de son idée nous montrera la même.chose. Ainsi, ce qui se fait en mathématiques ne prouve nullement que la comparaison ait lieu entre les idées seulement. La comparaison porte toujours, directement ou indirectement, sur les phénomènes.

Dans les cas où nous ne pouvons, du moins avec la préci-

(1) Plus haut, liv. I, chap. v, § d , et liv. H, chap. v, § 5.

sion nécessaire, soumettre les phénomènes au témoignage direct des sens, et où la question de leur ressemblance ne peut être jugée que par inférence d'autres ressemblances ou dissemblances plus accessibles à l'observation, il nous faut, comme pour tout autre raisonnement, des généralisations ou formules applicables au sujet. Nous devons alors partir des lois de la nature, des uniformités de similitude ou de différence observables.

§ 3. — De toutes ces lois ou uniformités, les plus compréhensives sont celles qui appartiennent aux mathématiques, telles que les axiomes relatifs à l'égalité, à rinégahté, à la proportionnalité, et les divers théorèmes dont ils sont le fondement. Et ce sont là les seules Lois de Ressemblance qui doivent et qui puissent être traitées à part. Il y a sans doute une quantité innombrable d'autres théorèmes énonçant des ressemblances entre les phénomènes, comme les suivants : que l'angle de réflexion de la lumière est égal à Tangle d'incidence (égalité qui n'est qu'une ressemblance exacte de grandeur) ; que les corps célestes décrivent des aires égales dans des temps égaux, et que leurs périodes de révolution sont proportionnelles (autre sorte de ressemblance) aux puissances sesquidoubles de leurs distances à la force centrale. Ces propositions portent sur des ressemblances de même nature que celles énoncées dans les théorèmes de mathématiques; mais avec cette différence, que les théorèmes mathématiques sont vrais de tous les phénomènes, au moins sans distinction d'origine, tandis que ces autres vérités ne se rapportent qu'à des phénomènes spéciaux ayant une origine déterminée, et que les égalités, les proportionnalités ou autres ressemblances existant entre ces phénomènes doivent être, ou identiques avec la loi de leur origine, avec la loi de causaUté dont ils dépendent, ou en être dérivées. L'égahté des aires décrites dans des temps égaux par les planètes dérim des lois des causes, et avant que cette dérivation fût montrée, c'était une loi empirique. L'égalité des angles de réflexion et d'incidence est identique avec l'a loi de la cause ; car cette cause

llltl

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estrincidence d'un rayon lumineux sur une surface réfléchissante, et Fégalité en question est la loi même selon laquelle la cause produit ses efl'ets. Ces uniformités de ressemblance entre les phénomènes sont donc inséparables, en fait et dans la pensée, des lois de la production de ces phénomènes; et les principes d'induction qui leur sont applicables sont les mêmes que nous avons exposés dans les précédents chapitres de ce Livre.

Il en est autrement des vérités mathématiques. Les lois d'égalité et d'inégaHté entre les étendues ou les nombres ne dépendent nullement de lois de causalité. Le théorème de l'égalité de l'angle de réflexion et de l'angle d'incidence est l'énoncé du mode d'action d'une cause particulière ; mais celui de l'égalité des angles opposés formés par deux droites qui se coupent vaut pour toutes les hgnes et tous les angles, quelle que soit la cause qui les produit. Le fait, que les carrés des temps périodiques de la révolution des planètes sont proportionnels aux cubes de leurs distances au soleil, est une uniformité dérivée des lois des causes qui produisent les mouvements planétaires, à savoir, la force centrale et la force tangentielle ; mais cette vérité, que le carré d'un nombre est quatre fois le carré de la moitié de ce nombre, est indépendante de toute cause. Ainsi donc, les seules lois de ressemblance indépendantes de toute causation que nous ayons à considérer sont du domaine des mathématiques.

§ A. — Il en est évidemment de même pour la dernière de nos cinq catégories, l'Ordre dans le Lieu. L'ordre dans le lieu des efl'ets d'une cause est (comme toute autre circonstance des effets) une conséquence des lois de la cause. L'ordre dans le lieu, ou, comme nous l'avons appelé, la Collocation des causes primordiales, est dans chaque cas (aussi bien que leur ressemblance) un fait ultime qu'on ne peut rapporter à aucune loi, à aucune uniformité. Les seule^ propositions générales relatives à l'ordre dans le lieu qui nous restent à considérer, et les seules qui soient indépeiidnntes de toute causation, se réduisent à quelques vérités

de géométrie, quelques lois au moyen desquelles on peut, de l'ordre dansle lieu de certains points, hgnes ou figures, conclure l'ordre d'autres points, lignes ou figures, hés aux premiers par des rapports connus, et sans égard d'ailleurs à leur nature particulière, si ce n'est quant aux positions et aux grandeurs, non plus qu'à la cause physique qui peut, dans tel ou tel cas, les avoir déterminés.

