CHAPITRE XVIH

§].— (( La probabilité, dit Laplace, est relative en partie à notre ignorance et en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'événements, un seul doit arriver, mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces événements, pris à volonté, n'arrivera pas, parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise.

a La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c'est-à-dire, tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité, qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles (1). »

Ainsi, selon Laplace, le calcul des hasards exige deux cho-

(1) Essai philosophique sur les probabilités^ V édii., p. 7.

ses. Il faut savoir que de plusieurs événements qui peuvent arriver un seul, et un seul seulement, arrivera certainement, et il faut qu'on n'ait aucune raison de croire que ce sera plutôt celui-ci que celui-là. On a prétendu que ces conditions n'étaient pas les seules requises, et que Laplace a négligé dans la formule théorique générale un élément nécessaire de la théorie des hasards. Pour pouvoir assurer (a-l-on dit) que deux événements sont égalementprobables, il ne suffît pas que nous sachions que l'un ou l'autre arrivera et que nous n'ayons aucune raison de conjecturer lequel. L'expérience doit avoir montré d'abord que les deux événements étaient également fréquents. Pourquoi, en jettant en l'air un sou, jugeons-nous qu'il est également probable qu'il retournera croix ou pile? Parce que nous savons que dans un très-grand nombre de jets croix et pile sont arrivés à peu près aussi souvent l'un que l'autre ; et que plus on multiplie les jets, plus on approche de l'égalité parfaite. Nous pouvons, si nous voulons, constater cela par une expérience directe, ou par l'expérience quotidienne fournie par les événements du même genre, ou déductivement, comme conséquence des lois mécaniques dans un corps symétrique sollicité par des forces qui varient indéfiniment en quantité et en direction. Bref, nous pouvons le savoir, soit par une expérience spécifique, soit à l'aide de notre connaissance générale de la nature. Mais d'une manière ou d'une autre, il faut que nous le sachions pour être en droit de considérer les deux événements comme également probables ; et si nous l'ignorons, nous n'avons aucune raison de croire que les sorties seront plutôt égales qu'inégales; et nous ne pouvons en juger qu'au hasard.

Telle était sur ce point l'opinion exprimée dans la première édition de cet ouvrage. Mais je me suis convaincu depuis que la théorie des hasards, comme l'ont comprise Laplace et tous les mathématiciens, n'est pas entachée du vice sophistique que je lui attribuais.

Il ne faut pas oublier que la probabilité d'un événement

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n'est pas une qualité de Tévénement même, mais simplement un nom exprimant le degré de confiance que nous ou d'autres pouvons avoir à son arrivée. La probabilité d'un événement donné n*est pas la même pour une personne et pour une autre, ni pour la même personne mieux renseignée. La probabilité qu'un individu dont je ne connaisque le nom mourra dans l'année est complètement cbangée pour moi si l'on me dit qu'il est à la dernière période d'une consomplion. Cela, cependant, ne change rien dans l'événement même, ni dans ses causes. En soi, un événement n'est pas simplement probable ; il est certain. Si nous savions tout, nous saurions positivement qu'il arrivera ou qu'il n'arrivera pas ; mais sa probabilité pour nous n'exprime que le degré d'assurance que nous pouvons avoir de son arrivée d'après ce que nous savons actuellement.

Je pense donc qu'il faut admettre que, même lorsque nous ne savons rien qui puisse déterminer notre attente, si ce n'est que ce qui arrivera doit être une quelconque d'un certain nombre de possibilités, nous pouvons raisonnablement juger qu'une de ces possibilités est plus probable pour nous qu'une autre ; et que si nous avons quelque intérêt à la chose, nous devons agir conformément à ce jugement.

§ 2. — Supposons qu'on nous fasse tirer une boule d'une boîte, dont nous savons seulement qu'elle ne contient que des boules blanches et des boules noires. Nous savons que la boule que nous tirerons sera ou blanche ou noire. Mais nous n'avons aucune raison d'attendre une noire plutôt qu'une blanche, ou une blanche plutôt qu'une noire. Dans ce cas, si nous étions obligés de choisir, et de parier pour l'une ou pour l'autre de ces chances, il serait parfaitement indifférent de choisir celle-ci ou celle-là ; et nous agirions probablement comme nous l'aurions fait si nous avions su d'avance que la boîte renfermait un nombre égal de boules blanches et de boules noires. Mais, bien qu'agissant de même, ce ne serait pas d'après l'idée que les boules sont en réalité ainsi partagées; car nous aurions pu, au coti-

traire, savoir de source certaine que la boîte contenait 99 boules d'une couleur et une seule de Tautre ; de plus, si on ne nous disait pas quelle est la couleur de la boule unique et celle des 99 autres, l'extraction d'une noire ou d'une blanche serait pour nous également probable. Nous n'aurions pas de raison de parier pour un de ces résultats plutôt que pour l'autre ; l'option entre les deux serait tout à ï'àii indifférente, en d'autres termes, elle serait de pur hasard.

