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O.23?o 0 o,a3i65 o,î3iü3 0 . 23o8j»

[•] Voyez les Nouvelles Annotes de Mailémaliques , tome XII, page 171, cl tome X, page 288.

AVERTISSEMENT. f vu ]

La Table de Gauss , dont nous donnons ici un spécimen , se compose de trois colonnes, désignées par les lettres

et représentant respectivement les valeurs des quantités

10g X, lOg ('-+")» logi-t-x,

x étant un nombre qui varie depuis i jusqu'à l'infini positif. La Table fait ainsi connaître les valeurs de B et de C qui répondent à des valeurs de A croissant en progression arithmétique à partir de zéro. D’après la définition de ces quantités, on a évidemment entre elles la relation

Soient donnés maintenant les logarithmes de deux nombres », b, dont a est le plus grand.

i°. Si l’on pose

il est aisé de voir que l'on a B et C étant les nombres de la Table correspondants à cette valeur de A) ,

log (a b) — log a -t- B = log b C ;

d'où l'on voit que le problème de l’addition peut se résoudre de deux manières différentes, soit en modifiant log a, soit en modifiant log b.

a". Si j <. 2 , en posant

on aura de même

log (a — bj = log a — C = log 6 — A.

Mais, si on posera

logg = C,

d'où résulte

log (a — b) = log a — B= log b -h A.

Il y a donc deux cas dans le problème de la soustraction , chacun d’eux admettant encore deux solutions, où l'on modifie soit logo, soit log b. Mais ces deux cas ne sont pas essentiellement distincts, et l’on pourrait les réduire à un seul en doublant, comme l'a fait Shortrede, l’étendue de la Table [*].

[*] Il est aisé do voir, en eflet, que, si l’on remplace x par \ ou A par — A, B et C se changent réciproquement l’un dans l'autre, de sorte que si , au lieu de faire

AVERTISSEMENT

{ 'in ]

On voit donc, en résumé, que l’usage de la Table de Gauss comporte deux méthodes différentes, dont la première consiste à modifier le plus grand des deux logarithmes donnes , cl la seconde h modifier le plus petit.

Les Tables ainsi disposées soiit d’une construction facile , et se prêtent à des usages variés. Mais elles présentent des inconvénients réels, que Leonelli avait déjà entrevus. Lorsqu'on applique au problème de la soustraction la première méthode, recommandée par Gauss, on est obligé, pour passer de la valeur de B à la valeur correspondante deC, ou vice versâ, d’cmplover une double interpolation, exigeant, au lieu d’une seule opération de multiplication ou de division, une règle de trois complète, absolument comme pour trouver le cosinus d'un arc donné par son sinus. Cet inconvénient est atténué, il est vrai , par l’ingénieuse disposition des Tables des parties proportionnelles des différences qui accompagnent les petites Tables de Gauss. Mais il rend très-incommode, comme Gauss l’a reconnu luimême, l’usage des Tables plus étendues construites sur le même plan. Aussi les Tables à sept décimales publiées par Matthiessen (Alloua , 1817) , et disposées comme les Tables de Gauss, ont-elles eu peu de succès.

On éviterait , à la vérité , la double interpolation pour rentrer dans le cas des Tables ordinaires, si l’on adoptait, au moins pour la soustraction , la seconde méthode, celle qui consiste à modifier le plus petit logarithme. Mais celte seconde méthode entraîne des inconvénients bien autrement graves dans le cas, très-fréquent, où l’un des deux logarithmes donnés est beaucoup plus grand que l’autre. Dans ce cas, en effet , pour obtenir log (adz b) avec, autant de décimales que l'on en donne pour log a, il n'est pas toujours nécessaire que log h soit connu avec la même approximation, et la première méthode est en cela d'accord avec la nature même de la question : car le nombre B variant très-lentement lorsque A et G sont très-grands , il en résulte que, vers la fin de la Table, les dernières décimales de A et de G sont sans influence sur les dernières décimales de B. Si l'on emploie, au contraire, la seconde méthode, on obtiendra, pour log (« ± 0), autant de décimales seulement que l'on en donne pour log b. Ajoutons à

cela que , dans le cas de ^ très-grand , le calcul par la première méthode se fait en opérant seulement sur les derniers chiffres de log a, au lieu que, par la seconde méthode, 011 a, dans tous les cas, à modifier entièrement tous les chiffres de log b [*].

