ALGÈBRE
n. ALGÈBRE.
Résolution du système des deux équations du premier degré aaî-j-6y = c et a'a; + 6'i/=:c' :
cb' — bc^ ^acf — ca'
^-Qh'^ba' ®* '^-ay^ba'
Équation du second degré aa^ + 6» -{- c = o :
2a Si le coefficient de œ est pair, soit acc^ -f 2 6a? -f c = o :
— 6r± v/6' ~ ac
Décomposition du trinôme aa?' + 6a7-f ^ on facteurs du premier degré :
acc^ -\'bX'{-c=:a{x-'œ') {x — af)
xf, x^, racines de Féquation ax* + bx-\-c = o.
Relations entre les coefficients et les racines de Téquation x'^'\-pX'^q=zo :
Maximum de x^^zp, . . pour a? + 1/4-2. . . = constante :
Minimum de a? + 1/ -}- s. . . pom* x^y^zP. . . constant : môme condition.
Développement de la m' puissance d'un binôme; formule de Newton :
(x-^a)^=raf^'\-max^-i+ ^^^~^^ a«a3*-»+
Logarithmes : L, logarithme naturel^ hyperbolique ou népérien; log^ logarithme vulgaire; e, base des logarithmes naturels: M^ module des logarithmes vulgaires :
/o^n = MLn
[1 • i 1 "1 i H ô7 i — r%+ D ; — \k • • • 2n-|-i 3(2nH-4)* 5(an + 4)' J
GÉOMÉTRIE PLAKE.
Règles pour la construction d'un triangle rectangle en nombres entiers.
Règle de Pythagore (le côté a est donné en nombre impair) :
Règle d'ARCHYTAS et de Platon, [a, pair) :
Règle générale : (œ* — t/')* + 4œV = (a?*+i/«)*.
Triangle quelconque : a, 6, c, côtés opposés aux angles A, B, C; m, médiane du côté a; n, bissectrice de l'angle
GÉOMÉTRTB. 185
opposé Af a', a', segments du côté a déterminés par la bissectrice :
IT 7-7, S^bc [6 + c « — a«]
S, surface du triangle; /?, demi-périmètre, r, r', r^, r*, rayons du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits; R, rayon du cercle circonscrit ; d, d', d", distances du centre du cercle circonscrit aux trois côtés; D, D', IV, D'", distances de ce centre aux centres des quatre cercles de contact ; m, m'j m^j médianes; q, leur demi-somme; h, hf, h", hauteurs :
S = îa/i=pr = (p— a)r'=(;? — 6)r* = (p — c)r''' = \Jp(p — a){p--b){p-'c)
z^Urr'r'' V'
abc 2
hh'hr
yj{hh' -f hh" + h' h") [hN -\- hh" — h' h")
hh'h"
^(hh' + h'h" — hh") [hh" -f h' h" — hh')
D = V^R(R — ar) R+ r = d-hd'-|- d"
D« + D'«+D''« + D'"*=42R« ^ etc.
Quadrilatère inscrit : a, b, c, d, côtés 3 p, demi-pérn
mètre; D, diagonale menée par le point de concours des côtés a, b; S, surface :
j.__. / {ab + cd) {ac -f bd) ^ — y ad + bc
S-=s/{p-a){p-b){p-c){pr^di
Trapèze; a, b, bases parallèles; hy leur distance; Cy d, côt^ non parallèles; p, moitié de (a — 6) + c + rf; S, surface :
?,=i(a + b)h=.^±^^\lp[p-(a-b)](p-e){p-d)
Polygones réguliers de côté a; R, rayon du, cercle circortf^ scrit; r, rayon du cercle inscrit:
Triangle R = ia^ r = io/3
Carré -axf^
Pentagone — aV5o-hio/5 — a V^ 254-40V5
Hexagone a - a ^?
Octogone i a V4 + 2/2 !« (1 ^ ^7)
Décagone i a (4 + v^) - a /ô-j-TT^
Dodécagone -a (y/ 6 + ^) -a(2-f- y^)
Polygones réguliers inscrits dans le cercle de rayon R; a, côté du polygone ; r, apothème -
Triangle o = Rv^ r = iR
Carré Ry/li • î-Ry^T
Pentagone ars-RV'io — ayô r = iR(i-fv^5) Hexagone R 1 R lAJ
Octogone R y a — V^ î R v/lTfVT
Décagone - R (/5 — i) * R V*o + 2v/^
Dodécagone i R (V?— )/l) |- R (y/IS + y/T)
Surface des polygones réguliers; !• de côté a; 2» inscrits dans le cercle de rayon R :
Triangle . )-a*\/J rR*V^
Carré a* a R*
Pentagone ^ a» V'aô + iov^ | R* v/Tô+W^
Hexagone -a^\/l -R'V^T
Octogone a a* (j -f- v/T) 2 R* v^
Décagone - a* V 5 -f- 2 y^ T -R'^io — ay^ô"
Dodécagone 3 a^ (a + y^ 7) 3 R*
p, P, périmètres, et s, S, surfaces de deux polygones régU' tiers semblables j Tun inscrit, l'autre circonscrit au cercle; p\ P', périmètreSj et s', S', surfaces des polygones réguliers^ d'un nombre double de côtés j l'un inscrit, l'autre circonscris au même cercle :
R, r, rayon et apothème d'un polygone réguHef; R', r^, rayon et apothème du polygone régulier dun nombre double de côtés : d*> de même périmètre; 2*> de même surface :
r'=5±r R'=:i/Rx5^tl R'-r'<7(R~r)
'=:i/r-x2-i^ R' = V^RÎ^ R' — r'<i(R — r)
Cercle; r», rayon; C, circonférence; S, surface. C = 27tr S=iCr = iir« C« = 4iiS
Secteur de cercle; l et a, longueur et amplitude de l'arc; S, surface :
<=ÎL« s=ijr = ^ <• = =«. s
Aire du segm.ent de cercle : - r (i — r sin a)
Aire de Vellipse : izab = 'Ka'b' «m a a, 6^ demi-axes; a\ 6', demi-diamètres conjugués comprenant un angle a.
Hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes ; aire du segment compris entre l'asymptote, l'arc d'hyperbole, l'ordonnée du sommet et une ordonnée quelconque : elle a pour mesure le logarithme népérien de l'abscisse correspondant à cette dernière ordonnée, S =■ Lx,
Parabole j aire du segment compris entre un diamètre, Tare
et l'ordonnée du point extrême : - xy sin a
Xj y, coordonnées de l'extrémité de l'arc; a, angle de ces coordonnées.
Cyclotde; r, rayon du cercle mobile générateur; /, longueur de la cycloïde rectifiée; S, surface :
f = 8r S=3irr«
Vîc= 1,77245 38509 111:= 1,46459 18876
LogTï = 0,49714 98726 94133 85435 360^* =. 21 600' = 1 296 000".^
Rapport du rayon à l'arc d'un degré = 67,29578
» d'une minute = 3 437,747
x> d'une seconde ^^ 206 264,8
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.
Volume de la pyramide; b, base; h, hauteur : 5 bh
Volume du tronc de pyramide à bases parallèles; 6,6', bases; h^ hauteur : i /^ (6 + 6' + \/bP)
Volume du tronc de primie triangulaire; 6, base; hjhf^ h", hauteurs des trois sommets : ^ 6 (/i + /i' -f /i")
Volume du tronc de parallélipipède ; 6, base; h et hf, hauteurs de deux sommets opposés : - 6 (A + h')
Cylindre droit à base circulaire; r, rayon de la base; h hauteur; S, surface latérale; V, volume : '
S = 2irr/i V = Ttr^h
Cône droit à base circulaire; même notation; a apothème S = Tvra V = i Tvr^h
Tronc du cône droit; R, r, rayon des bases; a, apothème; hj hauteur :
S = 7i(R+r)a V=|ii/i(R«4-r* + Rr)
Sphère; r, rayon; d, diamètre:
Aire de la zone sphérique de hauteur h : 2itrh
S, aire du fuseau sphérique d'angle a; V^ volume de Vonrglet:
Aire du triangle sphérique; a, p, y, les trois angles*
Volume du secteur sphérique; h, hauteur de la zone qui
lui sert de base : ^ irr*/i
Volume du segment sphérique; hj hauteur; R, r, rayons des bases :
Formule générale de Sarrus, s^appliquant au prisme, au cylindre, à la pyramide, au cône, aux troncs de pyramide et de cône, à la sphère, aux ellipsoïdes, aux segments de sphère
et d'ellipsoïde : V = ^ A (6 f 6' -f 4 6")
V, volume du solide compris entre les bases parallèles b et b', qui peuvent devenir nulles; /i, distance de ces deux bases; b^y surface de la section parallèle aux bases et équidistante.
Théorème de Guldin. Surface et volume d'un solide de révolution; Ij longueur de la ligne génératrice; s, aire tournante; r, r', distances des centres de gravité de la ligne génératrice et de l'aire tournante à l'axe de rotation :
S = 27crZ V = 2Tcr'«
Volume engendré par un polygone régulier 1® de côté a, 2° de rayon R, tournant autour de son côté :
Triangle r-na' -tzB? V3
Carré ira* 2 uR' ^
Pentagone ^ na^ (54-2 \JT) | ttR» V^5 + 2 V 5
Hexagone ^ica' jwR*
Octogone 2 ira' (3 h- 2 /7) 2 iïR* VÂh-W^
Décagone - wa' (5 -f 2 /5 ) - irR' /5
Dodécagone 3 na» (7 + 4 V^ 3 ) -luR' (v^ 6 + v^)
Volume engendré par un triangle quelconque tournant autour de son côté a ;
4^ P(P — g)(p — fe)(p— c)
Polyèdres réguliers de côté a; R et r, rayons de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite; a, angle dièdre :
Tétraèdre :
R=iav/?
Hexaèdre !
Cos a — r
Octaèdre:
Cl08a = o
-aJlt 2 ^
Dodécaèdre :
Gosas — »
ta(/Î5 + v/3) ia\/2l±jîE Tga = -
Icosaèdre
cos — Formule générale donnant l!angle dièdre a : Sin -=