On voit donc que les mathématiques sont la seule partie de la science dont il nous reste à examiner les méthodes ; sans qu'il soit nécessaire d'en traiter très au long, ayanl déjà, dans le second Livre, fort avancé cette recherche. Nous avons alors remarqué que les vérités directement inductives des mathématiques sont peu nombreuses, qu'elles consistent en axiomes et en certaines propositions concernant l'existence, tacitement impliquées dans la plupart des prétendues définitions. Nous avons donné des raisons concluantes, démontrant que ces prémisses primitives dont sont déduites les autres vérités de la science sont, malgré toutes les apparences du contraire, les résultats de l'observation et de l'expérience ; en un mot, qu'elles ont pour fondement l'évidence sensible! Que des choses égales à une même chose sont égales entre elles, et que deux lignes droites qui se coupent continuent de diverger; ce sont là des vérités inductives. Ces propositions ne reposent, à la vérité, comme la loi de causalité universelle, que sur Vinduciion per enumeratioiiem simplicem, sur le fait qu'elles ont toujours été trouvées vraies et jamais fausses. Mais nous avons vu dans un précédent chapitre que cette preuve, dans le cas d'une loi aussi complètement universelle que la loi de causalité, suffit pour déterminer la plus entière certitude. Or, il en est de même, et plus évidemment encore, des propositions générales dont nous nous occupons maintenant; car la perception de leur vérité, dans un cas particuher quelconque, n'exigeant pas autre chose que la simple vue des objets dans une situation convenable, elles n'ont jamais pu présenter (comme dans une longue période la loi de causation) des cas d'exception apparente. Leur infaillible vérité a été reconnue dés le pre- "• 10

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mier pas de la spéculation. Devenues si familières à Tesprit qu'il ne peut plus concevoir les objets sous d'autres luis, elles ont été et sont encore généralement considérées comme des vérités évidentes par elles-mêmes ou instinctives.

§ 5. Un point qui semble exiger des éclaircissements, c'est que la muUitude immense (et toujours aussi inépuisable que jamais) des vérités malhémati(iues puisse être tirée d'un si petit nombre de lois élémentaires. On ne voit pas, au premier abord, comment des sujets en apparence si limités peuvent donner lieu à cette infinie variété de propositions vraies.

Commençons par la science des nombres. Ses vérités élémentaires ou primitives sont d'abord des axiomes communs sur l'égalité : << Des cboses égales à une même cbose sont égales entre elles », — Des quantités égales ajoutées à des quantités égales donnent des sommes égales»; et avec ces axiomes (les seuls nécessaires) ^1), les définitions des divers nombres. Ces définitions (comme d'autres définitions prétendues) comprennent deux choses : l'explication d'un nom et l'assertion d'un fait, dont la dernière seule peut constituer

(1) Cet axiome : « Des quantités égales soustraites de quantités égales laissent des différences égales » , peut se démontrer par les deux axiomes cités dans le texte. Si A = a et B = 6, A — B = a — h. Si non, supposons A — B a — 6 -|- c. Alors, puisque B= fc, nous aurons, en ajoutant des quantités égales à des quantités égales : A = a + c. Mais A =- a. Donc, a = a + c,

ce qui est absurde.

Cette proposition démontrée, nous pouvons nous en servir pour prouver la suivante : « Si à des quantités inégales on ajoute des quantités égales, les sommes sont inégales. » Si A = a et B non = b, A -j- B n'est pas =a + l- En etîet, supposons cette égalité. Alors, puisque A -= a et que A + 6 = « + b, en retranchant des quantités égales de quantités égales, B = 6, ce qui est contraiie à la supposition.

De même encore, on peut prouver que deux choses dont lune est égale et l'autre inégale à une troisième, sont inégales entre elles. Si A = a et A non r= B, a non plus = B. En effet, supposons-le égal. Alors, puisque A =--^ a d a = B, et que deux choses égales à une troisième sont égales entre elles, A = B, ce qui et^t contraire à la supposition.

DES AUTBES LOIS DE LA NATURE. uj

un premier principe, une prémisse scientifique. Le fait énoncé dans la définition d'un nombre est un fait physique. Chacun des nombres, deux, trois, quatre, etc., dénote des phénomènes physiques et connote une propriété physique de ces phénomènes. Par exemple, deux dénote toutes les paires, et douze toutes les douzaines d'objets ; lesquels connotent' ce qui en fait des paires et des douzaines, c'est-à-dire une propriété physique. On ne niera pas, en eflet, que deux pommes ne puissent être physiquement distinguées de trois pommes, deux chevaux d'un seul, etc., que ce sont là des phénomènes différents, visibles et tangibles. Je n'entreprends pas de dire ce qu'est la différence; il suffît qu'il y ait une diff^érence perceptible par les sens ; et bien qu'il soit plus difficile de distinguer cent deux chevaux de cent trois que deux chevaux de trois ; bien que dans la plupart des positions où ils se présentent, les sens ne perçoivent aucune diff'érence, ils peuvent néanmoins être placés de façon que la différence devienne perceptible, car sans cela jamais nous n'aurions distingué ces groupes, ni pensé à leur donner des noms différents. Le poids est incontestablement une propriété physique des choses. Cependant de petites diff'érences entre de grands poids sont, dans la plupart des cas, imperceptibles à nos sens, de même que de petites différences entre de grands nombres ; et Ton ne parvient à les mettre en évidence qu'en plaçant les deux objets dans une position particulière, à savoir, dans les plateaux opposés d'une balance trèssensible.

