III. Convertir Varc de 57° 17' 44", 81 en secondes
Le degré valant 36oo secondes et la minute 60 secondes, on trouve, au moyen de la Table des multiples de 36 et de 6 :
57° ao5aoo"
17' ioao
somme 206264", 81
Table des logarithmes des lignes trigonométriques.
Cette Table renferme les logarithmes des sinus, des tangentes et des sécantes pour toutes les minutes du quadrant, et par suite aussi ceux des cosinus, des cotangentes et des coséeantes des mêmes arcs.
Les sinus et les cosinus de tous les angles, ainsi crue les tangentes des angles moindres que 45 degrés, étant des quantités moindres que l'unité, leurs logarithmes doivent avoir des caractéristiques négatives; mais des raisons typographiques nous ont fait conserver l'ancien usage, qui consiste à introduire dans les Tables ces logarithmes augmentés de 10 unités. Dans la pratique, on devra remplacer les caractéristiques 6, 7, j*, 9 des colonnes marquées en haut Sinus, Tang., Cosin., respectivement par 4,3,2, 7.
L'usage de cette Table dépend, comme pour la précédente, de la solution de deux problèmes.
I. Un angle étant donné, trouver les logarithmes de ses lignes trigonométriques.
Supposons d'abord que l'angle donné soit compris entre o et 90 degrés. S'il se
le
[ xiv ] INTRODUCTION.
compose seulement d'un nombre entier de deaprés et de minutes, on trouvera immédiatement dans la Table les logarithmes de ses lignes trigonométriques, en observant que, pour les angles compris entre o et 45 deerés, la graduation se lit en haut et à gauche de chaque page, tandis que, pour Tes angles compris entre 45 et 90 degrés , la graduation se lit en bas et à droite.
Si 1 angle donné renferme, outre les degrés et les minutes, des secondes ou des fractions de seconde, on trouvera les logarithmes de ses lignes trigonométriques au moyen d'une interpolation analogue à celle de la Table I. D faut seulement remarquer que, pour le cosinus, la cotangente et la cosécante, le logarithme va en diminuant lorsque l'angle croît; d'où il résulte que les différences et leurs parties proportionnelles sont soustractives , au lieu d'être additioes, comme pour les logarithmes des nombres et des autres lignes trigonométriques.
Nous n'entrerons pas dans de plus longs détails sur ces règles, que les exemples suivants feront suffisamment comprendre.
Exemple I. — Soit proposé de trouver le logarithme sinus de Parc
Cet arc est compris entre i3°a3', dont le logarithme sinus est 7, 36449, et i3°a4', dont le logarithme sinus surpasse le précédent de 53 unités décimales du cin-
quième ordre» La variation du logarithme sinus étant sensiblement proportionnelle le d'une minute , il s'ensuit qu'à un accroissement de
à celle de Parc dans l'intervalle <
£2 5 l'arc égal à 42", 5, ou à ± ^- de minute, correspond un accroissement du loga-
ii 5 rithme sinus égal aux - L ~ de 53 unités du cinquième ordre. Or
à moins d'une demi-unité près. Donc
log sin# =T, 36449 H- 38 = 7, 36487.
Cette interpolation exigeant une multiplication et une division, nous avons construit des Tables des parties proportionnelles des différences, au moyen desquelles ce calcul peut se taire à simple vue. Ces Tables renferment les produits, calculés à moins d'une demi-unité près, du soixantième de chaque différence tabulaire par les nombres
En employant ces Tables dans l'exemple actuel, le calcul se fait de la manière suivante :
Total (en négligeant les fractions) 37
à ajouter à log sin i3° a3' 7, 36449
logsino: 7,36486
Exemple D. — On demande le logarithme tangente de 49 35' 37*.
Part. prop. pour j
ar=49°35'37 ,r ) „ 4 4 3o" i3
Diff.tab. = 26 Part. prop. pour 3
Total 16
à ajouter à log tang 49° 35' 0,06978
log tangor 0,06994
INTRODUCTION
Exemple m. — Trouver le logarithme cosinus de 7g a5' 16*, 7.
fxvj
Diff.
Total 19
à retrancher de log cos 79 25' 7 , 26403
log cosx 1 , a6384
On pourrait rendre les parties proportionnelles additives, en comparant l'angle donné à celui qui lui est immédiatement supérieur. Ainsi, dans cet exemple, ar = 79°26'-43",3,
Part. prop. pour < 3. . 3,4
Total 49
à ajouter à logcos79°a6' 7,26335
log cosx f, 26384
Exemple IV. — Trouver logarithme cosécante de 4° 18' 53",6.
DUT. tri». = 167 Part. prop. pour 3 8,4
Total 149
à retrancher de log coséc 4° 18' i,i25o6
logcoséca? 1,12357
On voit aisément comment on traiterait cet exemple par l'autre méthode [*].
Le mode d'interpolation que nous venons d'indiquer cesse d'être applicable , vers les deux extrémités du quadrant, aux logarithmes de celles des lignes trigonométriques dont les valeurs deviennent très-petites ou très-grandes. Ainsi . pour les arcs moindres que 3 degrés, ou plus grands que 87 degrés, il est préférable, en pareil cas, de recourir à un autre procédé.
Première méthode. — Remarquons d'abord que, si les logarithmes des sinus et des tangentes des petits arcs sont loin de croitre proportionnellement à ces arcs, leurs sinus naturels et leurs tangentes naturelles, au contraire, offrent cette proportionnalité avec d'autant plus d'approximation que les arcs sont plus petits. On trouvera donc aisément ces quantités par interpolation, et de là on passera, si l'on veut, à leurs logarithmes , au moyen de la Table I.