Mais supposons maintenant qu'au lieu de deux couleurs, il y en ait trois, blanche, noire et rouge, et que nous ignorions complètement dans quelles proportions elles sont mêlées. Nous n'aurions alors aucune raison d'attendre l'une plutôt que lautre, et, ayant à parier, nous pourrions choisir indifféremment la blanche, la rouge ou la noire. Mais seraitil indifférent de parier pour ou contre une couleur déterminée, par exemple, la blanche? assurément non. De cela seul que le noir et le rouge ont séparément la même probabilité pour nous que le blanc, les deux ensemble doivent être deux fois plus probables. Nous devrions dans ce cas attendre le non-blanc plutôt que le blanc et pour un pari les chances seraient exactement de deux contre un en faveur du premier. Il est vrai qu'il pourrait y avoir, les données étant muettes sur ce point, plus de boules blanches que de noires et de rouges réunies, et s'il en était ainsi, une information plus complète nous ferait voir le désavantage de notre pari. Mais il ne serait pas non plus contraire aux données qu'il y eût plus de boules rouges que de noires et de blanches, ou plus de noires que de blanches et de rouges, et dans ce cas une plus ample information montrerait que le pari était plus avantageux que nous ne l'avions supposé. Dans notre état actuel d'information il y a une probabilité de deux contre un pour le non-blanc, et cette probabilité peut être prise pour base de décision. Aucune personne raisonnable ne risquerait un enjeu égal pour le blanc contre le noir et le rouge ensemble ; tandis que contre le noir seul, ou le rouge seul, le pari pourrait être fait sans imprudence.

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1)1 OALCUJ. DES HASAUnS.

La théorie commune du calcul des probabilités paraît donc admissible. Lors même que nous connaissons seulement le nombre des cas possibles et s'excluant l'un l'autre, sans rien savoir de leur fréquence relative, nous pouvons avoir des motifs, et des motifs numériquement appréciables, d'agir dans un sens plutôt que dans l'autre. Or, c'est là précisément ce que signifie le mol Probabilité.

§ 3. —Le principe sur lequel ce raisonnement s'appuie est d'ailleurs assez clair. C'est cette vérité manifeste que si les cas sont répartis entre plusieurs espèces, il est impossible que chacune de ces espèces soit une majorité dans le tout. Il doit y avoir, au contraire, contre chaque espèce, excepté une au plus, une majorité, et si une espèce a plus que sa part proportionnellement au nombre total, toutes les autres ensemble doivent avoir moins. Cet axiome accordé, et en supposant que nous n'ayons aucun motif de choisir une espèce particuHère comme devant plus vraisemblablement que les autres dépasser sa part proportionnelle, il est clair que cela ne peut être raisonnablement présumé d'aucune; ce que nous ferions si nous pariions pour l'une des espèces sans un avantage proportionnel au nombre des autres espèces. Ainsi donc, même dans ce cas extrême du calcul des probabiUtés n'ayant pour base aucune expérience spéciale, le fondement logique de l'opération est la connaissance, telle que nous l'avons alprs, des lois dont dépend le retour plus ou moins fréquent des différents cas. Mais ici cette connaissance, se réduisant à des généralités axiomatiques, n'a pas besoin de s'appuyer sur l'expérience spécifique, ni sur aucune considération tirée de la nature spéciale du problème à résoudre.

Cependant, à l'exception des jeux de hasard, où ie but même qu'on se propose exige l'ignorance et non la science, je ne puis imaginer un cas où l'on doive se contenter d'une évaluation des chances ainsi fondée sur ce Minimum absolu de connaissance du sujet. Dans le cas des boules colorées, le plus léger motif de soupçonner que les boules blanches soni

réellement plus nombreuses que celles des autres couleurs suffirait évidemment pour vicier tous les calculs précédemment faits dans notre état d'indifférence. Nous nous trouverions dans un état d'information plus avancée, où les probabilités seraient pour nous différentes de ce qu'elles étaient auparavant, et dans l'évaluation de ces nouvelles probabilités nous aurions à opérer sur des données tout autres tirées, non plus du simple calcul des suppositions possibles, mais d'une connaissance spécilique des faits. Nous devrions tâcher toujours d'avoir de ces données ; et dans tous les genres de recherches autres que celles dont l'objet est à la fois audessus de nos moyens de connaître et sans utilité pratique, on peut s'en procurer, sinon de bonnes, du moins de meilleures que rien (1).

Évidemment aussi, quand les probabilités résultent de l'observation et de l'expérience, la plus légère améhoration dans les données, obtenue par de meilleures observations ou par une étude plus complète des circonstances spéciales du cas, est plus utile que la plus savante application du calcul des probabilités, fondé sur les données moins bonnes qu'on avait précédemment. C'est pour n'avoir pas fait