Qu'est-ce donc que connote un nom dénombre? Naturellement quelque propriété appartenant à l'agrégat de choses que nous désignons par ce nom ; et cette propriété n'est autre chose que la manière caractéristique dont les parties de cet agrégat y sont réunies et en lesquelles il peut être

divisé. Pour éclaircir ceci, quelques explications sont nécessaires.

Quand nous désignons une collection d'objets par les mois deiiXy trois, quatre, nous n'entendons pas qu'ils soient «leux, trois ou quatre abstractivement; ce sont deux, trois

,,|g DE L'INDUCTION.

OU quatre choses d'une espèce particulière, des cailloux, des chevaux, des pouces, des hvres. Ce que le nom de nombre connole, c'est la manière dont des objets du genre donne doivent être aglomèrés pour former cet assemblage particulier S'il s'agit d'un amas de cailloux, et si nous 1 appelons deux, ce nom implique que, pour le former, il faut ajouter un caillou à un autre caillou. Si nous l'appelons trois, c est que, pour le produire, il faut réunir un et un et un caillou, ou bien ajouter un caillou à un agrégat du genre appelé deux, déjà existant. Celui que nous appelons quatre a un plus "rand nombre encore de modes caractéristiques de iormalion. On peut réunir un et un et un et un caillou, ou deux agrégats du genre appelé deux, ou enfin ajouter un caillou à un agrégat du genre appelé trois. Chaque nombre nouveau dans la série ascendante peut être forme par 1 addition de nombres plus petits, et la variété de manières dont cette réunion peut s'opérer augmente progressivement. Même en réduisant les parties à deux, le nombre peut être formé, et, par conséquent, divisé d'autant de manières différentes qu'il y a de nombres plus petits ; et si l'on en suppose trois, quatre, etc., la variété sera encore plus grande. On peut encore obtenir le même agrégat d'une autre façon ; non plus par la réunion de plus petits, mais par le démembrement de plus grands assemblages. Ainsi on peut tormer trois cailloux en retranchant un caillou d'un assemblage de quatre, deux cailloux en divisant le même assemblage en deux parties égales ; et ainsi des autres.

Toute proposition arithmétique, tout énoncé du résultat d'une opération arithméUque, est l'énoncé de l'un des modes de formation d'un nombre donné. On y affirme que tel a<'ré<'at aurait pu être formé par la réunion de plusieurs autre^s ou par le retranchement de certaines parties d'un autre,' et que, par conséquent, on pourrait par le procède inverse reproduire ces autres agrégats.

Ainsi en disant que le cube de 12 est 1728, ce qui est affirmé est que, si ayant un nombre suffisant de cailloux ou d'autres objets, nous en faisions des parts ou agrégats ap-

pelés douzaines; si ensuite nous faisions des collections semblables de ces douzaines, et rassemblions enfin douze de ces dernières collections, l'agrégat ainsi formé serait celui que nous appelons 1728, c'est-à-dire (pour prendre le plus ordinaire des modes de formation de ce nombre) celui qui peut être formé en joignant ensemble la part appelée mille cailloux, celle appelée sept cents, celle appelée vingt et celle appelée huit cailloux.

La proposition converse, que la racine cubique de 1728 est 12, affirme que ce grand agrégat peut être décomposé dans les douze douzaines de douzaines de cailloux dont il est formé.

Les modes de formation d'un même nombre sont innombrables ; mais quand nous en connaissons un, nous pouvons déterminer tous les autres déductivement. Si nous savons que a est formé de 6 et c, è de « et e, c de ^ et /, et ainsi de suite, en embrassant l'un après l'autre tous les nombres de la série qu'il nous aura plu de choisir (en ayant soin que le mode de formation de chaque nombre soit réellement distinct et ne nous ramène pas aux nombres précédents, mais en introduise un nouveau), nous avons là une suite de propositions dont nous pouvons tirer tous les modes de formation de ces nombres les uns par les autres. Après avoir établi une chaîne de vérités inductives unissant tous les nombres de la série, nous pouvons déterminer la formation de l'un par l'autre eu allant de l'un à l'autre le lona: de la chaîne. Ainsi, connaissant seulement le smodes de formation suivants, 6 = Ax 2, 4 = 7— 3, 7 = 5 + 2, 5 = 9 — A, nous pourrons déterminer comment 6 peut être formé de 9. En effet, ()=/i+2 = 7 — 3 + 2 = 5 + 2 — 3+2 = 9 — 4 + 2 — 3+2. Il peut donc en être formé par le retranchement de Ix et de 3 et l'addition de 2 et 2. Si nous savons d'ailleurs que 2 + 2 = 4, nous obtiendrons 6 de 9 d'une manière plus simple en retranchant 3.