La Table n donne, pour les 3 premiers degrés, les sinus naturels et les tangentes naturelles avec six décimales. Comme la tangente diffère très-peu du sinus, nous avons écrit seulement les deux ou trois dernières décimales de la tangente, les décimales précédentes lui étant communes avec le sinus. Nous indiquons par un astérisque les cas où ces décimales communes doivent être augmentées d'une unité en passant du sinus à la tangente, comme cela a lieu, par exemple, pour tango 22^ dont la valeur est 0,006400.
L*] Le choix entre ces deux méthodes dépend uniquement de la sagacité du calculateur, qui voit d'un coup d'oeil laquelle des deux lui fournira , dans chaque cas particulier, les moyens les plus simples et les plus exacts. On peut même, dans le cas où les différences sont naturellement additives , substituer souvent avec avantage l'interpola* tion par soustraction à l'interpolation par addition que nous avons exposée.
[ xvi j ' INTRODUCTION.
Exemple I. — Trouver iogsin i° ia'43*,8.
Diff.tab. = *>. Part.prop.pPur 3... »4,6
Total aia
à ajouter à sin nat. i° 12' 0,02094a
sin nat..? o,oau54
d'où Iogsin or a,3a539.
Exemple H. — Trouver log tang oPfc'zlfrf.
Total 139
à ajouter à tang nat. o°46' o,oi338a
tang nat. x o,oi35ai
d'où log tang x.... â,i3ioi.
On trouverait de môme le cosinus , la cotangente ou la cosécante d'un arc compris entre 87 et 90 .
Pour avoir la tangente ou la sécante d'un arc très-voisin de 90 degrés, ou bien la cotangente ou la cosécante d'un arc très-petit, on cherchera, dans le premier cas, la cotangente ou le cosinus; dans le second, la tangente ou le sinus de l'angle donné, et l'on prendra le cologarithme ou logarithme de l'inverse de la valeur trouvée.
Exemple JR. — Trouver log séc 87 7' 11 ",4.
Dnr.tÉb. ssa9 o \ p° j 0>4 ;; 93
Total 55
à retrancher de cosin nat. 87°7' o,o5o3oa
cosin nat. x o,o5oa47
d'où logcosx 2, 701 ii
et log séc x 1,29889
Deuxième méthode. — Un autre moyen , plus commode et souvent plus exact, fondé sur la même remarque que le précédent, consiste à réduire Tare très-petit en secondes , et à ajouter au logarithme du nombre de secondes le logarithme du rapport du sinus ou de la tangente à l'arc ainsi évalué. On se servira pour cela des nombres en petits caractères placés en tête des colonnes de la Table I.
Au-dessus de chaque colonne marquée N est indiqué le nombre de degrés et de minutes renfermé dans un quelconque des arcs exprimés en secondes par les divers nombres de la colonne. Le nombre des secondes restantes est donne par la première colonne à gauche de chaque page. Au-dessus de chaque colonne marquée Log, , se trouve le logarithme qu'il faut ajouter à celui d'un quelconque des nombres de secondes de la colonne N voisine, pour obtenir le logarithme (augmenté de 10 unités) du sinus de l'arc correspondant. Les deux chiffres places à côté et séparés par unr ( ; ) sont ceux par lesquels il faut remplacer les deux derniers chiffres du logarithme précédent, lorsqu au lieu du sinus on veut avoir la
Reprenons, à l'aide de ce procédé, les trois exemples précédents.
INTRODUCTION. [ xvn 1
Exemple I. — On trouve (page 16) i°.ia'43 w ,8 = 4363*\8. log 4363,8 3,63986
log 8 -^ 8 4,6*554
somme — 10 unités a,3a54o = log sinar.
Exemple IL — On a x = 2788*,7.
loga788,7 3,4454o
**SJ 4,6856o
log tang# 2,1 3 100
Exemple m. — Le complément de x = 87 7' 1 i",4 ( qui s'obtient en retranchant l'arc donné de 89 59' 60") est.r'= 2°52'48",6 = io368",6.
log io368,6 4,01572
log^ 4,6853ç>
logsinx' 2,70111
d*où log cosécr' = logsécar 1 ,29889.
Si Tare donné est compris entre 90 et 36o degrés, on commencera par en retrancher le plus grand multiple de 90 degrés qu'il contienne , et l'on saura ainsi à quel quadrant appartient cet arc, ce qui déterminera d'abord les signes de ses lignes trigonométnques .
Cette soustraction opérée, la question se ramènera à trouver les lignes trigonométriques de l'angle restant, qui sera moindre que 90 degrés, et que nous appellerons, pour un instant, angle réduit. On observera, pour cela, la règle suivante :
Si Pangle proposé est dans le premier au dans le troisième quadrant, c'est-àdire, s'il diffère de Pangle réduit cP un multiple pair fifa quadrant, on cherchera pour Pangle réduit la MEME ligne trigonométrique que pour Pangle proposé.
Si Pangle proposé est dans le deuxième ou dans le quatrième quadrant, c'est-àdire s'il diffère de Pangle réduit d'un multiple impair du quadrant, on cherchera pour Pangle réduit la ligne trigonométrique complémentaire de celle que Pon 'veut avoir pour Pangle proposé ( c'est-à-dire que pour avoir le sinus, la tangente ou la sécante de l'angle proposé , on cherchera respectivement le cosinus , la cotangente où la cosécante de l'angle réduit, et vice versa. )
Ces règles se trouvent résumées dans le Tableau suivant 4 , où x représente l'angle donné , a l'angle réduit.
1 er QUADRANT
