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GG BE L'INDUCTION

(]o telle outellenalure,maisseul^men( qu'il alieii tantde fois environ sur un nombre donné de ces cas. La fraction dont se servent les mathématiciens pour assigner la probabilité d'un événement est le rapport de ces deux nombres, c'est-àdire la proportion constatée entre le nombre des cas où révénement a lieu et la somme de tous les cas. Au jeu de croix ou pile, les cas sont les jets, et la probabilité .ramener croix est d'un demi, attendu qu'après un nombre sutlisant de coups on se trouverait avoir amené croix à peu près une lois sur deux. Au jeu de dés, la probabilité d'amener As est d'un sixième ; non pas seulement parce qu'il n'y a que six coups possibles et (jue l'as est un de ces coups, et qu'il n'existe pas à notre coniiaissance de cause qui puisse nous faire amener un point plutôt que l'autre (bien que j'aie admis celte raison faute d'une meifleure), mais parce que nous savons actuellement, par le raisonnement ou par l'expérience, que sur cent coups ou sur un million de coups, il y en a un sixième environ où l'as est amené, ou, en d'autres termes, qu'il se présente une fois sur six.

j; /i. — Quand je dis « par le raisonnement ou par l'expérience » j'entends l'expérience spécifique. Mais dans l'évaluation des probabilités le choix de la source n'est pas indifférent. La probabilité des événements, calculée simplement d'après leur fréquence dans le passé, offre une base de conduite praliijue bien moins sûre que si elle était déduite de la connaissance également exacte de la fréquence d'apparition de leurs causes.

La généralisation qu'un événement a lieu dans dix cas sur cent est une induction aussi réelle que si la généralisation embrassait tous les cas. Mais quand nous arrivons à la conclusion par la simple supputation des événements actuellement observés, et par la comparaison du nombre des cas où A s'est présenté et de ceux où il a manqué, la preuve n'est que celle de la Méthode de Concordance, et la conclusion se réduit à un*loi empirique. Nous faisons un pas de plusquand nous pouvons remonter jusqu'aux causes dont dépend la présence ou l'ab-

sence de A, et nous rendre compte de la l'réquence relative de celles (j ui favorisent ou empêchent l'événement. Ce sont là des données d'un ordre supérieur qui serviront à corriger ou à confirmer la loi empirique tirée d'une simple comparaison numéricjuedescasaffîrmatifs etdescas négatifs, et, de manière ou d'autre, nous obtiendrons ainsi une mesure de probabilité plus exacte.

On a remarqué avec raison que dans l'exemple qui sert d'ordinaire à expliquer la théorie des probabilités, celui de boules renfermées dans une boite, l'évaluation des chances a pour fondement des raisons de causahté plus décisives que toute expérience spécifique. « Pourquoi d'une boîte contenant neuf boules noires et une seule blanche, comptonsnous tirer une noire neuf fois autant qu'une blanche (ou, en d'autres termes^ neuf fois plus souvent, la fréquence étant la mesure du degré de confiance avec lequel nous attendons l'événement?) Évidemment, parce que les conditions locales sont neuf fois aussi favorables, parce qu'il y a neuf places où la main peut saisir une boule noire, et qu'il n'y en a qu'une où elle peut s'arrêter sur une boule blanche. C'est pour la même raison que nous avons peu d'espoir de trouver un de nos amis dans une foule, les conditions de sa

rencontre étant nombreuses et d'un accomplissement diflîcile. Il n'en serait naturellement pas de même si les boules blanches étaient plus petites que la noire ; la probabilité serait changée ; il y aurait beaucoup plus de chances pour que la plus grosse boule se présentât sous la main (1). »

En fait, il est évident que, la causalité une fois admise comme loi universelle, notre attente d'un événement ne peut avoir d'autre fondement rationnel que cette loi. Pour celui qui est convaincu que tout événement a une cause, dés qu'un lait a eu heu, c'est une raison de compter qu'il aura lieu encore, par cela seul qu'il prouve qu'il y a ou qu'il doit y avoir une cause suffisante pour le produire (2) . La fréquence

(1) Prospective Beview, février 1850.