Il suffit donc de choisir un des divers modes de formation d'un nombre, comme moven de trouver tous les autres. Et comme rentendemenl perçoit et retient plus facilement des

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choses uniformes et par cela même simples, il y a un ayantaî^e évident à choisir un mode de formation qui soit le même pour tous les nombres, à fixer la connotation des noms de nombre d'après un principe uniforme. Notre système actuel de numération présente cet avantage, et de plus celui d'indiquer à la fois deux des modes de formation d'un nombre. Chaque nombre est considéré comme formé par l'addition d'une unité au nombre immédiatement inférieur, et ce mode de formation est indiqué par la place qu'il occupe dans la série; et chacun est considéré aussi comme formé par l'addition d'un nombre d'unités inférieur à dix et d'un nombre d'agrégats égaux chacun à une des puissances successives de dix; et ce second mode de formation est exprimé par le nom du nombre et par son signe numérique.

Ce qui fait de l'arithmétique le type par excellence d'une science déductive, c'est qu elle comporte la plus heureuse application de cette loi si compréhensive: « Les sommes de quantités égales sont égales » ; ou (pour exprimer le môme principe dans un langage moins famiher, mais plus caractéristique) : Tout ce qui est composé de parties est composé des parties de ces parties. Cette vérité, évidente pour les sens dans tous les cas où l'on peut les en faire juges, aussi étendue que la nature elle-même et vraie de toutes sortes de phénomènes (puisqu '3 tous peuvent être nombres) doit être regardée comme une vérité inductive, comme une loi de la nature de premier ordre. Or, toute opération d'arithméliqu«î est ime application de cette loi ou d'autres lois qu'on peut en déduire. Elle est la garantie de tous nos calculs. Nous croyons que cinq et deux font sept en vertu de cette loi inductive combinée avec la définition de ces nombres. Nous arrivons à cette conclusion (comme le savent tous ceux qui se rappellent comment ils l'ont acquise), en ajoutant une seule unité à la fois : 5 + 1 = 6, par conséquent 5 + 1 + ^ 1= 6 -f 1 = 7 ; ou encore: 2 = 1 -^ 1 ; donc 5+2 = 5 4-1 + 1 = 7.

,^ 6. Les proposition vraies qu'on peut formuler sur des nombres particuliers sont innombrables. Aussi ne peuventelles nous donner à elles seules une idée complète de l'étendue des vérités dont se compose la science des nombres. Les propositions du genre de celles dont il vient d'être question sont les moins générales de toutes les vérités numériques. Sans doute elles s'étendent aussi à toutes choses dans la nature. Les propriétés du nombre quatre appartiennent à tous les objets qu'on peut diviser en quatre parties égales, et tous les objets sont susceptibles d'une pareille division, réelle ou idéale. Mais les propositions dont se compose l'algèbre sont vraies, non pas seulement d'un nombre particulier, mais de tous les nombres; pas seulement des choses susceptibles d'être divisées d'une manière donnée, mais de toutes cboses pouvant se diviser d'une manière quelconque, être représentées par un nombre.

Comme il est impossible qu'un même mode de formation soit tout à fait commun à différents nombres, il y a une sorte de paradoxe à dire que toutes les propositions possibles concernant des nombres sont relatives à leur mode de formation au moyen d'autres nombres, et que cependant il en est qui sont vraies de tous les nombres. Mais ce paradoxe même conduit au véritable principe de la généralisation des propriétés des nombres. Deux nombres différents ne peuvent pas être formés des mêmes nombres de la même manière, mais ils peuvent être formés de la même manière de nombres différents. Ainsi neuf est formé de trois au moyen d'une multiplication de ce nombre par lui-même, et seize est formé de quatre par le même procédé. De là une classiiication des modes de formation, où, pour employer les lermes des mathématiciens, une classification des Fonctions. ih^ nombre, lorsqu'on le considère comme formé d'un autre, est appelé une fonction de celui-ci; et il y a autant (le sortes de fonction que des modes de formation. Il en est peu de simples, caria plupart sont formées de plusieurs des opérations qui constituent les fonctions simples, combinées ensemble, ou de l'une de ces opérations répétée un

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certain nombre de fois. Les fonctions simples d'un nombre quelconque ^sont toutes réductibles aux formes suivantes:

^ l a, x — a, ax, -,— ,;r%V/ ^' log. ^ (à la base «), et

les mêmes expressions variées par la substitution de a: à « et à^akx, partout où cette transposition changerait la valeur; peut-être faudrait-il ajouter sin x et arc(sin :i:i:^).Toutes les autres fonctions de x se forment en remplaçant .r ou « par une ou plusieurs des fonctions simples, et en les soumettant aux mêmes opérations élémentaires.

