TRIANGLES SPHÉRIQUES
cos a = cos b cos c 4 - sin b sin r cos A ,
sin a sin b sin c
sinA ~ sin B — sin C’
cota sine = cot A sin B 4 - cos c cos B,
cos A = — cosBcosC 4 - sin B sin C cosa.
I sin } ( A 4- r ) sin } A = cos J ( B — C) sin {a, \ cos; (A 4- c) sin } A = cos}(B 4- C) cos}a, i sin} (A — r) cos} A — sin} (B — C) sin} a, cos} (A — c) cos} A = sin } (B 4 - C) cos } a.
Table des logarithmes des lignes trigonométriques.
Cotte Table renfermo les logarithmes des sinus , dos tangentes et des sécantes pour tontes les minutes du quadrant, et par suite aussi ceux des cosinus, des cutangenles et dos cosécantes dos mémos arcs.
Les sinus et les cosinus de tous les angles, ainsi que les tangentes des angles moindres que 45 degrés, étant des quantités moindres que l’unité, leurs logarithmes doivent avoir des caractéristiques négatives; mais des raisons typographiques nous ont fait conserver l’ancien usage, qui consiste i introduire dans les Tables res logarithmes augmentés de 10 unités. Dans la pratique, on devra remplacer les caractéristiques G, 7, 8, 9 des colonnes marquées en haut Sinus, Tarif;., Cosin. , respectivement par 4, 3 , 1, 1.
L’usage de cette Table dépend, comme pour la précédente, de la solution do doux problèmes.
I. Un angle riant donné, Iraiieer les logarithmes de ses lignes trigonona trir/ucs.
Supposons d'abord que l'angle donne soit compris entre o et 90 degrés. S’il se
INTRODUCTION. [ xv ]
compose seulement d’un nombre entier de degrés et de minutes, on trouvera immédiatement dans la Table les logarithmes (le ses lignes trigonométriques, en observant que, pour les angles compris entre o et 45 degrés, la graduation so lit en haut et à gauche do chaque page, tandis que, pour les angles compris entre 45 etqo degrés , la graduation se lit en lias et à droite.
Si l'angle donné renferme , outre les degrés et les minutes , des secondes ou des fractions de seconde, on trouvera les logarithmes de ses lignes trigonométriques au moyen d’une interpolation analogue à celle de la Table I. Il faut seulement remarquer que, pour le cosinus, la cotangente et la cosécante, le logarithme va en diminuant lorsquo l’angle croit; d’où il résulte quç les différences et leurs parties proportioimelles sont soustractives , au lieu d’étre additives, comme pour les logarithmes des nombres et des autres ligne? trigonométriques.
Nous n’entrerons pas dans de plus longs détails sur ces règles, que les exemples suivants feront suffisamment comprendre.
Exemple I. — Soit / iro/josc île trouver 'Içtygarithme sinus de .Parc
Cet arc ost compris entre i3“a3', dont le logarithme sinus est 1 .36440, et 1 3“ -24 , dont le logarithme sinus surpasse le précédent de- 53 unités décimales dit cinquième ordre. La variation du logarithme sinus étant sensiblemen^proportionnelle à celle de l’arc dans l’intervalle d’une minute, il s'ensuit qu’à un accroissement de
l’arc égal à 4a”, 5, ou à 2-ii de minute, correspond un accroissement du loga-
rithme sinus égal aux - - — - do 53 unités du cinquième ordre. Or
à moins d’une demi-unité près. Donc
log sin x — 1,36449 -+- 38 = 1 ,36487.
Cette interpolation exigeant une multiplication et une division, nous avons construit des Tables des parties proportionnelles des différences, au moyen desquelles ce calcul peut se faire à simple vue. Ces Tables renferment les produits, calculés à moins d’une demi-unité près, du soixantième de chaque différence tabulaire par les nombres
En employant ces Tables dans l’exemple actuel, le calcul se fait de la manière suivante :
x = i3"a3'42",5 j Diff. tab. = 53 t
Part. prop. pour
Total (en négligeant les fractions) 37
à ajouter à log sin i3" u3'^ 1 , 36449
log sin x 1,36486
Exemple 11. — Ou tlemantle le logarithme tangente de 49° 35' 3
■r = 49” 35' 37* Diff. tab. = 26
Part. prop. pour
Total 16
à ajouter à log lang 49" 35' 0,06978
log lang r. 0,06994
[ XVI ] INTRODUCTION
Exemple III. — Trouver le logarithme cosinus île 79“ * 5 ' 16", 7.
i X ~ ro ^ *** I fait. prop. pour ] 0...
Diff. tab. = 68 ( i- 1 1 !
Total 19
à retrancher do log cos79°a5' 1,26403
logeosx 1,26384
On pourrait rendre les parties proportionnelles additives, en comparant l’angle donné & colui qui lui est immédiatement supérieur. Ainsi, dans cet exemple, x = 79 0 ïG'— 43 ", 3 ,
Part. prop. pour ) 3 3,4
Total 49
à ajouter à log cos 79” 26' 1,26335
logeosx 1 , j>G38f
Exemple IV. — Trouver logarithme cosécimtc de 4“ >8' 53*, 6.
DitT. tab. = .67 ^ Part. prop. pour 3.
Total 149
à retrancher do log coséc 4 “ 1 8'. ..... . 1,1 î 5 o 6
logeoséex 1,12357
On voit aisément comment on traiterait cet exemple par l’autre méthode [*].
Le mode d’interpolation que nous venons d’indiquer cesse d’ètro applicable , vers les deux extrémités du quadrant, aux logarithmes de celles des lignes trigonométriques dont les valeurs deviennent très-petites ou très-grandes. Ainsi , pour les arcs moindres quo 3 degrés, ou plus grands que 87 degrés, il est préférablo, en pareil cas, de recourir a un autre procédé.
Première méthode. — Remarquons d’abord que, si les logarithmes des sinus et des tangentes des petits arcs sont loin do croître proportionnellement à ces arcs, leurs sinus naturels et leurs tangontes naturelles, au contraire, offrent celte proportionnalité avec d’autant plus d’approximation que les arcs sont plus petits. On trouvera donc aisément ces quantités par interpolation, et de là on passera, si l’on veut, à leurs logarithmes , au moyen do la Table I.
La Table II donne, pom les 3 premiers degrés, les sinus naturels et les tangentes naturelles avec six décimales. Comme la tangente diffère très-peu du sinus, nous avons écrit seulement les deux ou trois dernières décimales de la tangente, les décimales précédentes lui étant communes avec le sinus. Nous indiquons par un astérisque les cas où cos décimales communes doivent être augmentées d’une unité en passant du sinus à la tangente, comme cela a lieu, par exemple, pour tango°22', dont la valeur est 0,006400.
[*] Le choix entre ces deux méthodes dépend uniquement de la sagacité du calculatour, qui voit d’un coup d’œil laquelle des deux lui fournira , dans chaque cas particulier, les moyens les plus simples et les plus exacts. On peut mémo, dans le cas où les différences sont naturellement additives , substituer souvent avec avantage l’interpolation par soustruction à l'interpolation par addition que nous avons exposée
INTRODUCTION
Exemple I. — Trouver log sin i“ 1 1' 43 ", 8.
x = i" 12' 43", 8 Diff. tal>. = 291
| Part. prop. pour
à ajouter à d’où
Total...
sin nal. 1“ 12'
sin nal. .r. . .
log sin*. . . .