(l) Il rne semble même que le calcul des probabililés, en r absence de données résultant d'une expérience ou d'une inférence spéciales, doit, dans l'immense majorité des cas^ être inapplicable, faute de pouvoir assigner un principe à suivre pour dresser la liste des possibilités. Daus fexemple des boules colorées, il nous est facile de faire i'énumération, parce que nous déterminons nous-mêmes les divers cas possibles. Mais prenons un exemple plus analogue à C(!ux que nous olTre la i.ature. Au lieu de trois couleurs, supposons qu'il y ait dans la boîte toutes les couleurs possibles, et que nous ignorions la fréquence relative de rapparition de ces couleurs dans la nature ou dans les productions de l'art. Comment dressera-t-on la liste des cas? Chaque nuance distincte comp tera-t-elle pour une couleur? Si oui, faudra-t-il s'en rapporter au témoignage d'un œil ordinaire, ou à celui d'un œil exercé, ttl que l'œil d'un peintre ? Selon la réponse qui serait faite à ces questions, l'évaluation des chances contre une couleur particulière pourrait s'élever à dix, à vingt ou peut-être à cinq cents contre un. Si, au contraire, nous savions par expérience que la couleur en question se présente-en moyenne un nombre déterminé de lois sur cent ou sur mille;, nous n'aurions pas besoin de connaître la fréquence ou le nombre de;? autres possibilités.

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cette réflexion si naturelle qu'on s'est laissé entraîner dans le calcul des probabilités à de l'ausses applications qui en ont fait véritablement le scandale des matbématiques. Il suffît de rappeler celles relatives à la crédibilité des témoins et à l'équité des verdicts des jurys. A l'égard de la première, le sens commun suffit pour montrer qu'il est impossible d'établir une moyenne de la véracité et des autres conditions requises pour un témoignage fidèle, soit du genre humain, soit d'une classe d'hommes quelconque ; sans compter qu'une telle moyenne, s'il était possible de la trouver, ne pourrait servir de gukle, la crédibilité de presque tous les témoins étant au-dessous ou au-des:^us. Et lors même qu'il n'y aurait qu'un témoin, les gens de bon sens se décideraient d'après la concordance de ses témoignages, sa tenue pendant l'interrogatoire, son intérêt dans faifaire elle-même, son degré d'intellhgence, plutôtque d'employer une mesure aussi grossière (en supposant même qu'elle pût être vérifiée) que celle du rapport entre le nombre des dépositions exactes et des dépositions inexactes qu'il est supposé faire dans le cours

de sa vie.

A l'égard des jurys ou autres tribunaux, quelques mathématiciens sont partis de ce principe qu'il y a quelque probabilité que la décision d'un juge ou d'un juré est plutôt juste qu'injuste, et ils ont conclu de là que plus o-rand est le nombre de personnes concourant à un verdict, moins il y a de chances pour que ce verdict soit injuste ; si bien qu'il suffirait d'augmenter le nombre des juges pour élever l'équité de l'arrêt à une presque certitude. Je ne dis rien de l'erreur qu'on commet ici en oubliant l'effet produit sur la situation morale des juges par la multiplication de leur nombre , la suppression virtuelle de leur responsabilité personnelle et le relâchement de leur attention dans l'examen de la cause. Je remarque seulement le sophisme qui consiste à conclure de la moyenne d'un grand nombre de cas à des cas nécessairement très-différents de toute moyenne. Il peut être vrai qu'en prenant toutes les causes l'une dans l'autre, l'opinion de l'un quelconque des juges se trouverait

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plus souvent exacte qu'erronée; mais on oublie que dans tous les cas autres que les plus simples, dans tous ceux où la composition du tribunal est réellement d'une grande importance, la proposition pourrait probablement être renversée. En outre , soit que la cause d'erreur réside dans les difficultés du procès, soit dans quelque préjugé, quelque défaut d'inteUigence commun à la plupart des hommes, si elle influe sur un juge, elle influera vraisemblablement sur tous les autres, ou tout au moins sur la majorité, et ainsi l'accroissement du nombre des juges ac-

. croîtra la probabilité de la mauvaise décision plutôt que

I celle de la bonne.

Ce ne sont là que des échantiflons des erreurs qu'on voit souvent commettre à des hommes qui, s'étant rendus familières les formules difficiles que l'algèbre fournit pour l'évaluation des chances dans des hypothèses d'une nature I complexe, aiment mieux calculer à l'aide de ces formules quelles sont les probabilités pour une personne à demi mformée, que chercher les moyens de se procurer une information plus complète. Avant d'employer la théorie des probabilités en vue d'un résultat scientifique, il faut acquérir et donner pour base à l'évaluation des chances la plus grande somme possible de renseignements positifs. Ces renseignements doivent porter sur la fréquence relative des divers événements. Ainsi donc, pour le but du présent ouvrage, nous pouvons supposer que les conclusions relatives à la possibilité (l'un fait reposent sur la connaissance de la proportion entre les cas où se produisent des faits de ce genre et ceux où il ne s'en produit pas ; celte proportion pouvant d'ailleurs avoir été trouvée par une expérience spécifique ou déduite de la connaissance préalable des causes dont l'action est favorable à la production du fait en question, comparées à celles qui peuvent les neutraliser.

Un pareil calcul de probabilités a pour fondement une mduciion; et le calcul n'a de valeur que si l'induction est l'^gitimc. L'opération est toujours une induction, lors même qu'elle ne prouve pas que l'événement ait Heu dans tous les cas