varier A de o à -4-oo » on le fuit varier de — oc à -+- » , la première partie do In Table dot» 11, depuis A =— oc jusqu’à A = o , sera identique à la seconde partie do la Table des C, prise dans un ordre inverse ; et réciproquement, la première partie do la Table dos C sera la seconde de la Table des il renversée. Dans les Tables de Shortrcde , pour avoir des différence» toujours ndditives, on a remplacé les nombres A et C do Gauss par leurs compléments à l'unité. ( Voy ez les Nouvelles Annales de Mathématiques pour i85G, llullctin de Bibliographie , page 1 10 .)

[M C’est sur l’emploi exclusif de la seconde méthode, au moins pour la soustraction , qu’est fondée la Table insère* par M. Aueust dans l’excellent recueil de Tables h cinq décimales qu’il a publié à llcrlin en |8^G ( Vol/stàndigr togai ithniische und trigonometrische Tafeln), et aussi celle que M. Filipowski a placée à la suite do ses Tables anti-logarithmiques (Londres, 1 849 » voyet les Nouvelles Annales de Mu thématiques , tome X, page aH5). Ces deux Tables ne sont autre chose nu fond que celle de Shoitrcdc dont on aurait supprimé la colonne C. ,

AVERTISSEMENT

On remédie à ces inconvénients par un moyen dont l'idée se trouve indiquée dans l’ouvrage de Leonelli, page 45, en renonçant à l’emploi de la seconde méthode, et séparant la Table de Gauss en deux parties, l’une pour les logarithmes d’addition , l’autre pour les logarithmes de soustraction. C’est la marche qu’a suivie M. Zech dans la construction de ses grandes Tables à sept décimales , qui font partie de la nouvelle édition des Tables de F ega ( Sammlung mathemalischer Tafeln, etc.), publiée à Leipzig, en 1849, par le docteur Unisse [ * j.

La Table d’addition de Zech a, comme celle de Gauss, pour argument le nombre A , et donne les valeurs correspondantes de B. La Table de soustraction a pour argument le nombre B, et donne les valeurs correspondantes de C. Mais lorsque B est très-petit , la plus légère variation de ce nombre en produit une considérable dans la valeur de C. De là la nécessité de faire varier B par intervalles trèspetits au commencement de la Table, ce qui augmente considérablement le volume de celle-ci, et encore ne donne-t-elle d’abord les valeurs de C qu’avec quatre, cinq ou six décimales.

Ces diverses considérations nous ont conduit à adopter, en la modifiant un peu, la disposition générale de Zech. Nous avons séparé comme lui la Table d’addition de la Table de soustraction; mais dans celle dernière, c’est le nombre C que nous avons pris pour argument. Cette disposition inverse permet d’abréger l’étendue de la Table, sans diminuer l’approximation qu'on en peut attendre.

Nous avons calculé ces Tables par interpolation, avec deux décimales de plus que nous n’en conservons, et en poussant môme l’approximation plus loin, toutes les fois qu’il pouvait rester quelque doute sur la cinquième décimale. Nous les avons ensuite collationnées avec diverses éditions des Tables de Gauss, et avec les Tables de Zech.

Parmi les autres additions que nous avons faites aux Tables de Lalande, nous citerons d'abord un recueil de Tables de conversion plus complet que ceux que l’on trouve ordinairement dans les ouvrages analogues à celui-ci.

Nous avons ajouté à nos Tables trigonomélriques un tableau des formules les plus usuelles pour la résolution des triangles, et une Table à trois décimales des lignes trigonomélriques naturelles, de degré en degré.