(2) « S'il n'en est pas ainsi, pourquoi sentons-nous que la probabilité lésui-

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du fait ne peut toute seule, abstraction faite de la considération de la cause, donner lieu qu'à une induction per enuynerationem simplicem; les inférences précaires qu'on en lire cèdent la place à d'autres et s'évanouissent à la première apparition du principe de causalité.

La supériorité d'un calcul des probabilités fondé sur les causes est, abstraitement, incontestable; mais, en fait, dans presque tous les cas où les chances sont susceptibles d'une appréciation assez précise pour donner quelque valeur pratique à leur évaluation numérique, ce n'est pas de la connaissance des causes, mais de l'observation même des événements, qu'on tire les données numériques. Gomment calcule-t-ou les probabilités de vie à différents âges et en différents climats, de guérison dans telle ou telle maladie, la proportion probable dans les naissances entre les garçons et les filles, les chances d'incendie pour les maisons et autres propriétés, et celles de la perte d'un navire dans un voyage déterminé? Par les tables de mortalité, par les relevés des hôpitaux, les

tant du premier cas est bien supérieure à celle résultant de chacun des cas subséquents ? Pourquoi, si ce n'est parce que le premier cas nous prouve sa possibilité (une cause qui lui est adéquate) et que les autres nous donnent seulement la fréquence de ses conditions ? La possibilité n'a pas de sens si Ton ne Sc réfère pas à une cause; cependant il est clair qu'avant que le fait eût été observé, nous avions pu ie supposer impossible, c'est-à-dire croire qu'il n'y avait pas réellement dans le monde une force physique capable de le produire.....

Après le premier cas, qui est donc plus important que tout autre pour

la probabilité totale ^parce qu'il prouve la possibilité), le nombre des cas prend de l'importance comme indice de l'intensité et de l'étendue de la cause et de son indépendance d'un temps déterminé. Supposons, par exemple, un saut extraordinaire. Pour évaluer la probabilité de sa répétition un certain nombre de fois, le premier cas montrant sa possibilité (précédemment douteuse) est de la plus grande importance ; mais à chaque répétition, le pouvoir d'exécuter ce saut nous paraît mieux réglé, plus grand et plus invariable, ce qui accroît la probabilité. Dans cet exemple, personne ne songerait à conclure directement d'un cas à un autre, sans se reporter à la force physique révélée par chaque saut. N'est-il donc pas clair que nous ne concluons pas toujours (du moins quand notre connaissance est suffisamment avancée) de ce qu'un fait a eu lieu la probabilité de son retour, mais nous nous reportons à la cause, et considérons les cas passés comme un indice de cette cause, et la cause elle-même comme un guide pour revenir. » {Ibid.)

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registres des naissances, des naufrages, etc., c'est-à-dire par l'observation de la fréquence, non des causes, mais des effets. La raison en est que dans ces sortes de faits les causes ne peuvent pas être soumises du tout à l'observation directe, ou ne l'être pas d'une manière assez exacte, et qu'on n'a pour juger de leur fréquence que la loi empirique fournie par la fréquence des effets. L'inférence n'en repose pas moins sur la causalité seule. Nous raisonnons d'un effet à un effet semblable en passant par la cause. Quand l'agent d'un bureau d'assurances infère de ses tables, que sur cent personnes d'un âge déterminé actuellement vivantes, il y en aura cinq en moyenne qui atteindront l'âge de soixante-dix ans, son inférence est légitimée, non pas simplement parce que telle a été précédemnient la proportion de ceux qui ont vécu jusqu'à soixante-dix ans, mais parce que ce Aiit démontre que c'est là la proportion existant, dans le lieu et le temps donnés, entre les causes qui prolongent la vie jusqu'à soixanlerlix ans et celles qui tendent à la terminer plutôt (1).

