sina

r xviii | INTRODUCTION.

Par exemple , si Ton demande log sin 3i2°22' 35", l'angle étant dans le quatrième quadrant, le sinus sera négatif et aura la même valeur numérique que le cosinus de 1 angle diminué de 270 degrés, c'est-à-dire que cos 42°22' 35*. Ce cosinus a pour logarithme 7 ,86849. Donc en plaçant, suivant l'usage, devant le logarithme le signe du nombre correspondant , on a

log sin 3ia° 22' 35* = — 7,86849.

x Si l'angle proposé est plus grand que 36o degrés, ou s'il est négatif, on le diminuera ou on l'augmentera d'un nombre suffisant de circonférences, pour le ramener au cas précédent.

H. Connaissant le logarithme de tune des lignes trigonométriques a* un angle, trouver cet angle .

Supposons d'abord que l'on sache que l'angle cherché appartient au premier quadrant. Si le logarithme donné se trouve dans la colonne de la Table correspondante à l'espèce de la ligne trigonométrique, on aura immédiatement l'angle cherché en degrés et minutes.

Si le logarithme donné se trouve entre deux logarithmes consécutifs de la Table, alors l'angle contiendra des fractions de minuté. Pour les obtenir, on multipliera 60 secondes par la différence entre le logarithme donné et celui qui répond à l'angle immédiatement inférieur, divisée par la différence tabulaire correspondante au même intervalle que le logarithme donné. On pourra employer pour cette opération les Tables de parties proportionnelles .

Exemple I. — Trouver P angle x, connaissant

log sin x =7,80293.

Le plus petit des deux angles dont les logarithmes sinus comprennent entre eux le proposé est 39°a6'; son logarithme sinus diffère du proposé de 3 unités, et la différence tabulaire est i5. Donc il faut ajouter à l'angle 39°a6 ; un nombre de

secondes égal à 60* x — = 12". La Table des parties proportionnelles donne*

rait io". Donc l'angle cherché a pour valeur

39°26 , ia" ou 39°26'io",

la différence entre ces deux résultats étant comprise dans la limite des erreurs que l'on doit attendre de la Table [*].

Exemple H. — Logtangx=7,i3355. L'angle cherché est égal à 7°44\ plus

un nombre de secondes = 6ox-tj 66 étant la différence entre log tang7°44' et

• *» 9^ log tangx, et 95 la différence tabulaire. On trouve, en faisant l'opération,

[*] Soit, en général , x l'argument d'une Table des valeurs de la quantité y, A* l'intervalle entre deux valeurs consécutives de l'argument, ày la différence tabulaire correspondante. L'approximation avec laquelle la valeur dey détermine réciproquement celle de x est donnée par l'expression

Dans nos Tables trigonométriques , Ax représente l'angle de 1' ou de 60". Si D est la différence tabulaire correspondante à l'angle x , cet angle sera déterminé à un nombre

de secondes près égal à — • Ici D = i5 ; donc l'angle est déterminé par son logarithme

sinus à 4" près* L& différence du logarithme de la tangente étant toujours plus forte que celles des logarithmes du sinus ou du cosinus, on voit qu'il est avantageux d'employer autant que possible la tangente pour la détermination des angles*

INTRODUCTION. ,[m]

En se servant de la Table des parties proportionnelles, en ferait le calcul ainsi :

0i& tab. = 9 5 \ P our lo 6 tang = 7,13289 7°44'

Reste = 66 ) pour !egpart . prop . j «3 *>"

d'où 'x^fU'A*'

Exemple m. — Logcos«r = 7, 63127.

Diff. tab. = 27 } P ^ log cos = 7,63i33 64° 4<>'

ET. tab. = 27 1 P ^ logcos = i,63i33

Reste = 6 j pour j^ p^ prt)p# J

d'où x = 64° 4o' 12"

Le calcul direct aurait donné 64°4o'i3".

S'il s'agit de déterminer, au moyen de son sinus ou de sa tangente, un angle moindre que 3 degrés, on suivra l'une ou l'autre des deux méthodes suivantes, qui se déduisent de celles que nous avons employées dans le cas analogue du problème inverse.

Première méthode. — On passera du logarithme au nombre et l'on déterminera l'angle au moyen de son sinus naturel ou de sa tangente naturelle. Exemple I. — Log sinx = â,i5oÔ6, d'où

sinnat.o? = o,oi4i53 Diff. tab. = 201 )P0urlesinnat. = o,oi3 9 62 o°48'

Reste = 191 . . ,,

9 ) pour les part. prop. 44 9

d'où x = o°48 ; 39 # ,2

Exemple H. — Log cota? = 2,56218, d'où

icot nat.x= o, 036491 / o,o36668 87*54' \ 146 3o*

pour < A

d'où x = 87 54'36",4

Exemple m. — Log tango? = 1, 568i3, d'où log cot-r = 2,43187.