Pour raisonner sur les Fonctions, nous avons besoin d'une nomenclature qui nous mette à même d'exprimer deux nombres par des noms, qui, sans spécifier leur valeur numérique, montrent quelle fonction l'un est de l'autre ; ou, en d'autres termes, mettent en évidence leur mode de formation l'un par l'autre. Le système de signes généraux appelé notation algébrique remplit ce but. Les expression a et ^^ -f 3 a dénotent, la première un nombre quelconque, la seconde un nombre formé du premier d'une façon particulière. Les expressions a, b, n et (a 4- b) ", dénotent trois nombres quelconques, et un quatrième qui en est formé d'une certaine manière.

On peut énoncer comme il suit le problême général du calcul algébrique : F étant une certaine fonction d'un nombre donné, trouver quelle fonction F sera d'une fonction quelconque de ce nombre. Par exemple, un binôme a -^ b est une fonction de ses deux parties a et b, et les parties sont à leur tour des fonctions de «+ô; or, {a -f by est aussi une fonction du binôme; quelle fonction des deux parties ^ et/> représentera cette expression? La réponse à cette question

n est le théorème du binôme. La formule (a + by = r/" 4- j ^"

Ib +

a'' — 2 ô 2 + etc. , montre comment le

nombre résultant de la multiplication n fois répétée de n -f b par lui-même pourrait, sans ce procédé, être formé directement de a^ b et n. Tous les théorèmes de la science

DES AlTllES LOIS DE LA NAT13RE.

des nombres sont de cette nature. Ils posent l'identité de résultat de différents modes de formation. Ils énoncent que tel mode de formation par x et tel autre mode par une fonction déterminée de n produisent le même nombre.

Outre ces théorèmes ou formules générales, le calcul algébrique comprend la résolution des équations. Mais c'est là encore un théorème. Soit l'équation x"- -^ ax — b, qui se

résout ainsi : x

=~\^-\Jv'+^-

Cette résolution

est une proposition générale qui peut être regardée comme une réponse à la question suivante : Si b est une certaine fonction de ^ et a (à savoir x"- + ax], quelle fonction de b ctfl^ est^? La résolution des équations n'est donc qu'une simple variété du problème général posé plus haut. Le problème est celui-ci : — Étant donnée une fonction, trouver quelle fonction elle est de quelque autre fonction? Et lorsqu'il s'agit d'une équation à résoudre, la question est de trouver de quelle de ses propres fonctions le nombre est lui-même fonction.

Tel est le but et la fin du calcul. Quant à sa marche, tout le monde sait qu'elle est purement déductive. En démontrant un théorème algébrique ou en résolvant une équation, nous allons du datum au quœsitum par le raisonnement pur ; les seules prémisses que nous y introduisions, outre les hypothèses premières, sont les axiomes fondamentaux déjà mentionnés : -— que des choses égales à une même chose sont égales entre elles, et que les sommes de quantités égales sont égales. A chaque pas de la démonstration ou du calcul, nous appliquons l'une ou l'autre de ces vérités, ou des vérités qu'on en peut déduire, telles que celle-ci : que les différences, les produits, etc., de nombres égaux sont égaux.

L'étendue et le but de cet ouvrage ne comportent pas une analyse plus détaillée des vérités et des procédés de l'algèbre. Elle est d'ailleurs d'autant moins nécessaire que cette tâche a été accomplie par d'autres écrivains, et avec de très-grands développements. L'Algèbre de Peacock et la Théorie des lunites du docteur Whewell sont pleines

DE L'INDUCTION

d'enseignements utiles sur la matière. Les traités profonds d'un mathématicien vraiment philosophe, le professeur De Morgan, devraient être étudiés par tous ceux qui désirent avoir une idée netle du genre d'évidence des vérités mathématiques, et de la nature des plus obscurs procédés du calcul. Enfin, les spéculations de M. Comte [Cours de philosophie positive) sur la philosophie des branches supérieures des mathématiques doivent être comptées parmi les plus précieuses théories dont la philosophie est redevable à cet éminent penseur.

