I.Z ZY A"X

h'" SM A'^A''

Puisque Tare conjonctif À^^A^ est homogène et de même section dans toute son étendue, si nous désignons par r^ la résistance de Ai^X, nous aurons

A'* A' "" r'^ ' d'où :

LZ = fc" — .

Remplaçant L*^ et LZ par leurs valeurs dans la première équation, nous aurons

XY = (e' + e" + e"' + t" ) - (// + //' + ^'") — h" ~- •

Remplaçant les hauteurs de pente par leurs valeurs fp. 360), nous aurons

362 NOTKS.

d*où, enfin :

XY«(e' + ©'' + «'" + e")- ^^ If' + r" + 1^" + r^.

Pour avoir la tension d'une tranche quelconque X de la chaîne électro-dynamique, il faut donc faire la somme de toutes les forces électromotrices comprises entre l'extrémité A' de la chaîne et cette tranche X, et en retrancher le produit du rapport de la somme de toutes les forces électromotrices à la résistance totale du circuit par la résistance de la portion de la chaîne comprise entre l'extrémité A' et la tranche X.

Jusqu'ici nous avons supposé l'axe des abscisses <Mmfondu avec la chaîne électro dynamique. La valeur absolue de XY varie nécessairement avec la position de cet axe des abscisses. Pour rendre l'expression de la tension tout à fait générale, il suffit d'ajouter au second membre de l'équation précédente une constante K qui représente la distance, positive ou négative, de l'axe des abscisses à la chaîne électro-dynamique A'B. Alors l'équation générale devient

Appelons X, X', deux tranches prises sur une portion quelconque du circuit, mais de manière qu'aucune force électromotrice ne soit comprise entre ces deux tranches. Désignons par XY la tension de la première tranche, par XT' la tension de la seconde, et par r la résistance de Tare qui les sépare. Il est facile de trouver l'expression de la difiérence de tension de ces deux tranches. L'équation précédente montre que

XY - X'Y' == ^ r.

ETAT PERMANENT. 3f>3

La hauteur da pente de la tranche X à la tranche X' est donc

A = XY — X'r = ^ »*,

et rintensitô du courant entre ces deux tranches est

Ce dernier résultat est une confirmation de Texactitude delà formule qui donne la tension d'une tranche quelconque de la chatne électro-dynamique ; car nous savons que l'intensité du courant doit être la môme dans toutes les parties du circuit.

Courants dérivés. — Les principes développés dans les pages précédentes nous permettent de déterminer les intensités des courants connus sous la dénomination de courants dérivés, qui s'établissent à travers les diverses branches des conducteurs multiples.

Soit (6g. 85} MXC'YN une portion de l'arc interpolaire d'une pila. Considérons le circuit avant que les conducteurs latéraux

oti de dérivation XCJ^, XC"'Y, aient été établis ehite la trah che X et la tranche Y.

Désignons par r' la résistance du conducteur XC'Y, et par R la résistance du reste du circuit. Appelons courant primitif \e fltix

d'électricité qui traverse le condooteur MC'N avant rétabKssement des dérivations; son intensité sera

Courant primilif. . . l = — - — j (I ).

Après l*établi8sement des fils de dérivation XC'Y, XC'"Y, la résistance du circuit entre X et Y est nécessairement diminuée. Quoi qu'il en soit, nous pouvons imaginer un conducteur unique qui opposerait la même résistance que les trois conducteurs réunis XCY, XC'TT, XC'"Y, et qui pourrait leur être substitué sans troubler ni le flux d'électricité, ni la distribution des tensions dans le reste du circuit. Si nous appelons r la résistance de ce conducteur équivalent, et courant principal le flux qui traverse la chaîne électro-dynamique , nous aurons

le Courant principal .... 1' = (2).

De plus, d'après le principe établi pages 362 et 363, la difierence des tensions des sections X et Y, ou la hauteur de pente h de la section X à la section Y est fournie par la relation

et rintensité du courant qui traverse ce conducteur unique qui remplace les trois autres entre les sections X et Y, a pour expression

Mais la hauteur de pente h subsiste la même quand, au lieu de ce conducteur unique de résistance r, les tranches X et Y sont réunies par les trois conducteurs XCY, XC"Y, XC'"Y. Par conséquent, si nous $lésignons par » ', r'', r"\ les résistances

de ces trois conducteurs, la hauteur de pente h, qui leur est commune , détermine rétablissement de trois courants , tous dirigés de X en Y, et dont Fintensité est représentée par les expressions

2tf r

iB r

D'ailleurs, comme la section Y et la section X doivent être traversées par la même quantité d'électricité, les trois conducteurs réunis doivent apporter à la section Y autant d*électricité que leur en cède la section X. Il en résulte que la somme des intensités de ces trois courants établis de X en Y doit être égale à rintennté du courant qui traversait le conducteur unique de section r, ou à l'intensité du courant principal qui règne dans le reste de la chaîne électro-dynamique. Cette condition nous conduit à la relation suivante :

d'où

d*où, enfin :

1 = L + 1 + JL

r'V''4-r'r'//+ry'*

Telle est la résistance du conducteur unique qui, sans porter aucune perturbation ni dans l'intensité du flux d'électricité, ni dans la distribution des tensions du reste du circuit, peut être

366 Nons.

subskitaé aux tnns conâucteora qui relient la tranche X à la tranche T.

Appelons courant partiel , celui qui traverse le conducteur XC'Y ; premier courant dérivé, celui qui traverse le conducteur XC"Y ; second courint dérivé ^ celui qui traverse le conducteur XC'"T, et remplaçons r par sa valeur dans les équations (2) et (3). Nous obtien Irons ainsi les expressions générales des intensités des cinq courants dont la considération se rattache au problème que nous nous sommes posé.

