RÉCIPROQUES APPROCHÉS
Puisqu'on connail direclemenl le logarilhme de (1 ± d), lorsque 6 esl suffisamment pelil, il esl évident que Ton connaît également le logarilhme de tout autre nombre, lorsqu^en le multipliant par un ou plusieurs facteurs compris dans les tables, on obtient un produit de la forme (1 d=d}. On y arrive facilement au moyen des réciproques approchés.
Deux nombres sont réciproques Tun de Tautre, lorsque leur produit esl égal à Tunité; ainsi 6,4 et 0,1 5625 sont réciproques, car 6,4xo,i5625= 1.
Soit a une quantité moindre que Tunité, il résulte de la relation
(i +a) (1 — a)= i — a^ que
donc
(,+a) (i~a + Y^)=i et (1 -a) (1 +a + ^) = 1
On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque esl toujours plus grande que 2 ; mais elle n^en diffère que d'une quantité à peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit.
Par conséquent, si a est suffisamment pelil, cl si desi une quantité moindre que a,
( 1 H-a) sera le réciproque approché de ( i —a+d) et
(i — a) sera le réciproque approché de {i +a+d)
Désignons le nombre par N et son réciproque par R , de manière
que NR = 1 ; et soit, par exemple, a=o,ooo3 ; le réciproque de i ,ooo3 sera plus grand que 0,9997 ; mais il n en diflfère que d'une quantité moindre que 0,00000009; en effet on a
donc
et
N=i,ooo3 R>o.9997
Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à Tunité, il s'ensuit que si Ton multiplie un nombre par son réciproque augmenté ou diminué dune petite quantité, le produit sera plus grand ou plus petit que Tunité, quil sera de la forme (1 ± d), et que la quantité 6 sera d'autant plus petite que la différence entre le réciproque approché et le réciproque exact sera moindre.
Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est 0,188679 et leur produit est égal à l'unité; si au lieu d'employer pour facteur le réciproque exact 0,188679. , . on multiplie 5,3 par 0,19 valeur approchée du réciproque, on obtient pour produit 1,007.
De même, le réciproque de i,ooo8oo65^3 est plus grand que 0,9991993457, et si l'on multiplie ce nombre par 0,9992 ou 1,0^8, on obtient pour produit i,o''i38.
Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre peut, à l'aide d'une ou de plusieurs multiplications par des réciproques approchés, être amené à un produit de la forme (1 =b d), dont on trouve directement le logarithme dans la table IIL
La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la table.
Il est facile de remplir cette condition à Taide des considérations suivantes :
I. Tout nombre multiplié par son réciproque forcé au second chiffre donne pour produit F unité suivie immédiatement d'un zéro au moins.
En effet, si Ton s'arrèle au second chiffre du réciproque en Taugmenlant d'une unité, il est évident qu'on Taura augmenté de moins d'un dixième de sa valeur; par conséquent en multipliant le nombre par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que i, mais plus petit que 1,1 ; donc le premier chiffre décimal du produit sera nécessairement un zéro.
Exemple :.Le réciproque de 77 est 1298761 ; si Ton multiplie 77 par i3, on obtient pour produit 1001.
La table I donne les réciproques de tous les nombres naturels de 1 à 100; pour connaître le réciproque forcé d'un nombre « on prendra dans la colonne intitulée f-j deux nombres consécutifs, l'un plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des deux réciproques.
Ainsi, par exemple, étant donné le nombre 27802845, on trouve dans la table que ce nombre est compris
entre 2887 ... . réciproque de 35 et 2778, . . . réciproque de 36
donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, et en le multipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité , mais moindre que 1,1; en effet :
3,6 X 0,27802345 = i,ooo8844a«
If. Lorsqu'un nombre est composé de Vunité suivie d'une fraction décimale dont les premiers chiffres sont des zéros et qu'on le multiplie par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un produit plus approché de l'unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont
i,ooo4. •• .on le multipliera par son réciproque approché au cinquième chiffre i ,o'4-
Comme le réciproque de i ,o'4 ou de 0,9996 est 1 ,ooo4oo 1 60064* il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,00049999 et i,ooo4ooi6, le produit sera plus grand que l'unité , mais il sera toujours plus petit que i,o'5x 1,0^4= i>ooo0998o; par conséquent, le produit aura toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale.