Diff. tab. = 291 ) cot nat * = °' 02 7° 31

Reste = 28 [ ( °' oa 7 o5 9 W*>'

\ pour J 24,3... 5*

d'où x = 88°2/5 ff ,8

Seconde méthode. — On retranchera du logarithme donné la valeur correspondante de log ou de log— — • Le reste sera le logarithme de l'angle éva-

arc arc

lue en secondes, et on lira immédiatement dans la Table I sa valeur en degrés et minutes. Reprenons, par ce moyen , les exemples précédents.

Exemple I. — Le log sinus 2,i5o86 ou 8,i5o86 étant compris entre 8,11 et 8,16, nombres indiqués en tête de la page 11 par les lettres S. T. (initiales de Sinus, Tangente) , on en conclura que l'arc est un de ceux qui correspondent à cette

f xx ] INTRODUCTION.

page. Or la valeur de log^SH!? est 4,68556. En la retranchant du logarithme

arc proposé, le reste 3,4653o est le logarithme de 2919", 5 ou de o°48'39",5 : telle est donc la valeur de l'angle cherché.

Exemple IL — Logcot x = 8,56218 (page 27).

log|^--- 4,68577

log.rV. 3,87641

x'= 2 5' a3% 3 d'où x = 90 - x 1 = 87 54' 36*, 7 Exemple in. — Logtangx== i,568i3

d'où logcot a:.... 8,43*87 (page 20)

log^--- -4,68568

log-r' 3,74619

Si l'angle cherché n'appartient pas au premier quadrant, on commencera par déterminer (d'après ce que Ton sait sur les signes de ses lignes trigonométriqûes et sur les limites entre lesquelles l'angle peut être contenu) à quel quadrant cet angle appartient, et pour laquelle de ses lignes trigonométriqûes il faut chercher l'angle réduit.

Si Ton sait, par exemple, que le cosinus d'un angle est négatif et que cet angle est moindre que 180 , on cherchera l'angle réduit dont le Tog sinus est égal au logarithme donné, et en ajoutant 90 degrés à cet angle réduit, on aura 1 angle cherché.

La page 86 contient une Table des lignes trigonométriqûes naturelles de degré en degré, avec une approximation suffisante pour les constructions graphiques et pour certains calculs astronomiques. Cette Table donne en même temps l'évaluation des arcs en parties de rayon avec la même approximation. De plus, elle peut servir pour la conversion des parties du cercle en parties du jour. Elle donne immédiatement la conversion des degrés en heures et minutes, et la Table auxiliaire qui l'accompagne, celle des minutes et secondes d'arc en minutes et secondas de temps.

Les chiures renfermés entre parenthèses sont les périodes des fractions décimales.

Exemple. — Convertir en temps l'arc de 57 17' 44", 81.

somme 3 h 49 m io 8 ,987

[*] Lorsqu'il arrive que les quantités log — ou log— ^ ont plusieurs valeurs différentes dans la même -page, en prenant une quelconque de ces valeurs, on a une première approximation , ordinairement suffisante. Si Ton veut une plus grande exactitude,

on corrigera lé dernier chiffre du logarithme , de là différence entre le log — ou — ^

Su 'on a pris et celui qui répond à la colonne où se trouve la valeur approchée de l'angle, ette correction ne dépassera jamais une ou deux unités du cinquième ordre.

INTRODUCTION. [ xxï ]

La même Table peut servir à convertir le temps en arc, en remplaçant les additions par des soustractions. Soit donné l'angle i6 b i8 m 53 8 ,4a3

1' iÔ -

o,oo3 o,o45

L'angle en degrés est donc 244°43'2i w ,345.

On se servira de même de la Table qui donne la conversion des heures, minutes et secondes en parties décimales du jour.

Table des logarithmes d'addition et de soustraction on logarithmes

de Gauss.

Cette Table contient certains logarithmes, au moyen desquels, connaissant les logarithmes de deux nombres, on peut, par une seule lecture dans la Table, trouver, soit le logarithme de la somme, soit le logarithme de la différence, de ces deux nombres.

Cette Table se divise en deux parties, qui se distinguent par les mots addition ou soustraction placés en tête de chaque page.

I. ADDITION. — La Table d'addition donne, pour chaque nombre de la colonne R. [*], considéré comme représentant le logarithme d'un nombre x plus

grand que l'unité, la valeur correspondante du logarithme du nombre i-\ —

Nous appellerons ce logarithme le logarithme additif correspondant au nombre x. Soit proposé maintenant, connaissant les logarithmes de deux nombres a, b (dont a est le plus grand), de trouver log («+£). On a

d'où

log(a + fc) = log

Si l'on suppose donc

on connaîtra immédiatement

loga? = loga — logé,

et le logarithme additif correspondant à cette valeur de logx sera ce qu'il faut ajouter à loga pour avoir log(a-f- b).

Exemple. — Soit

loga= 3,i5i86, \ogb = 2,91843, d'où logg = o, 23343.

Cherchons dans la Table le logarithme additif correspondant à cette valeur de logv- Au nombre o,a33 de la colonne R. (page 88) répond le logarithme.addi-

[*] Initiale de rapport.