Courant primitif . . I Gourant principal. . V

. , * ler"rfff

Courant partiel • . . t' = -- =:

!«' courant dérivé. . i" = 2*^ courant dérivé . . i'" =

r' R (r"r'"+r'r'"+r'r'0 -f rW"

fc lar'r'"

r'' — R {rWr'",-h r'r"f+rfr")+rfrf¥"' h ler'r'

ffti R (r'/W"+r'f'''+f'r'0+r'f'y"

Il est facile de voir :

4° Que r intensité V du courant principal est toujours plus grande que Fintensité I du courant primitif, ce qui est une conséquence nécessaire de la diminution de résistance qu'apporte rétablissement des dérivations dans la portion du circuit comprise entre X et Y;

V Que la somme des trois intensités t', t'', i"' du courant partiel et des deux courants dérivés est égale à Tintensité du courant principal, ce qui est une conséquence nécessaire de ce fait, que le flux d*électricité est à Tétat permanent dans le circuit.

Enfin un simple coup d*œil jeté sur les quatre dernières équa-

ÉfAT PfiBMÂR£NT. 30?

lions montre comment les eicpressions des intensités t', t", i'" du courant partiel et des deux courants dérivés se déduisent de Texpression générale de Tintensité V du courant principal.

Examen de quelques eas particaliers. — Il est inté' ressaut de déterminer Tinfluence de la résistance de Tare interpolaire de la pile sur la distribution des tensions et sur l'intensité du courant. Les problèmes soulevés par cette question se réduisent à trois, que nous examinerons successivement.

1 " Pile composée de coupîei égaux et fermée »uf elle-même, -^ Dans ce cas, les résistances des arcs conjonctifs des couples sont toutes égales entre elles et à la résistance de l'arc interpo* laire. De plus, toutes les forces électromotrices ont nécessairement la môme intensité.

Soient (fig. 86) :

FIg. «6.

A', A", A'", A»^, les surfaces d'excitation de quatre couples égaux ;

A' A", A" A'", A'" A»^ , les trois arcs conjonctifs de ces couples ;

A^^B, Tare interpolaire de la pile;

R, la résistance totale de la chaîne électro-dynamique ;

r, la résistance de Tare interpolaire égale à celle de chaque arc conjonctif ;

e, la force électromotrice d*un couple.

Puisque les quatre couples sont égaux, nous avohs

Xe == 4e, R = 4r,

35a NOTBS.

et, pour la valeur commune des quatre hauteurs de pente,

Si nous prenons

la ligne régulièrement ondulée C/A"C"A'"C"'A'^C>vB représentera le mode de distribution des tensions dans cette pile, composée de couples égaux et fermée sur elle-même. L'intensité du courant sera nécessairement

2fl je e

L'intensité du courant de cette pile fermée sur elle-même est donc égale à l'intensité du courant d'un seul de ses couples fermé sur hii-méme.

Nous pouvons généraliser lès résultats précédents, et supposer la pile composée de n couples égaux et ferméa sur ellemême. Nous aurons

V= ;/^= h'ff = V' . . . . = /»» = I* r = - r = c,

R nr

le ne e

"~ R """ nr r '

Ainsi, quel que soit le nombre des couples égaux associés en tension, quand la pile est fermée sur elle-même, Fintensité du courant est é^ale à l'intensité du courant d'un seul de ses couples fermé sur lui-même, et dans chacun des arcs conjonctifs la hauteur de pente ne dépasse jamais la valeur de la force élertromotrice e d'un des couples composanis.

ÉTAT PIHMANINT.

Mais, dans la pile fermée sur elle-même, la force totale qui pousse rélectricité dans la chaîne électro-dynamique est égale à la somme des hauteurs de pente, c*est-à-dire à la somme des forces électromotrices des couples composants. Nous avons, en effet,

hf + hff + fcw. ... + fc» = nd.

Dans un couple seul fermé sur lui-même, la force totale est égale à e, et la résistance totale à r. Dans une pile de n couples égaux fermée sur elle-même, la force totale est égale à ne, et la résistance totale de la chaîne à nr. Donc la force totale de la pile fermée sur elle-même et la force d'un couple seul fermé sur lui-même sont dans le même rapport que les résistances des deux systèmes, . condition nécessaire et suffisante pour assurer l'égalité des intensités des courants.

V PiU d'un nombre quelconque de couplée égaux fermée par un are quelconque, — Dans ce cas, les forces électromotrices et les résistances des arcs conjonctifs restent égales; mais la résistance de l'arc interpolaire n*est plus égale à celle d'un 9rc conjonctif.

Associons en tension quatre couples égaux Â^ A'', A'", A<^ (fig. 87), et fermons le circuit par un conducteur A'^B de résistance x ; la résistance de la pile est évidemment égale à la

cr

FIg. 87.

somme des résistances des trois arcs conjonctifs, ou à 3r. En conservant les notations déjà employées, nous aurons

Se a 4tf, R = 3r 4" ^•

370 Non».

Les trois hauteurs de pente des arcs oonjonctifs des couples seront égales, et leur hauteur commune sera

h' = hf' = *"' « ~ r *^

La hauteur de pente de Tare interpolaire sera donnée par la relation

y^iT s= — a? sa : — oj.

Ces équations suffisent pour déterminer la forme de la ligne de distribution des tensions C'D"C''D'"C'"D»vG>vB dans la chahie électro-dyoamique.