On aura par exemple :
i,o'49896x i,o'4o694x i,o''*4oo94x i,o^4oo24x i,o'4ooi7X
,0^4=1.0*9876 ,oM= 1, 0^^678 ,0^4=1,0^78 ,0*^4=1,0^8
,oH= 1*0^1
Ëniin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o'4f c'est-à-dire, s'il est compris entre i,ooo4«ooi6 et j,ooo4-oooo, le produit sera moindre que l'unitjé, mais plus grand que i,o'4xi,o'4 = 0,9999.9984; par conséquent^ les zéros seront remplacés par un nombre au moins double de cbiflres 9 ; ainsi on aura :
1 ,oMoo 1 5 Xi ,0^4 = 0,99999999 1 ,o'4ooo3 X 1 ,0*4 = 0,99999987
Désignons en général par a la valeur absolue du premier chiffre significatif;
Et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit;
Le nombre sera (1 +a + </)• ctsi l'on effectue la multiplication par le réciproque approché (1 — a), le produit sera [1 +rf — a(a + J)]; par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera supprimé, et la fraction décimale qui le suit, sera diminuée.
Mais le réciproque de ( 1 — a) est ( i +aH ^); donc, si d est
plus grand que ——n le nombre ( i +a+d) est plus grand que le ré-
ciproque de (\—a), et le produit sera plus grand que Tunité; mais il aura au moins un zéro de plus que (i +a + (/), attendu qu'il sera moindre que {\ +d).
Exemple :
Si d est moindre que •— — , le nombre (i +a+rfj sera plus petit que le réciproque de (1 — a); donc le produit sera compris entre Funité et (1 +a) (1 —a) =i—a\
Or a est un nombre entier du n' ordre décimal, compris entre I et 9; donc son carré a^ sera du 2R* ordre décimal et compris entre 1 et 8 1 , et si (1 + a) contient (n — 1} zéros après la virgule décimale , {i — a?) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple :
m. Lonquun nombre commence par plusieurs chiffres 9 et qu'on le multiplie par Vanité augmentée du complément arithmétique du premier chiffre décimal à la suite des 9, on obtient toujours un produit plus rapproché de Vanité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996 , on le
multipliera par 1 ,o'4-
Comme le réciproque de i,oM est 0,9996001599. •, il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire s'il est compris entre 0,9996.9999 et 0,9996.0016, le produit sera plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que 0,9997X1,0*4
= i,o*3xi>o^4= 1,00009988; par conséquent, on obtiendra pour produit Funité suivie d un nombre de zéros plus considérable que le nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé. Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales:
0,99965696 X i,oH= 1,0*5682 0,99960694x1,0*4= 1,0*678 0^99960094 X 1 ,oM= i ,0^78 o,9996oo24x i,o'4= i,o''8 0,999600 16x1 ,o'4= 1
Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o'4« c'est-à-dire, s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le produit sera moindre que Tunité, mais plus grand que
par conséquent on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9 au moins double ; par exemple :
o,9996ooi5x 1,0*4=0,99999999
En général, désignons par a le complément du premier chiffre après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le nombre sera [\ — a + d), et si Ton effectue la multiplication par le réciproque approché ( 1 -f- a), le produit sera
1 H-d — a (a— rf)
Mais le réciproque de (i +a)esi Ti — aH — - — j; donc, si rf > , le nombre [i —a-\-d) sera plus grand que le réciproque
de (1 +a) et le produit sera plus grand que l'unité; en outre, puisque ce produit est moindre que (i + (/), il aura au moins un zéro de plus que le nombre n^avait de 9.
Par conséquent, tous les 9 el le premier chiffre de la fraction
décimale a seront supprimés, et la fraction décimale qui les suit sera diminuée de a(a— J).
