AX

""ÂB'

Si nous appelons r^ la résistance de AX, puisque AB est homogène et de même section dans toute son étendue, nous avons

AB "" r

d'où

et à cause de la distance K du conducteur a Taxe des ab^ scisses,

XY = e — a^ + K.

Dans cette équation, K doit être pris avec son signe positif ou négatif.

2"* Le eonduettur eit compote de parlieê de nature et de section différentes. — Supposons le conducteur AB (fig. 82) composé de deux parties AC, CB^ de nature et de section différentes.

Fig. 8S.

Soient:

r, la résistance de AC;

/, la résistance de CB.

La résistance totale du conducteur AB sera évidemment R = r + r'.

Soient en outre, quand Tétat permanent est établi : h = FH', la hauteur de pente de A en C ; V=CG', la hauteur de pente de G en B.

Puisque rextrémité B est toujours à la même tension que rélément positif du couple dont la force électromotrice est AF s= 6^ nous avons nécessairement

h + h' = AF = e.

D*après les principes développés page 349, quand Tétat permanent est établi, pour que rintensilé du courant soit la môme de A en C et de C en B, les hauteurs de pente doivent satisfaire à la condition suivante :

deux

équations donnent

lr<

Ces dernières équations montrent qu'étant données les valeurs de«. r et r', il est toujours possible de déterminer ^ = Ffl' el A'=CC', et, par suite, la forme delà ligne FCB représentative de la distribution des tensions. Il peut se présenter trois cas :

r AC 4 «> — = — La hauteur de pente h est égale à FH", la hauteur de pente h! est égale à CC'\ et la ligne des tensions FC'B est une droite,

2» -. > — . La hauteur de pente h est égale à FH',la hauteur de pente li' est égale à GC, et la ligne des tensions FC'B a sa convexité tournée vers le conducteur AB.

3» -; < -- . La hauteur de pente h est égale à FH'", la hau-

teur de pente h* est égale à CC', et la ligne des tensions FC'''B a sa concavité tournée vers le conducteur AB.

Quelle que soit la forme de cette ligne des tensions, du moment que rétat^ permanent est établi, les tensions des points A, C, B, sont constantes. Dès lors Tintensité du courant entre deux quelconques de ces trois points est égale au rapport de la hauteur de pente à la résistance correspondante, ce qui donne :

h e Pour rintensité du courant entre A et C. . . — = ~.

h' e Pour riotentité du courant entre G et B. . • . — =: — .

Ces équations montrent que les valeurs déterminées de h et de h' conviennent à l'état permanent, puisque l'intensité du courant est la même dans toute l'étendue du conducteur AB. EUeg montrent en outre que, dans ce cas comme dans le cas du conducteur homogène et de même section, Tintensité du courant est égale au rapport de la force électromotrice e du couple à la résistance totale R du conducteur interpolaire. Ce conducteur AB peut donc être remplacé par un conducteur homogène et de même section dans toute sa longueur, dont la résistance serait R = r4-f*^. Cette substitution ne changerait en rien rintensité du flux d'électricité; mais la distribution des tensions serait altérée, et la ligne représentative de cette distribution serait nécessairement une ligne droite.

Dans les piles hydro-électriques , Tare conjonctif de deux couples successifs est composé de liquides et de métaux, et représente un conducteur qui n'a ni la même nature ni la même section dans toute sa longueur. Pour plus de simplicité, nous supposerons toujours ces arcs conjonctits remplacés par des conducteurs de même résistance, mais homogènes et de section uniforme. Nous savons que les tensions des extrémités de ces

arcs et Tintensité du courant resteront les mêmes; il n*en résultera qu*une altération de la forme de la ligne des tensions dans chaque arc conjonctif.

Ptic 4e éemx eaaples. — Deux couples quelconques étant associés en tension, proposons^nous de déterminer le mode de distribution des tensions et Fintensité du courant.

Soient (6g. 83) : A' , A'^ les surfaces d excitation des deux couples; A' A", Tare conjonctif des couples; A"B, Tare interpolaire

développé. Les deux conducteurs A'A", A'^B, diflR^rent par leur nature et leur section. L'extrémité A" de Tare conjonctif A' A'' est nécessairement à la môme tension que Télément positif du second couple A" ; Textrémité B de Tare interpolaire A'^B est nécessairement à la même tension que Télément positif du premier couple A'.

Soient, en outre : e', e", les forces électromotrices des couples A', A" ; r', la résistance de l'arc conjonctif A'A"; r", la résistance de l'arc interpolaire A"B. -^ R= r' + r'' sera la résistance totale de la chaîne électro-dynamique A'B.

Prenons A'F = «^. Si FH r= V est la hauteur de pente de la section A' à la section A'^ FD est la ligne des tensions dans l'arc conjonctif A'A", et l'élément positif du couple A" est à la même tension, A"D = A'H = e' — A', que l'extrémité correspondante A" de l'arc conjonctif. Si nous prenons DG = f ", l'élément négatif du second couple aura pour tension

A"G = A"D + OG =:= e' - ft' + c" = (</ + «") - h\

Mais puisque A'^B est homogèoe et de même section dans toute son étendue, la droite 6B représente le mode de distribution des tensions dans ce conducteur intorpolaire. Par conséquent, la hauteur de pente de À" en B est

/»"=:A"G = (e' + e")-V, d'où

C'est-à-dire que la somme des hauteurs de pente est égale à la somme des forces électromotrices de la chaîne.