Pour les cas où l'on a besoin de connaître les logarithmes avec

[*] Le» petites Tables à quatre décimales de Muller (Halle, i8/j'|) contiennent les logarithmes d'addition et de soustraction disposés sur trois colonnes, représentant respectivement les valeurs correspondantes des quantités

logx, logfn- 1 ), log — —

Maigre les avantages de cette disposition , nous n’avons nas cru devoir l’adopter dans les Taides plus approchées que nous publions, parce que, les logarithmes du soustraction variant beaucoup plus rapidement que les logarithmes d'addition, il faudrait, pour réunir ainsi les doux Tables, donnera la Table d’addition une étendue inutile, ou abréger lu Table de soustraction de manière à eu rendre l’usage incommode, lin les séparant, nu contraire, nous avons pu prolilcr de la dépendance symétrique des deux quantités x et

- X ■ ( voir riiitroductiou) pour réduire de moitié l’étendue de la Table de soustraction, qui a pu recevoir eu même teuipb tout le développement nécessaire.

AVERTISSEMENT

plus de cinq décimales, nous donnons une Table des logarithmes des nombres, depuis 100 jusqu’à 1000, avec huit décimales. A l’aide de celte Table et de formules empruntées aux développements connus des logarithmes en séries, on peut trouver très-promptement, avec sept ou huit ligures exactes, le logarithme correspondant à un nombre donné, et vice versé.

Si l’on ne trouve pas cette approximation suffisante , on peut en avoir une, pour ainsi dire, indéfinie, au moyen d’une Table d’une seule page, extraite du Supplément logarithmique de l.eonelli, et dont l'idée remonte jusqu’à Ériggs. Cette Table permet de calculer un logarithme avec vingt décimales dans moins de temps qu’il n’en faut pour faire une multiplication abrégée du même nombre de chiffres, et elle fournil les mêmes facilités pour la solution du problème inverse. Nous avons calculé de nouveau cette Table , pour pouvoir répondre de son exactitude.

Dans les cas où l'on peut , au contraire , se contenter d’une approximation moindre que celle que donnent les Tables à cinq figures, la cinquième décimale devient un embarras pour la rapidité du calcul, et il est plus commode de se servir d'une Table restreinte au nombre de figures nécessaires, et dont on peut , par suite, diminuer de beaucoup l’étendue. C’est dans ce but que nous avons réuni dans deux pages en regard : i“ une Table des logarithmes des 600 premiers nombres, avec quatre décimales, et les parties proportionnelles des différences; a° deux petites Tables à trois décimales, donnant l’une le logarithme correspondant au nombre, l'autre le nombre correspondant au logarithme.

Notre volume est terminé par une Table des diviseurs des nombres jusqu'à loH.j 1 , et par un recueil très-étendu de divers nombres que l’on rencontre fréquemment dans les applications, et que nous donnons avec leurs logarithmes.

(.'Introduction renferme une instruction très-détaillée sur l’usage des Tables , avec de nombreux exemples numériques.

Les plus grands soins ont été pris pour l’exécution typographique de ces Tables. Les épreuves ont été collationnées , avant et après le clirhage, avec les Tables les plus estimées en France cl à l’étranger.

Il nous reste à remplir un devoir de reconnaissance envers M.Terquem, dont les savants articles de bibliographie, répandus dans les Nouvelles Annales de Mathématiques [*], nous ont inspiré l'idée de cette publication, et qui a bien voulu aider notre entreprise, en nous fournissant de précieux renseignements.

| Mai 1 858 . I

[*] Les Nouvelles Annules de Slalhémutiques , journal des Candidats aux Écoles Polytechnique et Normale, rédigées par MM. Torquem et Cerono , paraissent le premier de chaque mois , par livraison de 3 et \ feuilles , et forment, par an , un volume in-S° avec figures dans le texte. — Prix de chaque année {ta numéros) : Pour Paris, ta fr. ; pourjes départements, \!\ fr. — On s'abonne à la Librairie Mallet-Bachelier, quai des Augustjns, 35 , à Paris.