S 5. — A l'aide des principes qui précèdent, il est facile

(1) D'après l'écrivain précédemment cité, l'évaluation des chances par la comparaison du nombre des cas où l'événement a lieu et de ceux où il n'a pas lieu M serait généralement tout à fait fautive », et « ce n'est pas là (pour lui), la vraie théorie des probabilités » . C'est du moins celle qui sert de fondement au.\ assurances, et à tous les calculs des chances qui se font dans la pratique de la vie et sont si largement vérifiés par l'expérience. Le motif de l'auteur do l'article pour rejeter cette théorie est « qu'elle considère comme certain un événement qui jusqu'alors aurait invariablement eu lieu, ce qui est extrêmement éloigné de la vérité, même pour un très-grand nombre d'exemples • onliimatifs. » Ce n'est pas là un défaut d'une théorie particulière mais de toute théoiie des probabilités. Aucun principe d'évaluation ne peut s'adapter au cas supposé par l'auteur. Si un événement n'a jamais manqué dans un nombre d'épreuves suffisant pour exclure le hasard, il a toute la certitude que peut donner une loi empirique ; il eut certain tout le temps que la collocation des causes reste la même que lors des observations. Si jamais il fait défaut, c'est que cette collocation aura changé. Mais aucune théorie des probabilités ne nous permettra d'inlerer du passé la probabilité d'un événement dans l'avenir, SI les causes qui peuvent exercer une influence sur l'événement ont, dans 1 intervalle, subi quelque changement.

DE L'INDUCTION

de démontrer le théorème sur lequel est fondée Tapplication de la théorie des probabilités dans les cas où il s'agit de juger si un événement donné a eu lieu, ou de constater la réalité d'un fait particulier. C'est d'ordinaire par (juelquesunes de ses conséquences qu'un fait est constaté et prouvé ; et la recherche roule sur la détermination de la cause qui doit le plus vraisemblablement avoir produit l'effet donné. Le théorème qu'on applique dans de pareilles investigations est le sixième principe de Y Essai philosophique sur les prohahilités de Laplace, qui en fait le « principe fondamental de cette branche de l'Analyse des Hasards qui consiste à remonter des événements aux causes » (1).

Etant donné un effet dont il faut rendre compte, et qui pourrait avoir été produit par différentes causes, sans qu'on sache rien de leur présence dans le cas proposé, la probabilité que l'effetra été produit par telle ou telle de ces causes est la prohabilité de la cause multipliée par la probabilité que cette cause ^ si elle existait, attrait produite effet donné.

Soit M l'effet, et A et B deux causes dont l'une ou l'autre aurait pu produire cet effet. Pour déterminer la probabilit*' qu'il a été produit par l'une et non par l'autre, il faut s'assurer quelle est celle des deux dont la présence était le | plus vraisemblable, et qui, supposé qu'elle fût présente, devait plus vraisemblablement produire l'effet M. La probabilité cherchée est le produit de ces deux probabilités.

PrEiMIer cas. Supposons que les deux causes sont semblables sous le second rapport; qu'il est également vraisemblable (ou certain) de A et de B que, s'ils sont présents, ils produiront M, mais que l'existence de A soit deux fois plus vraisemblable que celle de B, c'est-à-dire que A soit un phénomène deux fois plus fréquent que B, il y aura alors deux fois plus de vraisemblance qu'il était présent dans ce cas et qu'il a été la cause de M.

(1) P. 18, 19. Je ne me sers pas exactement des termes mêmes de Laplace dans l'énoncé du théorème ; mais il serait facile de prouver la signification identique des deux modes d'expression.

En effet, si A se présente, en fait, deux fois aussi souvent que B, sur 300 cas où l'un ou l'autre était présent A l'a été 200 fois et B 100 fois. Or M ne peut avoir eu lieu sans la présence de A ou de B. Par conséquent, si M a été produit 300 fois, il l'a été 200 fois par A et seulement 100 fois par B, c'est-à-dire dans le rapport de 2 à 1. Ainsi donc, si les causes sont également efficaces pour produire l'effet, la probabilité déterminant celle de ces causes à laquelle on doit attribuer l'effet actuel est en raison de leurs probabiUtés respectives antécédentes.