L'intensité du courant sera fournie par l'équation suivante :

Comme la résistance œ de Tare interpolaire est plus grande que celle d'un arc conjonctif, 3r + x est plus grand que kr,

e et, par suite, I est plus petit que — . L'effet constant de l'arc interpolaire est donc de diminuer l'intensité du courant de la pile. Les résultats précédents peuvent être étendus au cas d'une pile de n couples égaux réunis par (n— 4 j arcs conjonctifs dont la résistance commune est égale à r. et par un arc interpolaire de résistance x. Nous avons alors :

Ze = ne, R «» (n — î) r + x;

pour les {n — 4 ) hauteurs de pente des arcs conjonctifs,

A' =± h" t= h'" « A" . . . « ft(n - 1) = *? r;

mr PKRMANBHT. 371

pour la hauteur de pente h" de l'arc interpolaire,

et pour Tintensité du courant,

20 ne

Quel que soit le nombre des couples n associés en tension, tant que la résistance âc de Tare interpolaire est supérieure à la résistance r d'un arc conjonctif, Tintensité I du courant de la pile est plus faible que Tintensité du courant d*un couple seul fermé sur lui-même.

Dans cette pile de n couples égaux fermée par un arc interpolaire de résistance x, la somme des hauteurs de pente de la pile, ou la force totale qui pousse Télectricité dans la pile ellemême, est donnée par la relation

;i'+V' + fc'"... + fc(«»-t)=: ^ (n— 4) r.

La hauteur de pente h'* de Tare interpolaire, on la force qui pousse rélectricité dans cet 9rc, est donnée par la relation

le h» « — x.

La valeur de la résistance x de l'arc interpolaire exerce donc une grande influence sur la forme de la ligne de distribution des tensions, et sur la hauteur de pente dans chacun des conducteurs de la chaîne électro-dynamique ; mais, quelle que soit la valeur de cette résistance x de Tare interpolaire :

4"* La somme de toutes les hauteurs de pento, ou la force totale qui pousse Télectricité dans le système, est égale à la somme des forces électromotrices. En effet,

V La force qui poussa l'électricité dans la pile et la force qui entretient le courant dans Tare interpolaire sont dans le même rapport que la résistance de la pile et celle de Tare interpolaire : condition nécessaire et suffîsante pour que le courant ait la même intensité dans toute retendue de la chatne électrodynamique. En effet, les valeurs précédemment trouvées des

hauteurs de pente donnent

le

hf + hff + h"f ... + h i»-i) R^''""^^'' ( n^i) r fin ""2a X '

R * 3° Pile communiquant avec le sol par son pôle négatifs et dont le pôU positif est isolé. — La distribution de Télectricité dans une pile ouverte se déduit facilement des équations relatives au cas d^une pile fermée par un conducteur quelconque de résistance X. Soient :

n, le nombre des couples égaux ; e^ la force électromotrice d'un couple ; r, la résistance d*un arc conjonctif ; a;, la résistance de Tare interpolaire ; (ti — 4) r, sera la résistance de la pile. R == (n — 1)r -f X sera la résistance totale de la chaîne.

Quand Tétat permanent est établi, nous avons

2tf ■=• ne, R = (n — 1) r + a?,

ft"..

fn

le

Quand, le pôle négatif étant en communication avec le sol» le pôle positif est isolé, la pile est ouverte, ce qui revient à dire que les deux pôles sont réunis par un conducteur de résistance infinie. Pour déterminer la distribution des tensions dans ce cas, il suffit donc de faire x=qo dans les équations précédentes ; ce qui donne :

V = V = fcw = /*'^ = a'" "^ '^ = 0,

h» = 2e = ne,

Il résulte de ces relations que :

l"" Les hauteurs de pente des arcs conjonctifs sont nulles; par conséquent, la tension de chaque arc est uniforme dans toute sa longueur.

2° A", qui représente en réalité la tension de Textrémité isolée de la pile, est égale à la somme des forces électromotriccs des couples associés.

3"" Dans cette pile ouverte, il n'y a pas de circulation électrique, mais seulement une charge statique, car Tintensité I du courant est égale à zéro.

La figure 88 représente Tétat électrique d'une pile de quatre couples égaux, dont le pôle négatif A' est maintenu à zéro par sa communication avec la terre, et dont le pôle positif A^ est isolé. Dans cette pile

A'C = D"C'' « D'^CW == D'^C'» =r e,

et la distribution des tensions est représentée par la ligne C'D"C"D'"C'''D>vC«^.

Conformément aux principes précédemment établis, la tension est uniforme dans toute la longueur de chaque arc conjone-

lif, égale à e dans le premier arc A' A", à %e dans le second arc A" A'", à 3a dans le troisième arc A"'A"^. La tension du pôle

Fig. 88.

positif isolé A*'' est égale à A«vC»^=4tf, c'est-à-dire à la somme des forces éleclromotrices du système.

Chote des tensions polaires dans nne plie ouverte an moment oA elle est fermée. — Les âgttres 87 et 88 représentent, la première la distribution des tensions dans une pile de quatre couples égaux fermés par un arc interpolaire A'^B de résistance 0); la seconde cette même distribution dans une pile ouverte de quatre couples égaux. Il est facile de voir que la tension A^^O^du pôle positif est plus faible dans la pile fer* mée que dans la pile ouverte L'établissement du conducteur interpolaire a donc pour etfet immédiat de déterminer une chute des tensions polaires. Les formules précédentes nous donnent le moyen de déterminer la chute qu'éprouve la teiiskm du pôle positif dans une pile de n couples égftux en communication avec le sol par le pôle négatif, au moment où Ton ferme le circuit.

Tant que la pile reste ouverte, nous savons que la lettsion du pôle positif est

h" Sis le = ne.