§ 7. - Les lois des nombres sont tellement générales, elles olfrent si peu de prise aux sens et à l'imagination, qu'il faut un effort d'abstraction assez difficile pour les concevoir comme des vérités physiques d'observation. Mais les lois de l'étendue ne présentent pas la même difficulté. Les faits qu'elles expriment sont particulièrement accessibles aux sens, et se peignent dans l'imagination sous des formes parfaitement distinctes. On aurait sans doute rrconnu de tout temps que la géométrie est, dans la rigueur du terme, une science physique, sans les illusions produites par deux circonstances. L'une est la propriété caractéristique, déjà mentionnée, des faits géométriques, qui nous permet de les observer dans nos idées ou représentations mentales des objets avec autant de sûreté que dans les objets mênies. L'autre est le caractère démonstratif des vérités géométriques, qui semblait établir une distinction radicale entre elles et les vérités physiques, lesquelles, n'étant fondées que sur le probable, manquaient essentiellement de certitude et de précision. Le progrès des connaissances a cependant montré que les sciences physiques, dan? leurs branches le plus complètement explorées, sont tout aussi démonstratives que la géométrie. L'entreprise de déduire leurs détails d'un petit nombre de principes relativement simples n'est plus comme autrefois jugée impossible, et l'idée de la certitude supérieure de la géométrie n'est qu'une illusion, causée par le préjugé ancien, qui consiste à prendre à tort, dans

cette science, pour uneclasse particuhére deréalités les données idéales du raisonnement, pendant que les données idéales correspondantes de toute science physique déductive sont prises pour ce qu'elles sont réellement, c'est-àdire de simples hypothèses.

Tout théorème de géométrie est une loi de la nature extérieure, et aurait pu être établi par une généralisation de l'observation et de l'expérience, lesquelles, dans ce cas-ci, se réduisent à la comparaison et à la mesure. Mais on trouva praticable, et par suite souhaitable, de déduire ces vérités d'un petit nombre de lois générales de la nature dont la certitude et l'universalité étaient manifestes pour fobservateur le moins attentif, et qui sont les premiers principes et les prémisses supérieures de la science. Au nombre de ces lois générales se trouvent les deux que nous avons déjà indiquées comme étant aussi les premiers principes de la Science des Nombres et qui sont applicables à toute espèce de quantités : Les sommes de quantités égales sont égales, et des choses égales à une même chose sont égales entre elles. Ce dernier axiome peut être présenté sous une forme qui donne mieux l'idée de la multitude inépuisable de ses conséquences : — Toute grandeur égale à l'une quelconque de plusieurs grandeurs égales est égale à une autre quelconque d'entre elles. A ces deux lois d'égalité, il faut, en géométrie, en ajouter une troisième : — Que les lignes, surfaces ou volumes qui peuvent être appliqués l'un sur l'autre de façon à coïncider sont égaux. Quelques auteurs ont prétendu que cette loi n'est qu'une définition purement verbale ; que l'expression (( grandeurs égales » ne signifie autre chose que des grandeurs qui peuvent être appliquées fune sur l'autre de façon à coïncider. Je ne puis me ranger à cette opinion. L'égalité de deux grandeurs géométriques ne peut pas différer essentiellement de celle de deux poids, de deux degrés de chaleur ou de deux intervalles de temps, choses auxquelles cette prétendue définition de l'égalité ne convien- ^Irait nullement. Aucunes de ces choses ne peuvent êtreapphquées l'une sur l'autre de façon à coïncider, et pourtant

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DE I/l?iDl](rflON

DES AUTRES LOIS DE lA NATUHE.

nous comprenons parfaitement ce que nous voulons dire quand nous les appelons égales. Des choses sont égales en étendue, en poids, quand nous constatons entre elles une similitude complète dans Tattribut que nous y considérons. En appliquant les objets Tun sur l'autre dans le premier cas, aussi bien qu'en les pesant au moyen d'une balance dans le second, nous ne faisons que les placer dans une position où nos sens peuvent reconnaître le défaut d'exacte ressemblance, qui, sans cela, nous aurait échappé.

Avec ces trois axiomes ou principes généraux, les prémisses de la géométrie comprennent ce qu'on appelle les définitions, c'est-à-dire ces propositions qui énoncent tout ensemble l'existence réelle des divers objets qu'elles désignent, et quelque propriété particulière de chaque. Communément on Y indique plusieurs propriétés, mais une seule suffit. On admet qu'il existe dans la nature des hgnes droites, et que deux de ces lignes, partant d'un même point, divergent de plus en plus, à l'infini. Ce postulat (qui embrasse et va au delà de l'axiome d'Euclide, que deux Ugnes droites ne peuvent enfermer un espace) est aussi indispensable en géométrie et aussi évident, fondé qu'il est sur une observation aussi simple, aussi universelle, qu'aucun des autres axiomes. On admet encore que deux lignes droites peuvent diverger l'une de l'autre à des degrés différents, en d'autres termes , qu'il y a des angles, et que ces angles peuvent être égaux ou inégaux. On admet qu'il existe des cercles, et que tous leurs rayons sont égaux ; des ellipses, et que les sommes des distances focales sont égales pour un point quelconque de l'eUipse ; des hgnes parallèles, et que ces lignes sont partout également distantes (1).

