CHAPITRE II

LE CONTINUUM METRIQUE

3 10. — Coup d'oeil sur la géométrie non euclidienne1)

Les doutes sur la géométrie euclidienne paraissent être aussi vieux que cette géométrie elle-même, et ils n'ont pas leur origine uniquement, comme les philosophes le croient souvent, dans les considérations critiques des mathématiciens modernes. C'est de tout temps que l'on a mis en doute le 5e postulat d'Euclide. On sait de quoi il s'agit; essentiellement ce postulat affirme que, dans un plan, par un point P pris hors d'une droite g de ce plan, on ne peut mener qu'une seule droite (on peut toujours la mener) qui ne coupe pas g; cette droite est dite la parallèle à g issue de P. Alors qu'on admettait les autres axiomes d'Euclide sans les mettre jamais en doute tant ils paraissaient évidents, les plus anciens commentateurs d'Euclide se sont évertués à démontrer ce postulat en se basant sur les autres. Aujourd'hui que nous savons qu'un tel but ne pouvait être atteint, ces considérations peuvent être regardées comme les débuts de la géométrie non-euclidienne, c'est-à-dire de la construction logique d'un système géométrique basé sur les axiomes d'Euclide à l'exception du postulat des parallèles. Nous possédons un mémoire de Proclus (5e siècle de notre ère) qui contient des essais de cette nature. Proclus y met en garde explicitement contre les abus que l'on peut commettre en faisant appel trop souvent à l'évidence. On ne peut d'ailleurs trop se fatiguer de répéter cet avertissement, mais on doit aussi insister sur ceci que l'évidence, malgré les abus multiples qu'on a commis en son nom, est la source initiale de toute connaissance. Après cette mise en garde. Proclus soutient qu'il peut exister des « droites asymptotiques ». Voici ce qu'il faut entendre par là :

Soit dans un plan une droite fixe g, un point P fixe non situé sur g, et une droite s mobile autour de P. Imaginons que dans sa

\ position initiale elle soit perpen-

9 * diculaire à g; dans sa rotation, son

Fi„ o point d'intersection avec g se dé-

place le long de g, à droite par exemple et il arrive un moment où ce point a disparu à l'infini ; à ce moment on dit que s est asymptotique à g. Si nous tournons encore

coup d'oeil sur la géométrie non euclidienne 67

dans le même sens la droite s, que \a-t-il arriver '.' Suclide prétend qu'immédiatement le point d'intersection reparaît à gauche. Proclus iLdique au contraire une nouvelle possibilité. Il est probable que l'on doive encore .tourner d'un certain angle autour de P avant de voir apparaître un point d'intersection à gauche. Nous aurions alors deux droites asymptotiques, une à droite s', l'autre à gauche s . Si s se trouve dans l'angle formé par s' et s" qui contient la perpendiculaire, elle coupera g; si elle se trouve dans l'angle adjacent de t' avec >". «'Ile ne coupera pas g. (*).

Qu'il existe au moins une droite non sécante, cela est démontré par les antres axiomes d'Euclide. Rappelons l'une des premières figures que l'on fait lorsqu'on commence l'étude de la géométrie. La droite /} coupe deux droites g et g' en A et A' sous le même angle, elle détermine sur chacune d'elles une moitié gauche et une moitié droite. Si g et g' avaient quelque part à droite un point commun S, on pourrait affirmer, puisque d'après la figure BAA'B' et C'A'AC sont égaux, qu'il doit exister aussi à gauche un point d'intersection S* de g avec g', mais cela est impossible puisque deux points S et S"

ne déterminent qu'une seule droite.

Les essais de démonstration du postulat d'Euclide se poursuivirent chez les Arabes et chez les mathématiciens occidentaux du Moven âge. Nous ne nous en occuperons pas, et nous passons à la période moderne en donnant les noms des plus importants protagonistes de la géométrie non-euclidienne : le Père jésuite Saccheri (commencement du dix-huitième siècle), les mathématiciens Lambert et Legendre. Saccheri sait que la question de la validité du postulat des parallèles est équivalente à la suivante : la somme des angles d'un triangle est-elle égale ou inférieure à 180° ? Si elle est égale à iso" dans tut triangle, elle l'est dans tous; si dans nu triangle elle est <180°, elle est aussi inférieure à 180° dans n'importe miel autre. Que cette somme ne puisse dépasser 180°, cela déroule des mêmes considérations qui nous ont prouvé tout à l'heure l'existence d'une non-sécante. Lambert découvrit que dans l'hypothèse d'une somme intérieure à 180°, il existe en géométrie une longueur privilégiée; cela est en relation avec une remarque faite déjà, par Wallis qui énonce que dans la géométrie non-euclidienne comme dans la géométrie sur la sphère) il ne peut y avoir des figures semblables de grandeurs différentes; si donc il est possible de définir la forme indépendamment de la grandeur, la géométrie euclidienne est vraie. En outre, Lambert trouva une formule qui donne l'aire d'un triangle et d'après laquelle on voit qu'il est impossible

(*) Voir la note de Poincaré dans le tome II du Traité de Géométrie de Rouché et Comberousse, Paris, Gauthier-Villars, 8» éd., 1912, p. 576 (N. d. T.).