ÉTAT PBIIIIANBNT. 375

Mais du moment que le circuit est fermé, la circulation commence ; la di8tnbutio& des tensions dans la pile et dans Tare interpolaire se modifie, et les hauteurs de pente s'établissent dans les diverses parties de la chaîne électro-dynamique, de manière que leur somme soit égale à la somme des forces électromotricés. Quand Tétat permanent est atteint, Télectricité circule sous la pression d'une force égale à la somme de ces hauteurs de pente ou à la somme des forces électromotrices, et la tension du pôle positif devient

la ne

d'où

Dans cette équation, (n — 4) r représente la résistance de la pile, et a; la résistance de l'arc înterpolaire. La tension h^ du pôle positif reste donc d'autant plus rapprochée de i\e^ que la résistance de l'arc interpolaire est plus grande par rapport à celle de la pile ; elle n'est égale à ne que dans le cas où x est tn/fnt, c'est-à-dire quand la pile est ouverte.

La chute qu'éprouve la tension du pôle positif, par le fait de l'établissement de l'arc interpolaire, est donc

ne ( (n— l)r \ . x^=^ ne\ : — 1 =

Cette chute de tension est d'autant plus faible, que la résistance X du conducteur interpolaire est plus grande, par rapport à la résistance (n— 4} r de la piie. Pour la rendre nu/i^, il faut faire x infini, c'est-à-dire laisser la pile ouverte.

g m. .— INtlfUMitîmi d« Péleetridté. dans le em oà la parte par Tair n'est pat négligeable,

OUm a traité (4) la queBtioo de la dislributioo de rélectricité dans rétat permanent, quand l'air environnant exerce une influence appréciable sur le circuit. L'expression générale qu'il a donnée de la tension d'une tranche quelconque du circuit prouve suffisamment que cet intéressant pn^léme n*est pas de nature à être directement abordé par une méthode élémentaire. Nous essayerons, dans les pages suivantes, de donner une idée de rinfluence de la perte par l'atmosphère sur la distribution des tensions, en nous appuyant sur la théorie des courants dérivés. 1/action de Tair humide sur une chaîne électro-dynamique se réduit, en effet, à celle d'un système de circuits de dérivation d'égale résistance, aboutissant à la terre et établis sur chacune des tranches de cette chaîne.

Fig. 89.

4* Soit AB (fig. 89) un conducteur de résistance 2r en communication avec le sol par son extrémité B, et par son extré-

(1 ) Théorie mathénuOique des courants électriques, par 6. -S. Obro , traduction de J.-M. Gaugain, 4860, p. 117.

ÉTAT PEBMANGNT. 377

mité A avec une source de tension eonsfonle AF= (. Établissons au point 6, milieu de AB, une dérivation aboutissant à la terre, dont la résistance soit ar. Évidemment, quand Tétat permanent sera établi, la tension sera uniformément décroissante de A en 6 et de 6 en B ; pour avoir la forme de la ligne des tensions F2/B, il suffit donc de déterminer la tension hb' = t! du point 6, milieu de AB. En s*appuyant sur la ibéone des courants dérivés et sur ce principe que, dans une seetion quelconque du circuit, l'intensité du courant est égale au quotient de la différence de tension de ses deux extrémités par la résistance de cette section, il est facile de déterminer la tension bb' = if du point de dérivation 6.

En effet, le courant principal I, qui règne de A en 6, se partage au point 5, pour fournir un courant partiel d'intensité t' au conducteur 5B de résistance r, et un courant dérivé d'intensité x au circuit de dérivation de résistance ar. Noos avons nécessairement, entre ces trois courants et les résistances du circuit partiel 5B et du circuit de dérivation, les relations suivantes :

X r ~^ ' d'où

Mais les intensités I du courant principal et t' du courant partiel sont données par les relations

378 ffOTBS.

Remplaçant I et i' par leurs valeurs dans Téquation (1), nous avons

Par conséquent, dans ce systèmei En A, la tension est

AF

En b, la tension est 66' = (' =

En B, la tension est iovi^ovin nulle.

2to+i

Fig. 90.

2° Soit maintenant un conducteur AB{fig. 90) de résistance 3r divisé en trois sections égales. A chacun des points 6, c, établissons une dérivation de résistance ar aboutissant à la terre. Maintenons en A une tension constante k¥ = t, et mettons Tautre eictrémité B du conducteur en communication avec la terre. La même méthode sert à déterminer la ligne de distribution des tensions Ffr'c'B. Soient :

AF =» e,

ccf = f'.

La résistance du circuit partiel cB étant r et celle du cir-

cuit de dérivation établi en c étant ar^ la résistance de ces deux circuits réunis est

ar + r a -{- i' La résistance du conducteur, à partir du point 6, sera donc ar (2a + i)r

Le courant principal I, qui règne de A en b, fournit, en 5, un courant partiel d'intensité i' au conducteur bc, et un courant dérivé x au circuit de dérivation établi en 6. Nous avons nécessairement les relations suivantes :

i' ar a(a + l).

d'où

Le courant partiel t' se bifurque en c, fournit un courant d'intensité x au circuit de dérivation établi en c, et un courant partiel t^' au circuit partiel CB. Nous avons les relations suivantes :

d'où

Hais, d'autre part,

Ces trois dernières équations, combinées avec les équations (4 ) et (2), donnent

3a» -J- 4a + 1 aï

3a2 -|- 4a + I Par conséquent, dans ce système.

En A, la tension est AF = / ;

En 6, la tension est ly z=z i'

En c, la tension est» • ... ce' = <" = ; — f ;

En B, la tension est toujours nulle,

3a» + ia + i

3<» Le conducteur ÂB de résistance 4r (fig. 94) est partagé

en quatre sections égales; on chacun des points 6, c, c/, est établie une dérivation de résistance ar aboutissant à la terre. La tension ÀF= t de l'extrémité A est maintenue constante ; l'extrémité B est en communication avec le sol. Â Tétat permanent, la distribution des tensions est la suivante :

En A, U tension est AF = l ;

En fr, la tension est W = t' =

En c, la tension est ce' » /" =

En d, la tension est dd' =s t'" =

En B, la tension est toujours nulle.