[ xxii J INTRODUCTION.

tif 0,19997. Le produit de la différence tabulaire 37 par o,43 est 16. Or les logarithmes additifs vont en décroissant pour des valeurs croissantes de R. Donc il faut, comme pour les logarithmes des cosinus, des cotangentes et des cosécantes, retrancher la partie proportionnelle qu'on vient de trouver. C'est en cela seulement que l'interpolation de cette Table diffère de celle des Tables de logarithmes ordinaires. Donc le logarithme additif cherché est

qu'il faut ajouter à log« 3, i5i86

d'où log(a -+-£).... 3,35i67

Si Ton se servait de la Table I pour le môme calcul , il faudrait faire au moins deux lectures dans la Table. En mettant la quantité a-\-b sous la forme .

■(■tî>

on trouverait

log- 1,76657 ioga 3,i5i86

o, 58421 ^sf 1 -*"^) «M99 8 *

i-f-- i,584ai log(a-hb) 3,35i68

Remarquons que la première valeur 3, 35167 est la plus exacte.

H. SOUSTRACTION. - Soient deux nombres positifs x, x' liés entre eux par la relation

La Table de soustraction renferme, pour les diverses valeurs de log.r supérieures à o,3ooo, les valeurs correspondantes de logo?'.

Proposons-nous actuellement, connaissant log a et log b, d'en déduire log (a — ù). On a évidemment

Si donc on donne la valeur - à l'un des rapports ,-> --,> l'autre aura pour valeur ~~ • Soit, par exemple,

- = - , d'0Ù X = t > log x = log« — logé.

Il en résulte

£=-=1. x ' = __^, log*'=loga--log(a--6) t ,

d'où

log(a — b) = log« — log*'.

Donc, pour avoir le logarithme de la différence de deux nombres, on calcule, par soustraction, le logarithme du rapport du plus grand au plus petit de ces deux nombres; on cherche, dans la Table de soustraction, le logarithme soustractif correspondant à cette valeur du logarithme du rapport, et l'on retranche ce logarithme soustractif du logarithme du plus grand nombre.

Si le logarithme du rapport est plus grand que o,3ooo, ses premiers chiffres se trouveront dans la colonne marquée R. en haut, et la recherche du logarithme soustractif correspondant sera analogue à celle du logarithme d'un nombre donné. Mais si le logarithme du rapport est plus petit que o,3ooo, ses premiers chiffres

INTRODUCTION. [ xxui J

se trouveront dans la colonne marquée R. en bas, et ta recherche du logarithme soustractif correspondant sera analogue à celle d'un nombre donné par son logarithme. Il faudra seulement observer que les différences tabulaires sont ici soustractives, au lieu d'être additives comme dans la Table I. Exemple I. — Soit

loga = i,8u6ao.

logfc = 1,38196

d'où log? = 0,43424 N

Le logarithme soustractif correspondant à 0,4342 est (page 98) 0,19926. En soustrayant le produit de la différence tabulaire 6 par 0,4, c'est-à-dire 2, on trouve, pour le logarithme cherché,

En le retranchant de loga = 1 ,81620

il reste log(a — b) = 1,61696

Exemple H. — Soit

log« = 3,17192

log6= 4,9171a d'où log? = 0,25480

À la valeur de R = o, 25486 répond le log soustractif o, ^27

Le reste 6, divisé par la diff. tab. 8, donne 7

d'où le log soustr. cherché o, 35277

En le retranchant de log« 3, 1719a

il reste log(a — b) = 4,81915

Pour mieux faire comprendre l'utilité de ces Tables, nous allons indiquer quelques-unes de leurs applications à diverses questions d'algèbre , de trigonométrie, d'astronomie, etc.

I. En éliminant tour à tour chacune des inconnues x, y entre les équations

ax -f- by = <?, a'x+b'y= c\ on les met sous la forme

(ab'-ba')x = cb'-bc' f

(ab' — ba')y = ac'~- ca'.

Si les coefficients a, b, c, a' y b\ c' sont donnés par leurs logarithmes, l'usage des Tables de Gauss permettra de calculer, au moyen de trois lectures seulement, les logarithmes des trois binômes

ab'-ba\ cb'-bc\ ac'-ca',

et, par suite, ceux des valeurs des inconnues x, y. Il faudrait au moins six lectures, en se servant des Tables ordinaires.

Exemple. — Soient donnés

log* =0,12816, log& = — 7,92683, logc = 0,61920,

log «'=7,83456, logfc' = T,6i2i3, loge' =— 0,43189,

les signes placés devant les logarithmes étant relatifs aux nombres eux-mêmes.

t XXIV ]

INTRODUCTION

Voîci le tableau des calculs :

ab' 7,74029

cb 1 ..

ac'

— o,56oo5

-bc'..

-bc'

cb' "

— ba'.: 7,76i39

-ca'

ac' ^-ca>

-ba' ab °' 0a,I °