cotrt

— tang u

séc x

-4- séc a

— coséc a

— séürt

- 4 - coséc «

eosx

-4- cos«

— sin«

— CO' rt

-4- sine/

INTRODUCTION. [ xix ]

Par exemple , si l’on domamlo log sin 3i2°22' 35', l’angle étant dans le quatrième quadrant , le sinus sera négatif et aura la même valeur numérique que le cosinus de Tanglo diminué de 270 degrés, c’est-à-dire que cos 42° 22' 35". Ce cosinus a pour logarithme 7,8684g. Donc en plaçant, suivant l’usage, devant le logarithme lo signe du nombre correspondant , on a

logsin3i2 , ’a2’35' = — 1 ,8684g.

Si l’angle proposé est plus grand que 36o degrés, ou s’il est négatif, on le diminuera ou on l'augmentera d’un nombre suffisant de circonférences, pour le ramener au cas précédont .

II. Connaissant le logarithme de rime des lignes trigononwtriqucs (F un angle, trouver cet angle .

Supposons d’abord que l’on sache que l'angle cherché appartient au premier quadrant. Silo logarithme donné se trouve dans la colonne de la Table correspondanteà l’espèce de la ligno trigonométrique, onaura immédiatement l'angle cherché en degrés et minutes.

Si le logarithmo donné se trouve outre deux logarithmes consécutifs de la Table, alors l'angle contiendra des fractions de minute. Pour les obtenir, on multipliera 60 secondes par la différence entre le logarithme donné et relui qui répond à l’angle immédiatement inférieur, divisée par la différence tabulaire correspondante au même intervalle que le logarithme donné. On pourra employer pour cette opération les Tables de parties proportionnelles .

Exemple I. — Trouver Fangle x, connaissant

log sin x = 1 , 8oag3.

Le plus petit des deux angles dont les logarithmes sinus comprennent entre eux le proposé est 3g” 26'; son logarithme sinus diffère du proposé de 3 unités, et la différence tabulaire est t5. Donc il faut ajouter à l’angle 3g” 26' un nombre de

secondes égal à 60" x ^ = 12". La Table des parties proportionnelles donnerait to”. Donc l’angle cherché a pour valeur

3g 0 26'ia'' ou 3g“a6’io*,

la différence entre ces deux résultats étant comprise dans la limite des erreurs que l’on doit attendre de la Table [*].

Exemple II. — Log tanga; = 1 . 1 3355. L’angle cherché est égal à 7°44\ plus un nombre de secondes = 60x^1 66 étant la différence entre log lang7° 44' et log tang.r, et g5 la différence tabulaire. On trouve, en faisant l'opération,

[”} Soit, en général , r l’argument d’une Table des valeurs de la quantité/, Axl’intervalle entre deux valeurs consécutives do l’argument. A/ la différence tabulaire correspondante. L'approximation avec laquelle la valeur de/ détermine réciproquement celle de x est donnée par l'expression

Dans nos Tables trigonométriques , A x représente l’angle de T ou de Go*. Si D est la différence tabulaire correspondante à l'angle x , cet angle sera déterminé à un nombre

de secondes prés égal A — • Ici D = ta ; donc l’anglo est déterminé par son logarithme

sinus à 4" prés. La différence du logarithmo de la tangente étant toujours plus forte que . celles des logarithmes du sinus ou du cosinus, on voit qu’il est avantageux d’employer autant que possible la tangente pour la détermination des angles.

[ xx ] INTRODUCTION.

En se servant de la Table des parties proportionnelles, en ferait le calcul ainsi :

Difî. lab. = g5 1 P° ur lo S ,an e = >",13289 7° 44'

Reste = 66 j p 0ur les part. prop. j

d'où x = 7° 44' 42"

Exemple III. — Logcosx= 1,63127.

DilT. tab. = 27 1 P° ur lo S cos = >,C3i33 64° 40’

Reste = 6 j p 0ur [gg part. prop. J ^ lo

d'où

Le calcul direct aurait donne 1 64"4o'i3'.

S'il s’agit de déterminer, au moyen de son sinus ou de sa tangente, un angle moindre que 3 degrés, on suivra l une ou l’autre des deux méthodes suivantes, qui so déduisent de celles que nous avons employées dans le cas analogue du problème inverse.