(1) Les géomètres ont généralement préféré définir les lignes parallèles par la propriété qu'elles ont d'être dans le même plan et de ne jamais se rencontrer. Mais ils se sont imposé par là l'obligation de supposer, comme axiome additionnel, quelque autre propriété des parallèles; et le choix malheureux d'Euclide ol d'autres mathématiciens a touiours été regardé comme la honte de la géométrie élénjentaire. Même comme définition verbale, l'équidistance est une prcpnelc

§ 8. — Ily aplus qu'un intérêt de pure curiosité à rechercher, dans les vérités physiques objets delà géométrie, la particularité qui les rend susceptibles d'être déduites d'un si petit nombre de prémisses, et de savoir comment, en partant, pour chaque genre de phénomènes, d'une seule propriété caractéristique et de deux ou trois vérités générales sur régahté, on peut, en allant d'un signe à un autre, arriver à former un vaste corps de vérités dérivées si différentes, suivant toute apparence, des vérités élémentaires.

Ce fait remarquable semble pouvoir s'expliquer par les circonstances suivantes. En premier Heu, toutes les questions de position et de figure peuvent se résoudre en des questions de grandeur. La position et la figure d'un objet sont déterminées quand on a déterminé dans l'objet la position d'un nombre suffisant de points ; et la position d'un point quelconque peut être déterminée par la grandeur de trois coordonnées rectangles, c'est-à-dire des perpendiculaires tirées de ce point à trois axes à angles droits l'un de l'autre, arbitrairement choisis. Par cette transformation de toutes les questions de qualité en des questions de quantité, la géométrie se trouve réduite au problème unique de la mesure des grandeurs, c'est-à-dire, de la constatation des égahtés qui existent entre elles. Maintenant, si l'on considère que, par l'un des axiomes généraux, toute égahtô reconnue est la preuve d'autant d'autres égalités qu'il y a

plus caractéristique des parallèles, puisqu'elle est l'attribut réellement impliqué dans la signification du nom. Si être dans le même plan et ne pouvoir pas se rencontrer étaient tout ce qu'on entend par parallèle, on aurait le droit de ilire qu'une courbe est parallèle à son asymptote. Par lignes parallèles, on entend des lignes qui gardent exactement la même direction et qui, par consé- •(tient, ne se rapprochent ni ne s'éloignent jamais l'une de l'autre; c'est là l'itU'e que nous en donne directement l'observation de la nature, La propriété de lie pouvoir pas se rencontrer est nécessairement impliquée dans la proposition plus compréhensive, qu'elles sont partout équidistantes ; et d'autre part, on peut démontrer de la manière la plus rigoureuse que deux l'gnes situées dans le même pian et non équidistantes devront se rencontrer, en vertu de la propriété fondamentale des lignes dioites, admise dans le texte, à savoir, que si elles partent du môme point, olle? divergent de plus en plus et à l'infini.

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d'autres choses égales à l'une des deux choses égales; et que, par un auSrc de ces axiomes, toute égalité reconnue prouve l'égalité d'autant de couples de grandeurs qu'on peut former par les nombreuses opérations qui se réduisent à l'addition de quantités égales à elles-mêmes ou à d'autres quantités égales, on ne sera plus étonné qu'une science abonde d'autant plus en marques de marques qu'elle roule davantage sur l'égalité, et que, par conséquent, les sciences des nombres et de l'étendue, presque exclusivement relatives à l'égalité, soient les plus déduclives de toutes.

Il y a aussi deux ou trois des principales lois de l'espace ou de l'étendue qui sont admirablement propres à faire d'une position ou d'une grandeur la marque d'une autre, et contribuent ainsi à donner à la science un caractère éminemment déduclif. Premièrement, les grandeurs des espaces délimités, que ce soient des surfaces ou des solides, sont complètement déterminées par celles des hgnes et des angles qui les limitent. Secondement, la longueur d'une ligne, droite ou courbe, est mesurée (certaines autres conditions étant données), par Tangle qu'elle soutend, et vice versa. Enfin, l'angle que deux droites forment ensemble en un point inaccessible se mesure par les angles qu'elles forment chacune avec une troisième ligne choisie arbitrairement. Au moyen de ces lois générales, la mesure des lignes, angles et espaces peut être obtenue par celle d'une seule droite et d'un nombre d'angles suffisant. C'est là le procédé employé pour lever le plan trigonométrique d'un pays, procédé qu'on est heureux de posséder, car la mesure exacte de longues lignes droites est difficile, tandis que celle des angles est très-aisée. Ces trois généralisations apportent tant de faciUtés à la mesure indirecte des grandeurs (en nous donnant des lignes ou des angles connus qui sont des marques de la grandeur des inconnus, et par là de celle des espaces qu'ils limitent), qu'il est aisé de comprendre comment un petit nombre de données suffi^^ent pour déterminer la grandeur d'une multitude indéfinie de hgnes, angles et espaces, qu'il serait difficile,

OU môme impossible, de mesurer par un procédé plus direct.

