PREMIER PROBLÈME

Trouver le logarithme vulgaire <Vun nombre entier ou décimal

donné.

On le multiplie par une suite de facteurs tels que le produit devienne égal à 0,999999..., c'est-à-dire sensiblement égal à Tunité. Soit N le nombre et P le produit des facteurs, on a N X P = 1. Donc log N = — log P ; ainsi le logarithme cherché est le complément du logarithme de P. Toute la difficulté consiste donc à trouver les facteurs du produit P.

Prenons un exemple. Soit le nombre 123456. On le multiplie g par — 2, on a pour résultat 0,987648. On multiplie ce produit

'lu/

par le facteur 1,0" r, le symbole 0" représentant autant de o qu'il y a de 9 au produit à droite de la virgule et r le complément à 9 du premier chiffre différent de 9. On répète la même opération sur le nouveau produit et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un produit dont les six premiers chiffres soient des 9. Le dernier facteur sera l'unité suivie de six o et des compléments à 9 des six autres chiffres de ce produit.

Disposition du calcul :

Facteurs, fi

Nombre 128 456 — j

«•' produit 0,987 648 4 ,01

Remarquons que le produit de 0,999 999 33o 349 par 4,000 000 669 680 est égal à 0,999 999 999 999 ••• Oa le reconnaît en observant que ce produit égale 0,999 999 33o 349 X * + (1 — 0.000 000 669 684) X 0,000 000 669 680 = 0,999 999 33o 3i9 + 0,000 000 669 680, moins un produit partiel qui^ ayant au plus 12 chiffres et exprimant des unités du 24* ordre décimal, n'influe pas sur les 42 premières décimales du produit. Remarquons en outre que le dernier multiplicateur 1 ,000 000 669 680 est le produit des facteurs

4,o«6xi,o'6 X 1,0*9X1,096 x i,o'»8.

Si on fait en effet le produit de ces facteurs en s'arrêtant à la 12* décimale, on reconnaît que Terreur commise n'influe pas sur les décimales conservées.

Fin du calcul : '

Loi^arithmes des facteurs.

liOgarithme du produit = 6,90848 77983 78 Log 123456 = 5,09461 2204627