Mais, pour que l-écoulement soit uniforme dans toute la chaîne, nous devons avoir

Ces deux dernières équations donnent

Il est donc toujours possible de déterminer h' et //', et, par suite, la forme de la ligne FDGB, représentative du mode de distribution des tensions. Quant à la valeur absolue des ten« sions, elle dépend de la position de Taxe des abscisses ; il suffit, pour fixer la position de cet axe, de connaître la tension réelle d'une tranche quelconque de la chaîne électro-dynamique A'A"B.

Les équations précédentes permettent de déterminer Tinten* site du courant dans chacune des parties du système , et de démontrer que la distribution des tensions, représentée par la ligne FDGB, satisfait à cette condition, que chacune des tranches de la chaîne électro-dynamique est traversée, dans Tunité de temps, par une même quantité d'électricité.

NOTCS.

En effet, les tensions A'F, A''D, étant constantes, l'intensité I da coarant dans Tare conjonctif A'A" est

De même, les tensions des extrémités de Tare interpolaire étant constantes, l'intensité du coarant dans cette partie du circuit est

En résumé, dans une pile de deux couples associés en tension, rintensité du courant est la même dans toute l'étendue de la chaîne électro dynamique, et égale au rapport de la somme des forces électromotrices à la résistance totale de la chaîne.

Plie #iui nombre qneleonqae de eooples. — Pour fixer les idées, prenons une pile composée de cinq couples associés en tension ; cet exemple suf6ra pour mettre en évidence les lois de la distribution des tensions et de Tintensité du courant dans une chaîne galvanique composée d'un nombre quelconque de couples.

Soient (fig. 84): A', A", A'", A»^, A^, les cinq couples; ^«» AF, e"=:CO, «"'« ED, e»^= KL, «▼sMN, les cinq forces

électromotrices; r', r", i^^, *•!▼, les résistances des quatre arcs conjonctifs; r^, la résistance de Tare interpolaire, R = r' -f r"

+ r'" + r«v, -I- rv, la résistance toUle de la chaîne électrodynamique; V, h!\ h"\ /iiv, Av, led cinq hauteurs de pente.

Supposons que la ligne FGGEDKLMNB représente le mode de distribution des tensions dans la chatne électro-dynattiique ; nous avons, pour la tension de l'élément négatif

Du premier couple A^ . . (' « A^ « e^

Du deuxième couple A". . ('' = A"G == {t' + e"j — A'.

Du troisième couple A'^v.. l^«A'^raa(^-fy'-f c^i^)— (V+fc'/j.

Ou quatrième couple A*» . ««▼ =* A»^L = (• + Z' 4. e''^' -f. «")

— (*' + *''+ fcW).

Du cinquième couple Â^ r œ A'^N «• («^ -|- e'^ -|« e'/' ^^it ^g,^

— (A'+A" + AW + A«*).

Mais, puisque Textrémité B de la chatne a la même tension que l'élément positif du premier couple A', la hauteur de pente de la tranche A^ à Best nécessairement A^N = r = A^. Dès lors

h- = (e' + e'' + c^'^ + e^ + O— (V+ A" + V'' + A'^}, d'où

fc/ 4. V' + A'^' + A»^ + A' =«' + e''4-e'''+ e-' +«^

La somme des hauteurs de pente est donc égale à la somme des forces électromotrices que nous désignerons par le signe Xe\ TéquÀtion précédente se met alors sous la forme

A' -f A" + A'" + A1V + A' = le.

D'ailleurs, pour que le flux d'électricité soit uhiform dans toute l'étendue de la chatne, il faut que les hauteurs de pente et les résistances des arcs correspondants satisfassent aux conditions suivantes :

Cm quatre équations et la précédente donnent

1$ . Je S0 20 Se

Ces relations suffisent pour déterminer la forme de la ligne de distribution des tensions, quand le flux d'électricité est à l'état permanent.

Puisque, d'ailleurs, dans chacun des arcs conjonctifs, comme dans Tare interpolaire, Tintensité du flux d^électricilé est égale au rapport de la hauteur de pente et de la résistance correspondantes, il est facile de voir que le courant est uniforme dans toute rétendue de la chaîne, et que son intensité I est donnée par la relation

Ces considérations, qui peuvent facilement être étendues au cas d'une pile composée d'un nombre quelconque de couples associés en tension, conduisent aux conclusions générales suivantes.

A rétat permanent, dans une pile composée de n couples associés en tension :

4<' La somme des n hauteurs de pente est égale à la somme des n forces électromotrices.

2*" La hauteur de pente correspondante à un arc conjonctif quelconque est égale au quotient de la somme des n forces électromotrices par la résistance totale de la chaîne, multiplié par la résistance de cet arc.

3" L'intensité du courant est la même dans les diverses portions de la chaîne électro-dynamique, et égale au quotient do la somme des n forces électromotrices par la rédistance totale du circuit.

éTAT PERMANENT. 361

Teasioa d'un point qaelconqao de lachaine éleclrod^wamiiiae. — Les considérations précédentes permettent de donner Teipression générale de la tension d'une tranche quelconque de la chaîne électro-dynamique, quand le flux d'électricité est à l'état permanent. En effet, la tension de la tranche X (6g. 84) est

XY ^ A"L — LZ = l^ - LZ.

Mais

De plus, h^^ étant égal à LS, il résulte de la comparaison des triangles semblables LYZ, LMS, que