§ 9. — Là se bornent les quelques remarques qu'il semblait nécessaire de faire ici sur les lois de la nature qui forment le sujet particulier de la science des nombres et de celle de l'étendue. On sait combien ces lois contribuent à donner un caractère déductif aux autres branches des sciences physiques; et il n'y a rien là qui doive étonner, si l'on considère que toutes les causes agissent selon des lois mathématiques. L'effet est toujours dépendant, c'est-àdire, toujours une fonction, de la quantité de l'agent, et généralement aussi de sa position. Nous ne pouvons donc raisonner sur la causation, sans introduire à chaque pas des considérations de quantité et d'étendue; et si la nature du phénomène est telle que nous puissions obtenir des données numériques d'une précision suffisante, les lois des quantités deviennent le grand instrument de calcul pour descendre des causes aux effets ou remonter des effets aux causes. Les phénomènes les plus familiers nous font voir que dans toutes les autres sciences, aussi bien que dans la géométrie, les questions de qualité ne sont presque jamais indépendantes des questions de quantité. Lors même que j)lusieurs couleurs sont mêlées sur la palette d'un peintre, c'est la quantité relative de chacune qui détermine la couleur du mélange.

J'ai dû me borner ici à une courte indication des causes générales qui déterminent la prédominance des principes et des procédés mathématiques dans les sciences déductives dont les faits offrent des données numériques précises. Je renvoie donc le lecteur qui désirerait approfondir la matière aux deux premiers volumes de l'ouvrage de M. Comte.

Le même ouvrage, et plus particulièrement le troisième volume, renferme aussi une discussion complète des limites dans lesquelles les principes mathématiques peuvent être employés au perfectionnement des autres sciences. Ces principes sont évidemmenr inapplicables quand les causes

.gy DK I/INDCCTION.

dont dépend une classe de phénomènes sont trop peu accessibles à notre observation pour que nous puissions, par une induction appropriée, en constater les lois numériques • ou encore lorsque les causes sont si nombreuses, et forment des combinaisons si compliquées, qu'en supposant même leurs lois connues, la détermination de l'effet collectif dépasse la puissance du calcul; ou entin, quand les causes elles-mêmes sont dans un état de lluctuation perpétuelle, comme c'est le cas en physiologie, et plus encore, si c'est possible, dans les sciences sociales. La solution mathématique des questions de physique devient de plus en plus difficile et imparfaite, à mesure que les questions perdent leur caractère abstrait et hypothétique, et approchent du degré de complication existant dans la nature. C'est à ce point que, hors du cercle des phénomènes astronomiques et de ceux qui présentent avec eux le plus d'analo^^ie la précision mathématique ne s'obtient généralement « qu'aux dépens de la réalité de la recherche » ; et que même dans les questions astronomiques, « maigre l'admirable simplicité de leurs éléments mathématiques, notre faible intelligence est incapable de suivre efficacement les combinaisons logiques des lois des phénomènes, sitôt (luc nous tentons de considérer plus de deux ou trois influences essentielles à la fois (1). » Le problème des Trois Corps e«t «ouvent cité comme un remarquable exemple de cettr impuissance, la solution complète d'une question relativement si simple ayant, en effet, vainement exerce 1 habileté des plus profonds mathématiciens. Nous voyons par là combien serait chimérique l'espoir d'appliquer les principes mathématiques à des phénomènes dépendant d^ l'action mutuelle des innombrables particules des corps, à ceux, par exemple, de la chimie, et surtout à ceux de la physiologie ; et, par les mêmes raisons, aux recherches, plus complexes encore, relatives aux phénomènes sociaux et politiques.

(l) P/iiiosop/»/e po.s«(ti'e, vol. 111, pag. (i\.U-!x\^.

DEvS RAISONS DE NON-CKOYANCE.

IGl

La valeur des études mathématiques, comme préparation à ces investigations plus difficiles, réside dans l'application possible, non des théories, mais de la méthode. Les mathématiques resteront toujours le type le plus parfait de la méthode déductive en général, et leurs applications aux branches déductives des sciences physiques sont la seule école où les philosophes puissent apprendre la partie la plus difficile et la plus importante de leur art, l'emploi des lois de phénomènes plus simples pour exphquer et prévoir celles des plus complexes. Ces raisons suffisent pour faire considérer les mathématiques comme la base indispensable de toute véritable éducation scientifique, et (selon le mot qu'une tradition ancienne, quoique sans authenticité, attribue à Platon) à regarder quicon^iue est àyzuy^ix^-nxo'^ comme manquant d'une des qualités les plus nécessaires pour cultiver avec succès les branches supérieures de la philo- Sophie.