*a* -h- lOa* + 6a -f- 1 a» (2« + 1)

4a» 4- 10a' + Oa + 1

4*^ Avec un conducteur ÂB de résistance 5r (dg. 92), partagé en cinq sections égales, et quatre dérivations équidistantes, aboutissant à la terre et dont chacune est de résistance ar, si l'on maintient toujours A à la tension conHanle AF = ( et B en communication avec la terre :

En A, U tension est AF== <; End, la tension est hb^^t^ ■

a(4o^ + lOo' 4- 6a + 1) 5a*+ 20a» + 2Ia«-f- 8a+ 1

S82 NOTBS.

aHZa^ + 4a 4- 1) En c, la icDsion est ce' = <" = , . . 1^ , 7 ^, ^ , ^ , , t\

a3.2a 4- 1) End, la tension est dd^ = l"f== ^ i . .n a . Z^ > i o . . *î

En 6, la tension est ee' = («^ = — r— =-r r— *;

5a<+ 20o3 + 2la^+ 8a+ 1

En B, la tension est loi^onrs nulle.

5*" Avec un conducteur ÂB de résistance 6r (iig. 93), partagé en six sections égales, et cinq dérivations équidistantes, aboutissant à la terre et dont diacune est de résistance ar^ si Ton maintient toujours A à la tension constante AF= ( et B en communication avec la terre.

En A, la tension est kF = t;

„ ^ „ ,,, , o(5a< + 20o3+2la» + 8a+ 1)

En 6, elle est W/ = C = — -^, , . \ , — ■ — p- l ;

6tt« + 35a* + 5fia3 4- 36a2 + I Oa + 1

, „ à^ ia^ + lOa» 4- 6a + 1)

En c cc'=t'' = ^ ^ -^ -!— ^ (;

6a5 + 35a* + 56a3+ 36a» + lOo + 1

End dd'=i'''= a^(3a^ + 4a+i)

En«. eé'BminwK — t:

6a« + 35a< + 56a* -f 36a» + lOo + 1

" 6a6 + 35a<+56a3-f aea^ + lOa + l

En B, la tension est toujours nulle.

Bien que les tensions ne soient pas uniformément décnnssantés dans toute l*étendue du conducteur^ les valeurs des diverses tensions à chaque point de dérivation prouvent qu'à l^état permanent, la tension d*une tranche quelconque reste proportionnelle à la tension de la source, comme dans le cas où aucune dérivation n'existe.

ÉTAT PSBMANENT.

L*iii8pection des valeurs précédentes des tenuons aux divers points de dérivation conduit aux oonclusions suivantes :

4 Étant donné un conducteur avec un système déterminé de dérivations d*éga1e résistance, équidistantes et aboutissant à la terre, les tensions des divers points de dérivation sont des fractions de la tension constante de la source, qui toutes ont le môme dénominateur.

2° Les numérateurs des fractions correspondantes à un système de dérivations se forment en multipliant par a les numérateurs et le dénominateur commun du système précédent.

/J Je TT

Fis. ^«

3° Le dénominateur commun des fractions correspondantes à un système de dérivations est égal au produit du dénominateur commun du système précédent par la quantité (2a -f^ 4)^ diminué du produit du numérateur correspondant à la valeur de (' dans le système précédent par la quantité a.

Ce mode de génération des expressions des tensions aux points de dérivation, et la possibilité de rendre r aussi ^e\\\ et a aussi ^rani qu'on le veut, permet de multiplier indéfiniment le nombre des dérivations sur un conducteur donné.

Pour donner un exemple de la forme de la ligne des tensions,

assignons à a la valeur 4 00 ; nous aurons, dans le système de cinq dérivations équidistantes :

En A, la tension est AF = t;

En fr, — W = t' = 0,818 ^

En c, — ce' = ("= 0,645 (;

En d, — dd^, ^ «'"== 0,478 <;

En e, — ee' = f'^= 0,316 «;

En f, — fff = r = 0,157 t.

La ligne des tensions est un polygone dont la convexité est tournée vers le conducteur AB.

D'ailleurs, il est facile de voir que la différence de tension, on la hauteur de pente entre deux points successifs de dérivation diminue à mesure qu'on se rapproche de l'extrémité B du conducteur. Par suite, rintensilé du courant suit une marche décroissante de A en B. La décroissance du courant devient moins rapide à mesure qu'on se rapproche de Textrémité B.

A mesure que les dérivations se rapprochent, les côtés du polygone se raccourcissent; à la limite, quand les points de dérivation ne sont plus séparés que par un espace infiniment court, le polygone devient une courbe r^ulière.

Le cas de points de dérivation séparés par un intervalle infî^ niment court correspond à un conducteur exposé à l'action d'une atmosphère humide. Par conséquent, quand la perte d'électricité par l'air n'est plus négligeable t

4 ^ La ligne de distribution des tensions est une courbe dont la convexité est tournée du côté du conducteur.

V L'intensité du courant diminue à mesure qu'on se rapproche de l'extrémité B du conducteur en communication avec la terre. Cette décroissance du courant devient moins rapide à mesure qu'on se rapproche de l'extrémité B.

3^ Les tensions des divers points du conducteur restent toujours proportionnelles à la tension constante de la source en communication avec l'extrémité A du conducteur.