Pkemièhe méthode. — On passera du logarithme au nombre et l’on déterminera l’angle au moyen de son sinus naturel ou de sa tangente naturelle.

Exemple 1 . — Logsinx = 2,i5o86, d’où

DilT. tab. = 291 Reste =191

sin nat.x — o,oi.ji53 pour le sin nat. = 0,013962 o” 48'

d’où x = 0° 48' 3g‘,2

Exemple 11 . — Logcotx= 2,56218, d’où

I cot nat. x = o,o364gi

pour • .

d'où x = 87-54' 36\4

Exemple III.— Logtangx= I, 568 i 3 , d’où log cotx = 2,43187.

d’où x = 88" 27' 5", 8

Seconde méthode. — O11 retranchera du logarithme donné la valeur correspondante de log — — — —— ou de log Le reste sera le logarithme do l’angle éva- 1 0 arc arc 0 0

lué en secondes, et on lira immédiatement dans la Table I sa valeur en degrés et minutes. Reprenons, par ce moyen , les exemples précédents.

Exemple I. — Le log sinus a,i5o86 ou 8,i5o8G étant compris entre 8,11 et 8,16, nombres indiqués en tète de la page 11 par les lettres S. T. (initiales do Sinus.-Tangentc), on en conclura que l’arc est un de ceux qui correspondent;» celle

DÛT. tab. = 291 Resto = 28

col nat. x ;

pour

INTRODUCTION

page. Or la valeur do log est 4,68556. En la retranchant du logarithme

proposé, le reste 3,4653o est le logarithme de 2919', 5 ou de o” 4 8 ’ 3 q’ , 5 : telle est donc la valeur de l'angle cherché.

Exemple II. — Log cotx = 8, 56a 18 ( page 27).

log

tang

log x ‘ 3,87641

x' — 2° 5’ 23", 3 d’où x = go" — x' — 87° 54’ 36”, 7

Exemple III. — Log tang i , 568 1 3

d’où log cotx. ... 8,43187 (page 20 1

(a no'

log-— 4,68568

log-r' 3,74619

Si l'angle cherché n’appartient pas au premier quadrant, on commencera par déterminer (d’après ce que l’on sait sur les signes de scs lignes triçonométriques et sur les limites entre lesquelles l’angle peut être contenu ) à quel quadrant cet angle appartient, et pour laquelle do ses lignes trigonomélriques il faut chercher l’angle réduit.

Si l’on sait, par exemple, que le cosinus d’un angle est négatif et que cet angle est moindre quo 180", on cherchera l’angle réduit dont le log sinus est égal au logarithme donné, et en ajoutant 90 degrés à cet angle réduit, on aura l’angle cherché.

La page 86 contient une Table des lignes trigonomélriques naturelles do degré en degré, avec une approximation suffisante pour les constructions graphiques et pour certains calculs astronomiques. Cette Table donne en même temps l’évaluation des arcs on parties de rayon avec la même approximation. De plus, elle peut servir pour la conversion des parties du ccrclo on parties du jour. Elle donne immédiatement la conversion des degrés on heures et minutes, et la Table auxiliaire qui l’accompagno, cello des minutes et secondes d’arc eu minutes et secondes de temps.

les chiffres renfermés entre parenthèses sont les périodes des fractions décimales.

Exemple. — Convertir en temps l’arc de 57“ • 7' 4 4", 81 -

somme 3 , ’49 ”'io , ,987

m , , .... , sin , taog

[ J Lorsqu il arrive que les quantités log ^ ou log °nt plusieurs valeurs diffe-

rcutes dans la même page, en prenant une quelconque de ces valeurs, on a une première approximation, ordinairement suffisante. Si Ton veut une plus grande exactitude,

ou corrigera le dernier chiffre du logarithme, de la différence entre le log ~ ou

arc arc

qu'on 0 pris et celui qui répond h la colonne où sc trouve la valeur approchée de l'angle. Cette correction ne dépassera jamais une ou deux unités du cinquième ordre.

INTRODUCTION

[ xxn ]

La même Table peut servir è convertir le temps en arc, en remplaçant les additions par des soustractions. Soit donné l'angle