Deuxième cas. Benversons l'hypothèse précédente et supposons que les causes soient également fréquentes, que leur présence soit également vraisemblable, mais non leur intervention dans la production de M; que, par exemple, sur trois fois l'arrivée de A produit l'effet deux fois, et celle de B une fois seulement. Le retour des deux causes étant également fréquent, sur six fois que l'une ou l'autre se présente A revient trois fois et B trois fois. A sur ses trois fois produit M deux fois, et B une seule fois. Ainsi sur les six fois M n'est produit que trois fois ; mais il l'est deux fois par A, et une seule fois par B. Par conséquent, si les probabiUtés antécédentes des causes sont égales, les chances pour que l'efiet ait été produit par elles sont en raison des probabilités qu'elles auraient produit l'effet si elles avaient existé.

Troisième cas. Le troisième cas, celui où les causes sont inégales sous les deux rapports, est résolu par ce qui précède. En effet, lorsqu'une quantité est liée à deux autres de façon que quand l'une demeurant constante est proportionnelle à l'autre, elle doit nécessairement être proportionnelle au produit des deux quantités, le produit étant la seule fonction des deux soumise à cette loi de variation. Par conséquent, la probabilité que M a été produit par l'une ou l'autre cause est comme la probabilité antécédente de la cause multipliée par la probabilité que, si elle existait, elle produirait M. Le qu'il tallait démontrer.

Nous pouvons encore donner du troisième cas une dé-

monstration analogue à celle du premier et du second. Supposons A deux fois aussi fréquent que B, et en outre que la vraisemblance qu'étant présents ils produiront M n'est pas égale. A produit M deux fois et B trois fois sur quatre. La probabilité antécédente de A est à celle de B comme 2 est à 1; leurs probabilités respectives dans la production de M sont comme 2 à 3; le produit de ces rapports est le rapport de A à 3 ; et c'est celui des probabilités de rinihience de A ou d(î B dans le cas actuel. En effet, puisque A est deux fois aussi fréquent que B, sur douze fois où l'un ou l'autre est présent, A l'est 8 fois et B Zi fois. Mais, par l'hypothèse, sur ses huit cas A ne produit M que h fois, tandis que B sur ses quatre cas le produits fois. Par conséquent, M n'est produit que 7 fois sur 12, mais il l'est l\ fois par A et 3 fois par B. Ainsi donc les probabilités de l'influence actuelle de A et de B sur la production de M sont comme à est à 3, et sont exprimées par les fractions , et f . Ce qu'il fallait démonirer.

§ 6. — Il reste à examiner l'application de la théorie des probabilités au problème particuher dont il a été question dans le précédent chapitre, c'est-à-dire au moyen de distinguer des coïncidences accidentelles de celles qui sont le résultat d'une loi, de celles où les faits qui s'accompagnent ou se suivent sont de façon ou d'autre unis par des liens de causalité.

La théorie des hasards nous fournit les moyens, connaissant le nombre moyen des coïncidences à noter entre deux phénomènes dont la connexion est simplement fortuite, de déterminer la fréquence probable du retour fortuit d'une

déviation donnée de cette moyenne. Si la probabihlé d'une

coïncidence fortuite, considérée en elle-même, est — ,

la probabilité de sa répétition n fois de suite est — . Par

7nn

exemple, dans un coup de dé, la probabilité d'amener as étant de |, celle d'amener as deux fois de suite sera 1 divisé par le carré de (5, ou ~. En effet, Tas est amené au pre-

mier coup une fois sur six, ou six fois sur trente-six, et sur ces six fois, à un second coup. Tas ne sera amené qu'une seule fois, en tout une fois en trente-six. La chance d'amener la même face trois fois de suite est par la même raison de l/O^ ou 27^ ; c'est-à-dire que l'événement n'aura lieu en moyenne qu'une fois sur deux cent seize coups.