Exemple :
ff
Si d<Z ' le nombre (i —a+d) sera moindre que le réciproque
de (i+a), et le produit sera moindre que Tunité, mais plus grand que
Donc, si a est un nombre entier du n' ordre décimal compris entre 1 et 9, son carré à^ sera du 2/1' ordre décimal et compris entre 1 et 81 ; et lorsque (1 — a) contient (w— i) chiffres 9 après la virgule décimale, (1 — a?) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple :
Les tables II et IV contiennent les logarithmes des nombres de la forme m + ~n) ' depuis n= 1 jusqu'à 71= 1 4; à partir de là on a
et
par exemple :
log i,o*'4=^o,o'*i 7 .37 1 77 . 92761 ,50 log 1,0^*4 = 0,0^'* 1.73717.79276.15 log 1,0*^4=0,0^* 17371.77927.62 log i,o'^'4 = o,o'^ I 737 . 1 7792 . 76
En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la recherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier successivement le nombre par des réciproques approchés au second chiffre significatif, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un produit delà Forme (i =bd), dont on trouve le logarithme par simple addition.
On mulliplie d'abord le nombre donné par son réciproque forcé au second chiffre; le produit sera un nombre composé de l'unité et d'une fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce produit multiplié par l'unité diminuée, de la valeur du premier chiffre significatif (c'est-à-dire , par son réciproque approché au deuxième chifirc significatif) donnera un nouveau produit ayant après la virgule décimale au moins un zéro de plus.
En continuant de procéder ainsi, on finira par obtenir un produit de la forme ( i +6) et dont le logarithme est égal k kd.
Soit N le nombre donné, p son réciproque forcé,
( 1 — a), ( 1 — 6), ( 1 — c),.. . . les autres facteurs,
( — a), ( — 13), ( — y)»- • • leurs logarithmes respectifs,
et soit (i +0) le produit final,
on aura : N/?(i— a) (i — b) ( i ~c). . . ~ i +
d'où logN+log/) — (a-t-|3+y + . . .) = k6,
et logN = comp. log/) + (a-f|3+y-*-. . .) + kd
Or, la table I contient les compléments des logarithmes des cent dix premiers nombres naturels;
I.a table II contient les compléments des logarithmes des nombres
de la forme ( i — ^. j ;
Et la première partie de la table III contient les multiples de A.
Par conséquent, au moyen de ces trois tables, il sera toujours facile de trouver le logarithme de tout nombre donne.
Ex. 8. Calculer avec i o décimales exactes log 5882365432. En multipliant le nombre donné par son réciproque forcé 17, on
obtient pour produit i ,0^2 1 2 344i dont on trouve, table III, le logarithme au moyen d'une simple multiplication par le module.
Voici tout le calcul :
,76955. 107862 =comp. log 17 (lab. I)
log N = 9,76955 • 200082
Ex. 9. Calculer avec 10 décimales exactes le logarithme de :
On voit, table I, que le réciproque du nombre donné est moindre que 5i; en multipliant le nombre par 5i, on obtient pour produit i,oo2 0o5. . ., qui, multiplié lui-même par son réciproque approché 0,998 ou 1,0^2, donnera pour produit final 1,0*11395 dont on trouve directement le logarithme table III.
Voici tout le calcul :
1, 00200.51498 X 1,0^2 200. 4oio3
4949 =log(i + 6)^ 86 . 94587 = - log 1 ,0^2 (tab. II) 29242 .98239 =:comp. log 5i (tab. I)
log N = 0,29329. 97775
Ex. 1 0. Calculer le logarithme de i ,ooo4o . o 1 2 1 3 avec 1 2 chiffres exacts.
I ,ooo4o . o 1 5 1 2 . 1 3o XI ,o'4 4 i6oo.6o5
-38.424 =log(i-0)
0,0^17.37525.456 =comp. log i,oM(tab. 11)
logN = 0,000 17. 37487.032
Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son réciproque approché i,o'4 est moindre que Tunité, par conséquent son logarithme est négatif.
Ex. 11. Déterminer avec i5 décimales log 99999«g8234-56789
1,0'' 234.567537 Xl,o''2 2 5
0,0* 1 5. 01 2488 =log(n-0)
86 . 858897 = comp. log 1 ,0^2 -868.588877 =^-log i,o«2 (tab.IV)
logN= 1 4,99999 • 99233 . 282508
Exemple 12. Calculer avec i5 décimales exactes le logarithme de TT = 3,14159.26535.89793