que, dans la géométrie non-euclidienne, cette aire croisse au delà de toute limite. Il paraîtrait que par suite des recherches de ces géomètres, la croyance en l'impossibilité d'une démonstration du postulat des parallèles ait diminué quelque peu. La question passionna de nouveau les esprits; d'Alembert désignait comme un scandale de la géométrie le fait qu'on ne l'eût pas encore résolue d'une façon décisive. L'autorité de Kant, dont le système philosophique considère que la géométrie euclidienne nous donne une connaissance exacte, par des jugements adéquats, du contenu de l'intuition spatiale a priori, ne put pas étouffer les doutes sur la stabilité de l'édifice d'Euclide. Gauss lui-même a commencé par essayer de démontrer le postulat des parallèles; mais il a rapidement acquis la conviction que c'était là une chose impossible, et il a développé les principes d'une géométrie non-euclidienne, dans laquelle cet axiome n'est plus vrai, jusqu'à un point tel qu'il était aisé ensuite d'achever l'édifice avec la même aisance qu'on construit la géométrie euclidienne. Il n'a rien publié de ses recherches, car il craignait « les cris des Béotiens » comme il l'écrivit plus tard dans une lettre privée; en effet, il y aurait eu peu de gens qui pussent comprendre la véritable signification de ces choses. Un professeur de jurisprudence, Schweikart est arrivé indépendamment de Gauss à une compréhension complète de la géométrie non euclidienne, comme il résulte d'une note qu'il adressa à Gauss. Il n'admettait pas que dans notre espace réel la géométrie euclidienne fût évidemment valable et irréfutable. Son neveu Taurinus auquel il exposa ces questions, était au contraire un fervent euclidien; nous lui devons pourtant la découverte que les formules de la trigonométrie sphérique sur une sphère de rayon \] — 1 sont réelles, et qu'il est possible de construire par des moyens analytiques un système géométrique qui en dérive, et dans lequel les axiomes d'Euclide soient satisfaits, à l'exclusion du 5e postulat.

Le russe Nicolaj Iwanowitch Lobatschefskij (1793-1856), professeur de mathématiques à Kasan, et le hongrois Jean Bolyai (1802- 1860), officier dans l'armée autrichienne se partagent la gloire d'avoir découvert et développé la géométrie non-euclidienne, puisqu'ils furent les premiers à publier des résultats définitifs sur la question. Ils étaient tous deux en pleine possession de leurs découvertes en 1826, et les mémoires principaux où ils communiquèrent les résultats de leurs recherches, mémoires écrits dans le style d'Euclide, parurent dans les années 1830-1831. La méthode de Bolyai est en particulier si pénétrante, qu'il pousse le développement aussi loin qu'il est possible sans accepter ni rejeter le 5e pos tulat; c'est seulement à la fin qu'il tire des propositions de sa « géométrie absolue » les théorèmes de la géométrie euclidienne ou de la géométrie non-euclidienne, suivant qu'il accepte ou qu'il rejette le 5e postulat.

Il fallait encore démontrer que cette géométrie non-euclidienne

coup d'oeil sur la géométrie non euclidienne 69

n'est pas contradictoire, car toutes ces considérations ne prouvaient pas qu'une fois ou l'autre il était impossible d'aboutir à des propositions contradictoires. Cette démonstration est presque immédiate quand on étudie la suite du développement de la géométrie noneuclidienne. On ne suivit pas d'abord le chemin le plus aisé pour faire cette preuve; c'est seulement en 1870 environ que Klein le trouva en donnant un modèle euclidien pour la géométrie non euclidienne 2).

Bornons-nous au plan. Décrivons le cercle U de rayon 1 centré à l'origine des coordonnées d'un système cartésien de coordonnées x et y. Prenons des coordonnées homogènes

X{ Xi

de telle sorte que la position d'un point est définie par le rapport des 3 nombres xx : x2 : x3; l'équation du cercle est alors — x\ — x\-\-x\ = o.

Désignons par Q (x) la forme quadratique .du premier membre et par Q (x, x') la forme bilinéaire des 2 arguments Xi et x'i qui lui correspond. Une correspondance entre le point x et le point x' dont les coordonnées sont :

Xi = V««<E* ( | ■» | ^£o)

est une collinéation (les correspondances affines sont des collinéations particulières). Une telle transformation fait passer d'une droite à une droite et conserve le rapport anharmonique de 4 points en ligne droite. Imaginons alors un dictionnaire au moyen duquel les notions de la géométrie euclidienne seront traduites dans une langue étrangère « la géométrie non-euclidienne » dont nous écrirons les mots entre guillemets. Le dictionnaire se compose de

3 vocables :

« Point » chaque point à l'intérieur de U.

« Droite » toute corde de / .

Parmi toutes les collinéations qui transforment le cercle en lui-même, il faut distinguer celles qui conservent le sens de parcours sur le cercle de celles qui transforment ce sens en son inverse. Les collinéations de la première classe sont dites des congruences et deux figures sont « congruentes » si l'on peut passer point par point de l'un à l'autre par une telle collinéation. Pour ces « points » et ces « droites » et pour cette notion de « congruence » tous les axiomes d'Euclide, sauf le 58 postulat sont valables. Dans la figure 4, on a dessiné

toute une série de « droites » issues de P et ne coupant pas la « droite » g. L'impossibilité d'une contradiction en géométrie non-euclidienne est ainsi démontrée puisque nous avons pu construire des objets auxquels s'appliquent tous les théorèmes de cette géométrie, moyennant un simple changement de noms. L'extension du modèle de Klein à l'espace est aisée. Nous définirons encore la « distance » non euclidienne de 2 « points »

A(xt : x, : xz) A(x\ : x'.2 '.x't\.

La droite A A' coupe le cercle U en deux points Br et B2. Las coordonnées homogènes de ces deux points ont la forme :

y» = ).Xi + X'x'i, et le rapport des deux paramètres X et l' est donné par l'équation Q (y) = 0

X - Q(xx') ±v/û2( xx'P' Q(x)Q(xT)

le rapport anharmonique des 4 points A, A', Bx, B3 est par suite :

. n Q(xx') -t- Jq2{xx'T— Q(x)Q(x')