ÉTAT PKRMANKNT. 385

En terminant cette élude de la distribution de Télectricité dans un conducteur, quand la perte par Tair n'est pas négligeable, nous devons signaler une relation fort importante. Reprenons le conducteur AB de la figure 93, sur lequel sont établies cinq dérivations équidistantes et équirésistantes, les tensions des points de dérivation, dont nous avons donné les expressions générales (page 382} fournissent les relations suivantes :

ÏP (' o(.na< + 20tt'-f 2lû2-f8a4-l) a

W+dd' — f!+î!!!' — q(«o* + ^^tt^ 4- 22a» 4 8a+ 1) 2a + ! ce' "~ t" .^ a^{Âa^+iOa^ + 6a+i) "^ ~"a

cc'+ ee' t^f + t" tt»(6a^+ iltt» + 6a + I) 2a + f

dd' "" ('" "^ a3(3a2 + 4a -f i) "" â

dd^ + fr ^ ("^ 4- <* g3(4a2 + 4a ,|, 1) ^ 2a + \

te '^ <«▼ "" o<(2o +1) "" ô

ee' + P^ + a<(2a + I) 2a + i rr "^ r ~" a« "^ a

Nous avons donc, en définitive,

t + i^f tJ±J^ l'f + r i^'^ + t' HdLl — ^lltA if "^ (ff "" iffr ' 1^ r ~" a

Nous avons dit que raction de Tair humide doit être assimilée à celle d*un système de dérivations d'égale résistance établies en chaque tranche de ce conducteur. Les tensions des divers points d une chaîne électro-dynamique exposée à Faction de Tair doivent donc satisfaire aux relations précédentes. Fourier a établi dans sa Théorie de la chaleur, et M. Despretza prouvé par Texpérience que ces relations sont précisément celles qui relient les températures des tranches d'une barre métallique

placée dans un milieu à zéro; chauffée par unboul et dont Tautre bout est maintenu à zéro, lorsque Tétat permanent est atteint. Il en résulte que la perte d'électricité joue le même rôle que le rayonnement latéral d'un corps chaud, et qu'à l'état permanent, la distribution de l'électricité dans une chaîne électrodynamique est la mémo que celle de la chaleur dans une barre exposée par une de ses extrémités à l'action d'une source de chaleur constante.

Nous avons insisté sur ces relation^ remarquables, parce qu'elles se présentent comme une conséquence directe des lois de l'état permanent, et que ces lois elles-mêmes ne sont que l'expression générale des résultats fournis par l'expérience. Plus on étudie cette question, plus on demeure convaincu que la propagation de l'électricité dans une chaîne électro-dynamique et celle de la chaleur dans une barre métallique, sont soumises aux mêmes lois; on comprend alors combien est juste et féconde l'idée fondamentale sur laquelle Ohm faisait reposer, dès 4 827, toute la théorie des courants électriques.

ARTICLE lî.

ftTAT VARIABLft,

Des expériences rapportées dans l'article précédent et des déductions qui en découlent naturellement, il résulte qu'à Tétat permanent, les lois de l'intensité du flux électrique et de la distribution des tensions dans un conducteur AB homogène et de même section dans toute son étendue, en communication par son extrémité A avec une source de tension constante AF et par son extrémité fl avec la terre, peuvent être résumées ainsi qu'il suit : Quand la perte par l'air est nulle ou négligeable : La tension XY d'une tranche quelconque X du conducteur

AB (fîg. 94) est directement proportionnelle à la tension constante AF de la source, et à la distance XB de cette tranche au point B. Par conséquent, la tension du conducteur décrott uni-

Fi«« 94.

formément de A en B, et la droite FB représente la ligne do distribution des tensions.

La hauteur de pente entre deux tranches équidistantes quelconques, prises sur le conducteur AB, est constante quand A F ne varie pas, et reste toujours proportionnelle à AF.

L'intensité du flux d'électricité est la même dans toute l'étendue du conducteur, directement proportionnelle à ia tension A F de la source et à la section transversale du conducteur, et inversement proportionnelle à la longueur du conducteur AB.

Quand la perte par Tair n'est pas négligeable :

FIg. 95.

La ligne des tensions (fig. 95) est représentée par une courbe dont la convexité est tournée vers le conducteur ; mais la ten-

sion XY d'une traocbe quelconque X du conducteur reste proportionnelle à la tension A F de la source.

La hauteur de pente entre deux tranches séparées par un intervalle très petit diminue de Textrémité A à rextrémité B, ot cette décroissance devient moins rapide à mesure qu on se rapproche du point B.

L'intensité du flux d*électricité varie comme la hauteur de pente, et sa décroissance devient aussi moins rapide à mesure qu'on se rapproche de Pextrémité B du conducteur.

Avant d'aborder les lois de Tétat variable, nous devons arrêter un instant notre attention sur un élément fort important de la question signalé pour la première fois par M. Gaugain (1), et dont il a donné une étude expérimentale très complète.

Fig. M.

Soit AB (fig. 96) un conducteur homogène et de même section dans toute son étendue, en communication par son extrémité A avec une source d'électricité de tension constante AF.

Mettons l'extrémité B en communication avec le sol, et attendons que rétat permanent soit établi. La droite FB représente la ligne des tensions. Tant que dure Técoulement d'électricité, ce conducteur possède une charge d'électricité libre qu'il conserverait si, à un moment donné, on l'isolait par ses deux extrémités, et qui est proportionnelle à l'aire du triangle FAB. Cette

(1) AnnahLde physique et de chimie^ 3^ série, 1 860, t. MX, p. 26 et 58.

charge est ce qoe M. Gaugain appelle la charge dynamique do conducteur.

Laissons Textrémité A en communication avec la source, et isolons Textrémité B. Évidemment le conducteur prend une charge uniforme d'électricité statique qui a partout la tension A F de la source, et qui est proportionnelle au rectangle FABB. Cette charge est ce que M. Gaugain appelle la chargé italique du conducteur.

La théorie conduit à cette conclusion que, pour une même tension de la source, la charge dynamique à Fétat permanent est la moitié de la charge italique du conducteur. Dans une suite d^expériences multipliées très concordantes, M. Gaugain a démontré l'exactitude de cette proposition.

M . Gaugain a fait une étude expérimentale des circonstances qui peuvent influer sur la valeur de la charge dynamique ; ses recherches l'ont conduit à des résultats très importants.

