PRODUITS

INTRODUCTION

MULTIPLICATEURS.

i,ooo5

LOG. DBS M1LTIPL.

50285 01273 Complément = log cherché o , 497 1 4 9&7 a 7

Remarquons que, lorsqu'on est arrivé à un produit dont la première moitié dés chiffres est composée de 9, on peut écrire immédiatement sans calcul les facteurs qui restent à trouver, en prenant les compléments des chiffres restants du produit. Ainsi, dans l'exemple précédent, après être arrivé à un produit dont' tes cinq premiers chiffres sont des 9, sur les dix chiffres qu'il importe de conserver, on aura immédiatement les facteurs

1,000002, i,oooooo5, 1,00000004,..., que nous avons représentés, pour abréger, par le symbole

1,0000025484 1, valeur approchée de leur produit.

II. Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant.

On retranche du logarithme proposé celui des logarithmes de la Table qui en approche le plus par défaut. On agit de même pour tous les restes obtenus successivement, puis on fait le produit des facteurs, correspondants aux divers logarithmes soustraits

Exemple. — Trouver le nombre correspondant au logarithme

Voici le tableau du calcul :

I,OOÔ7

6 oooo3 8

Le nombre cherché est donc

valeur de la base des logarithmes naturels.

Remarquons que le produit de la seconde moitié des facteurs s'écrit immédiatement en ajoutant l'unité à la somme de leurs parties décimales ; il est facile de prouver que Terreur commise n'influe pas sur les décimales conservées. Ainsi, le produit des facteurs (6), (7), etc., est 1,0000064019.

Tables de logarithmes et d'anti-logarithmes à quatre et à trois décimales.

La première Table contient les logarithmes à quatre décimales des nombres de 100 à jooo. Nous avons adopté pour cette Table, ainsi que pour les suivantes, la disposition à double entrée. La colonne marquée D contient. la différence entre le dernier nombre de chaque ligne et le premier de la ligne suivante.

Nous avons ajouté à cette Table deux petites Tables de logarithmes et d'anti-logarithmes à trois décimales.

La seconde Table donne , pour chaque valeur de la mantisse d'un logarithme, les chiffres significatifs du nombre correspondant. Ainsi, à la mantisse 345 correspond le nombre 221 3. A la mantisse 8673 correspond le nombre

La troisième Table sert à trouver directement le logarithme naturel ou hyperbolique d'un nombre quelconque. Pour faire usage de cette Table, on commence par diviser (ou multiplier) le nombre donné par une puissance de 10, telle qu'il y ait trois chiffres à gauche de la virgule. On cherche alors dans la Table le logarithme correspondant; puis on lui ajoute (ou on en retranche) le logarithme de la puissance de 10 par laquelle on a divisé (ou multiplié).

Exemple. — Pour avoir le log. nat. de 7r = 3,i4i5o,. . ., je multiplie ce nombre par 100, puis je trouve, pour le log. de 3 14, 159..., le nombre 5,7499, auquel j'ajoute log-ïiy = 5,3948; donc log*r = 1,1447.

Réciproquement, étant donné un logarithme naturel, on lui ajoute (ou l'on en retranche) un multiple de log 10, tel que le résultat soit compris entre

log 100 = 4>&>52 et log 1000 = 6,9078.

On cherche ensuite le nombre correspondant, comme s'il s'agissait de logarithmes décimaux. IJnfin on tient compte , dans le placement de la virgule, de la puissance de 10 dont on a ajouté (ou retranché) le logarithme. Exemple. — Soit

logj?= 2,7183.

En ajoutant log 10 = 2, 3026 , on a

log (10*) = 5,0209, d'où

iojc= i5i-l-$£ = i5i,54 et par suite .r = i5,i54.

Table des plus petits diviseurs des nombres composés.

Pour décomposer un nombre en facteurs premiers à l'aide de cette Table, on commencera par diviser ce nombre autant de fois que possible par les facteurs

[ xxxii ] INTRODUCTION.

§ rentiers a, 3, 5, u, dont les multiples sont aisés à reconnaître. Si le nombre, ébarrassé de ces facteurs, se trouve dans la Table, on lira à côté son plus petit facteur premier, par lequel on le divisera. On opérera de même sur le quotient, et l'on continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne à un nombre qui ne se trouve pas dans la Table, et qui sera nécessairement un nombre premier.

Ainsi, après avoir reconnu que le nombre io543 n'est divisible par aucun des facteurs a, 3, 5, n, on le cherche dans la Table, et l'on trouve que son plus petit diviseur est 1 3. Le quotient 8i i ne se trouvant pas dans la Table, on en conclut que les facteurs premiers du nombre io543 sont i3 et 8u.

Table à dix décimales des lignes trigonométriques naturelles et dos longueurs des arcs en parties du rayon.

Cette Table donne les valeurs des lignes trigonométriques naturelles de degré en degré.

I. Pour obtenir les valeurs de ces fonctions correspondantes aux arcs intermédiaires, on se servira de l'un ou de l'autre des systèmes de formules

sin (a -h x) = sina cosx + cosa sinx, cos (a + x) = cosa cosar — sina sinar, / * / , \ tanga-J-tanga-

cot(«+«)= c ; a T t "' 8x ,

v ' i + cotatangj?

sin (a -4- x) — svaa = 2sin \ x cos {a -f- j x),

cos {a 4- x) ■*- cosa = — a sin £ x sin (a •+- \ x),

i \ r * / . \ sina:

(a) < tangftf + .r) — tanga = ; — ■ — r>

v a ol ' & cosa cos (a -h x)

COt(tf-hx) — COU = : r— 7 ; r>

v ' sinasin(a-h*p)

a désignant un des arcs de la table, et x la différence entre cet arc et l'arc donné a-\-x, différence qui, abstraction faite du signe, peut toujours* être supposée moindre que 3o'.

La Table auxiliaire qui donne les sinus et les tangentes pour les 3o premières minutes, pourra faire connaître, par une simple proportion, la valeur de sin x ou de tangue. On aura ensuite cosx par la formule

cosx = i — \ s\n*x — j sin 4 a: — ...,

dont les deux premiers termes suffisent en général. On connaîtra de cette manière tout ce qui est nécessaire pour le calcul des formules (i).

Si l'on veut se 'contenter de connaître les valeurs de sin(a-f-ar), cos(a-f- #),..., avec sept décimales, il sera plus simple d'employer les formules (a), en s'aiaant de nos Tables logarithmiques à cinq décimales. On prendra log cos (a -H | x), log sin (a -f- ± x),..., dans la Table II; log sin|# et log tangx dans la même Table, ou mieux encore, dans la Table I (voyez p. xvi), et l'on obtiendra une valeur exacte, au septième ordre décimal près, de la correction qu'il faut ajouter à sina, cosa,....

Si l'on se sert, pour le même calcul, de Tables à sept décimales, on obtiendra les résultats avec deux décimales de plus.

INTRODUCTION. [ xxxm j

Soit proposé, par exemple, de calculer le sinus de l'arc

a-hx — 29 4a' 36".

On fera

i°. En prenant les formules (i), on calculera d'abord sin.r en ajoutant à sin 17' les ij de la différence 0,0002 9088 44 entre ce sinus et sin 18'. On aura ainsi successivement

sin-r = — o,oo5o 61 43 32

1 — cosx = ïsin'x = 0,0000 1280 91

— j sin* x sine = — 0,0000 0640 46

sina= o,5ooo 0000 00

sin#cos.r= 0,4999 9^9 54 cos«sinx= — 0,0043 8332 97

sin(<z-4-#)= 0,4956 1026 57

valeur exacte jusqu'à la dernière décimale.