Nous avons ainsi une règle pour évaluer la probabilité qu'une série donnée de coïncidences est due au hasard, pourvu que nous puissions calculer exactement la probabilité d'une seule coïncidence. Si nous pouvions obtenir une expression également précise de la probabilité que la même série de coïncidences dépend d'une loi de causalité, nous n'aurions qu'à comparer les nombres. Mais cela est rarement praticable. Voyons donc jusqu'à quel degré on peut, dans la pratique, approcher de la précision nécessaire.

La question tombe sous l'application du sixième principe de Laplace, démontré plus haut. Le fait donné, c'est-à-dire la série des coïncidences, peut avoir été produit, ou par un concours de causes tout fortuit, ou par une loi de la nature. Par conséquent, les probabilités pour l'une et l'autre de ces deux origines du fait sont comme leurs probabilités antécédentes nuiliiphées par la probabihté que, si elles existaient, elles produiraient l'effet. Or la combinaison particulière de hasards, si elle se présentait, aussi bien que la loi de la nature, si elle était réelle, produirait certainement Idi^ëvït de coïncidences. Les probabilités pour que les coïncidences soient produites par ces deux causes sont donc comme les probabilités antécédentes de ces causes. Une de ces probabihlés (celle de la combinaison des hasards qui produirait l'effet donné) est une quantité appréciable. Quant à la probabihté antécédente de l'autre supposition, elle peut être susceptible d'une évaluation plus ou moins exacte, selon la nature du cas.

Dans certains cas, la coïncidence, étant supposée un fait de causatioij, doit dépendre d'une cause connue ; la succession des as, par exemple, si elle n'est pas fortuite, n'a pu être oblenue que par le moyen d'un dé pipé. Dans ces cas

DE L'INDICTION

là, nous pouvons être à même de former une conjecture sur la probabilité antécédente d'une circonstance de ce genre, d'après le caractère des joueurs ou tout autre indice semblable ; mais il serait impossible d'apporter dans l'évaluation de cette probabilité rien qui approchât d'une précision numérique. Cependant la probabilité contraire, celle de l'origine fortuite de la coïncidence, diminue si rapidement à chaque nouvelle épreuve, qu'on arrive bientôt au point où la probabilité de tricherie, si faible qu'elle puisse être en elle-même, doit être plus grande que celle d'une coïncidence accidentelle; et l'on peut généralement dans la pratique en faire sans hésitation la base de son jugement, si l'on a la faculté de répéter l'expérience.

Supposons maintenant que la coïncidence soit de celles qu'on ne peut exphquer par aucune cause connue, en sorte que la connexion des deux phénomènes doive, si elle est l'effet d'une causation, dépendre d'une loi naturelle encore ignorée. C'est le cas que nous avions en vue dans le précédent chapitre. Alors, quoique la probabiUlé d'une coïncidence accidentelle puisse être appréciée, celle d'une loi naturelle non encore découverte n'est évidemment susceptible d'aucune évaluation, même approximative. Pour réunir les données requises pour un cas de ce genre, il serait nécessaire de connaître la proportion dans la nature de tous les cas de succession et de coexistence résultant d'une loi et de ceux qui sont purement fortuits. Comme il est évident que nous ne pouvons former sur cette proportion aucune conjecture plausible, et encore moins l'apprécier numériquement, il n'y a pas à tenter une évaluation précise des probabilités relatives. Mais ce que nous savons, c'est qu'il n'est pas rare de découvrir une loi naturelle inconnue, une constance dans la liaison de certains phénomènes qui avait échappé jusqu'alors à l'observation. Si donc le nombre des cas où la coïncidence est constatée dépasse de beaucoup la moyenne donnée par le simple concours des hasards, de sorte qu'une telle série de coïncidences résultant uniquement du hasard serait un événement tout à fait extraordi-

naire, nous aurons le droit d'en conclure que la coïncidence est l'effet d'une causation, et de l'accepter (sauf les corrections que peut indiquer une expérience ultérieure) comme loi empirique. Nous ne pouvons pousser la précision plus loin, et dans la plupart des cas la solution d'un doute pratique n'en exige pas davantage.