Supposons que, sans changer Taire de la section d*un con^ ducteur, noas fassions varier la forme de cette section. Le flux d'électricité, qui ne dépend que de Taire de la section, reste invariable ; mais la charge dynamique varie avec la forme de la section, augmente et diminue avec le périmètre de cette section, c'est-à-dire avec Tétendue superficielle du conducteur.

Prenons pour conducteur un cylindre creux de diamètre extérieur constant, et faisons varier son diamètre intérieur; la section de ce conducteur sera variable, mais sa surface extérieure restera constante. Dans ce cas, Tintensité du flux augmente ou diminue proportionnellement à la section; mais la charge dynamique reste toujours la même, quelle que soit Tépaisseur des parois du cylindre.

La charge dynamique, comme la charge statique , dépend donc exclusivement de la forme et de Tétendue de la surface extérieure du conducteur. Dès lors, pendant le passage du flux

d*ilectridl6, comme dans TéUt statique , il n*y a de («mton éUciroicopique qu'à la surface du conducteur.

Cependant, puisque Tintensité du flux est toujours proportkmneile à l'aire de la section du conducteur, il faut bien que toutes les molécules de cette section participent à la transmission ; mais on est conduit à rejeter Thypothèse fondamentale de régale tension de toutes les molécules d'une tranche du conducteur, sur laquelle Ohm s'est appuyé. M. Gaugain a démontré (4 ) que, pour faire dispai altre de la formule générale de Ohm cette dernière hypothèse débormais inadmissible, et la remplacer par la notion de la charge dynamique, il suffit de faire subir à cette formule des changements peu importants qui n'en altèrent nullement la forme, et portent exclusivement sur le coefficient relatif à la conductibilité du conducteur.

M. Gaugain appelle coefficient de charge la quantité d'électricité qu\,kVétat étatique, constitue la charge d'un conducteur de section déterminée, dont la longueur est égale à Vuniié, isolé dans toute son étendue, et mis en communication par une de ses extrémités avec une source d'électricité de tension ^ale à Vunité. Ce coefficient de charge est évidemment une fonction de la section du conducteur que la théorie de Poisson permettrait de déterminer. Il est plus simple de le considérer, avec M. Gaugain, comme une quantité qui doit, dans chaque cas particulier, être déterminée expérimentalement.

Soient :

C, le coefficient de charge d'un fil ; e, la tension constante de la source ; I, la longueur de ce fil.

(1) Théorie mathématique des oouranti électriques^ par G.-S.Obm, trtdttclion J. M. Gaugain, 1860, note A, p. f 74.

ÉTAT YARIABLK. S91

La charge statique de ce fil est évidemment Cel,

et sa charge dynamique est, d*après les principes développés plus haut,

Cet

Étant donné un fil quelconque en communication par une de ses extrémités avec la terre, et par l'autre avec une source d*électricité constante, la charge dynamique de ce fil, quand Tétat permanent est établi, est proportionnelle à son coefficient de charge.

&0Û de l'étol variable.

Les lois de Tétat variable peuvent se déduire des formules générales établies par Ohm dans sa Théorie mathématique des courante électriques. Fidèle à la marche adoptée dans cette étude, nous continuerons à éviter avec soin les considérations empruntées aux hautes mathématiques, et à prendre pour point de départ les démonstrations expérimentales de M. Gaugain. D'ailleurs, nous supposerons toujours que Télectricité se propage dans un conducteur homogtoe et de même section dans toute son étendue, en communication par une de ses extrémités avec une source d'électricité de tension constante, etpar Tautre avec le sol.

Darée 4a prop^saiioii ahM^oe. —M. Gaugain appelle durée de propagation absolue le temps qui s'écoule entre Tinstant de l'établissement des communications et le montent ou une section déterminée du conducteur acquiert une tension^ àb^ solue donnée.

Dans le cas où la perte par Tair est nulle ou négligeable,

392 NOTKS.

M. Gaugain a démontré expérimentalement les proportions suivantes :

Proposition I. — Lorsque la tension de la source varie sans que le conducteur éprouve aucun changement, ta tension d une section déterminée de ce conducteur, au bout d*un temps donné, est toujours proportionnelle à ta tension de la source.

La durée de propagation alssolue , ou te temps nécessaire pour qu'une section déterminée atteigne une tension atMolue donnée, varie évidemment avec la tension de la source; mais la loi de cette variation n'a pas d'expression simple.

Pkopositioic n. — Lorsque les dimensions du conducteur restent constantes, la durée de propagation absolue est inversement proportionnelle à sa conductibilité spécifique, ou directement proportionnelle à sa résistance spéciGque.

Proposition IH. — Quand la conductibilité spécifique et la section sont invariables , la durée de propagation absolue est directement proportionnelle au carré de la longueur du conducteur.

Ces trois premières propositions se déduisent très facilement .de la formule générale de Olim relative à Tétat variable des tensions, dans le cas où la perte par Tair est nulle ou négligeable.

Proposition IV. — Quand la nature et la longueur du conducteur restent les mêmes, ainsi que sa surface extérieure, et que, par suite de cette dernière condition, te coefficient de ctiarge est aussi invariable, la durée de propagation absolue est inversement proportionnelle à la section du conducteur.

Les conditions énoncées dans cette proposition peuvent être réalisées avec un cylindre creux, dont on fait varier Tépaisseur des parois en lui conservant ta roème surface extérieure.

Proposition V. — La nature, la longueur et Taire de la section du conducteur restant les mêmes, si Ton modifie la forme de la section de manière à faire varier le coefficient de charge,

la durée de propagation absolue est directement proportionnelle au coefficient de charge.

Les conditions énoncées dans cette dernière proposition peuvent être facilement réalisées avec un système de 61s qui sont tantôt réunis en faisceau, tantôt disposés parallèlement à une certaine distance les uns des autres.

Quand la perte par Tair n*est plus négligeable, la première proposition reste vraie; au bout d*un temps donné, la tension d*une section déterminée du conducteur est toujours proportionnelle à la tension de la source. La même relation est nette* ment et clairement exprimée dans la formule générale de Ohm relative à Tétat variable des tensions, dans le cas où Ton tient compte de la perte par Tair.

Lorsque Tatmosphère est assez humide pour que son influence ne puisse plus être considérée comme négligeable, les quatre dernières lois sont altérées, et toutes dans le même sens. M. Gaugain, en effet, a montré que, dans le cas de la perte par Tair, la durée de propagation absolue suit une marche plus rapide que celle qui se trouve indiquée par chacune des quatre dernières propositions. L'influence de Tatmosphère humide sur la durée de propagation absolue n*a pas été démontrée par voie expérimentale; M. Gaugain Ta déduite, par des raisonnements d'une grande simplicité, des lois de la durée de propagation ab* solue, dans le cas où la perte est nulle ou négligeable. Il a rendu un très grand service en établissant ce point important de la théorie des courants électriques. Les formules générales par lesquelles Ohm a représenté les phénomènes de Tétat variable, lorsque la perte par Tair est sensible, sont très compliquées, et il est fort difficile de voir dans quel sens varie la durée de pro< pagation absolue, quand la déperdition d'électricité est modifiée par un changement survenu dans Tétat hygrométrique de Fat* mosphère ambiante.

IHirée de propasatlon relative. — M. Gaugain appelle

durée de propagation relative le tempB qui s'écoule entre l'instant de rétablissement des communications et le moment où la tension d'une section déterminée du conducteur est une fraction donnée de la tension de la source.

Dans le cas où la perte par Fair est assez faible pour être complètement négligeable, M. Gaugain a déduit des cinq propositions précédentes les lois de la durée de propagation relative.

Il résulte de la proposition I*^^* que la durée de propagation relative est indépendante de la tension de la source. Supposons, en effet, qu'au bout d*an temps (, une section déterminée m du conducteur ait atteint une tension e sous l'influence d'une source de tension E. Le conducteur restant le môme, portons la tension de la source à nB. Puisqu'il est démontré, d'après la proposition I'*, qu'au bout d'un temps donné, la tension d'une section déterminée du conducteur est toujours proportionnelle à la tension de la source, la section m, au bout du temps t, aura nécessairement acquis une tension ne sous l'influence de la source de tension nE. Par conséquent; la durée de propagation relative eit complètement indépendante de la ten»ion de la source, ou, en d'autres termes, le temps nécessaire pour que la tension d'une section déterminée du conducteur soit une fraction donnée de la tension de la source, est complètement indépendant de la tension de celle source.

Les propositions II, III, IV, Y, étant expérimentalement dé* montrées pour une tension quelconque , restent évidemment vraies dans le cas où la tension de la section déterminée do conducteur est une fraction donnée de la tension de la source. Ces quatre dernières propositions s'appliquent donc à la durée de propagation relative, comme à la durée de propagation absolue.

Dorée de l'état variable. — Tant que dure l'état va • riable, les tensions des diverses tranches du conducteur aug-

menlent suivant une marche asymptotiquo. L'état permanent est donc une limite qui ne peut être atteinte, rigoureusement parlant, qu'au bout d'un temps infini. II n'est donc pas possible de déterminer avec précision Tinstant où cet état permanent est établi; mais, d'une part, nous savons que Télat permanent s'établit en môme temps dans toute la longueur du conducteur; d'autre part, M. Gaugain a démontré (1) que, dans l'état permanent, la tension d'une section déterminée d'un même conducteur est toujours une même fraction de la tension de la source. La durée de tétai variable n'est donc qu'un cas particulier de la durée de propagation relative; les lois sont les mêmes pour l'une et pour l'autre.

Dans le cas où la perte par l'air est nulle ou négligeable, les lois de la durée de Tétat variable sont donc les suivantes :

Première loi. — La durée de l'état variable est indépendante de la tension de la source électrique.

Deuxième loi. — Lorsque les dimensions du conducteur restent constantes, la durée de l'état variable est inversement pro^ portionnelle à sa conductibilité spécifique, ou directement proportionnelle à sa résistance spécifique.

Troisième loi. — Quand la nature et la section du conducteur sont constantes, la durée de l'état variable est directement proportionnelle au carré de sa longueur.

Quatrième loi. — Quand la nature et la longueur du conducteur restent les mêmes, ainsi que sa surface extérieure , et que, par suite de cette dernière condition , le coefficient de charge est constant, la durée de l'état variable est inversement proportio nelle à la section du conducteur.

Cinquième loi. — La hature, la longueur et Taire de la section du conducteur restant les mêmes , si l'on modifie la formé

(1) Annales de chimie 91 de phytique, 3« série, 1860, t. LIX, p. 44.

de la section de manière à faire varier le coefficient de charge,

la durée de Tétat variable est proportionnelle au coefficient de

charge.

Les trois premières lois de Tétat variable se déduisent facilement de réquation générale de Ohm. Les deux dernières lois ne sont fournies par cette formule que lorsqu'on y a introduit la notion du coefficient de charge, en lui faisant subir la modification indiquée par M. Gaugain dans la première note de sa traduction.

Prenons quatre conducteurs M, M', M", M'", tous en commuDication avec la terre par une extrémité, et par Fautre avec une source d'électricité de tension constante ; et soient :

La tension constantede la source r= La durée de Tétat variable. .

Le coefficient de charge ....

La longueur du conducteur.

La conductibilité spécifique.

La section transversale ....

POtR LE C03IDUCTEUR