AA"] = [.4 .4']. [.4 M

La grandeur :

ilg[AA>] = A~X' = r jouit donc de la propriété fonctionnelle suivante :

IX' + TiJ" = U".

Puisque, en outre, pour des segments .4.4 ' « congruents » elle a la même valeur, on peut prendre r pour la distance non-euclidienne des 2 points A, A'. En prenant pour lg [A A'] le logarithme népérien, nous retrouvons avec Lambert la détermination d'une unité de longueur absolue. On transforme plus simplement la définition en

q(xx') (i) Ch r = ,..' (Ch /• = Cosinus hyperbolique de /•).

y « Ou ) *-l£Ç j

Cette détermination métrique avait déjà été trouvée avant Klein par Cayley qui partait d'une conique quelconque réelle ou imaginaire Q(x) = 0; l'illustre géomètre anglais l'appelait la « métrique projective 3); mais c'est Klein qui le premier reconnut qu'elle conduit à la géométrie non-euclidienne si la conique est réelle.

On ne doit pas s'imaginer que le modèle de Klein prouve que le plan non-euclidien soit fini. On peut très bien porter indéfiniment à la suite les uns des autres des segments égaux sur une « droite »;

COUP D'OEIL SUR LA GÉOMI-TKIK MiN II il IIHINM, 71

seulement si on mesure ces segments dans le modèle euclidien et avec la métrique euclidienne, ces « points équidistants » sont de plus en plus rapprochés. Pour ce plan non-euclidien le cercle limite U est l'image de l 'infiniment lointain. La métrique cayleyenne pour une conique imaginaire conduit à la géométrie sphérique ordinaire, telle qu'on l'établit dans l'espace euclidien sur une sphère. Les grands cercles y jouent le rôle de droites; mais on doit considérer deux points diamétralement opposés comme un seul et unique «point» afin que deux «droites» n'aient qu'un seul «point» commun. Nous projetons les points de la sphère du centre de celle-ci sur le plan langent en un point quelconque; dans cette image plane deux points diamétralement opposés ont la même représentation. Nous devons doter le plan d'une « droite à l'infini » qui est l'image du cercle dont le point de contact du plan tangent considéré est le pôle. Deux figures du plan de projection seront « congruentes » si elles sont les projections de 2 figures congruentes au sens ordinaire sur la sphère. Par l'application de cette notion de « congruence » la géométrie de notre plan est non-euclidienne. Deux « droites » quelconques se coupent toujours sans exception, et par suite la somme des angles d'un triangle y est supérieure à 180°. Cela semble être en contradiction avec une proposition énoncée plus haut. L'antinomie se résout dès que l'on remarque que dans la géométrie « sphérique ;> la droite est une ligne fermée, alors qu'Euclide suppose implicitement que c'est une ligne ouverte que chacun de ses points divise en deux moitiés. Les points S et S* considérés dans la démonstration de la proposition litigieuse sont différents pour Euclide, tandis que pour nous, ils sont identiques puisqu'ils résultent de la projection de deux points diamétralement opposés; la droite est bien fermée.

Vous utilisons dans l'espace un système cartésien x1, x2, x3 dont l'origine est au centre de la sphère, et dont l'axe des x3 passe par le point de contact du plan de projection avec la sphère; nous prenons le rayon pour unité. L'équation de la sphère est : u (x) aj}+x}+*|«l,

— est l.i lre coordonnée de la projection el — la deuxième.

*j, x2, x3 peuvent dont être considérés comme les coordonnées homogènes d'un point du plan de projection. Les correspondances congruentes sur la sphère sont des transformations linéaires qui laissent invariante la forme quadratique Q (a;); les « congruences » d'un plan au sens de notre géométrie « sphérique » sont donc expriiiit'es analytiquement par les transformations linéaires des coordonnées homogènes, qui laissent sa forme à l'équation q (x) = 0; celle-ci représente une conique imaginaire. Nous avons ainsi démontré notre proposition sur la métrique cayleyenne. Conformément à ce que nous avons dit la formule qui donne la distance r de deux points A et A1, est ici :

Q(xx') (2) cos r = — •

i/Qix)Q(x')

Nous avons établi ainsi le théorème de Taurinus qui dit que la géométrie non-euclidienne est identique à la géométrie sur une sphère de rayon s/ — 1.

Entre la géométrie de Bolyai-Lobatschefsky et la géométrie ^phérique, la géométrie euclidienne s'introduit comme cas limite. Si l'on amène la conique fondamentale d'un état réel à un état imaginaire en passant par l'état où elle est dégénérée, la métrique cayleyenne est d'abord celle d'un plan de Bolyai-Lobatschefsky et elle se transforme en une métrique sphérique en passant par la métrique euclidienne.

§ 11. — Géométrie riemannienne.

Les idées de Riemann — qui pour la suite de nos développements sont d'une importance capitale — se rattachent aux principes fon» damentaux de la géométrie infinitésimale, en particulier à ceux de la théorie des surfaces, tels qu'ils furent posés par Gauss dans ses Disquitiones circa superficies curvas*.

La propriété la plus importante de l'espace, celle qui est à l'origine de toutes les autres, c'est que ses points forment une multiplicité à 3 dimensions. Qu'entendons-nous par là? Nous disons, par exemple, que les ellipses (d'après leur grandeur et leur forme, c'està-dire en considérant 2 ellipses comme égales, si elles sont congruentes. et différentes si elles ne le sont pas) forment une multiplicité à deux dimensions, parce qu'une ellipse peut être bien définie à l'intérieur de cet ensemble par la donnée de deux nombres : les longueurs de ses deux demi-axes.

Les états d'équilibre d'un gaz parfait se différencient les uns des autres par les variables indépendantes pression et température, ils forment donc une multiplicité à deux dimensions, comme les points sur une sphère, ou les sons simples qui se définissent pir l'intensité et la qualité. Conformément à la théorie physiologique, les couleurs forment une multiplicité à trois dimensions, car d'après cette théorie la perception de la couleur est déterminée sur la rétine par la combinaison de trois procédés chimiques : le noirblanc, le rouge-vert, le jaune-bleu, dont chacun est caractérisé pour une direction déterminée par une intensité déterminée; la multiplicité des couleurs est bien à 3 dimensions puisqu'une couleur est caractérisée par son intensité et sa qualité, celle-ci étant déjà une multiplicité à 2 dimensions; on trouve une confirmation de ce fait dans la construction du triangle des couleurs dû à Maxwell. Les positions possibles d'un corps solide forment une multiplicité à

*) Il existe une traduction française de ce mémoire : Recherches générales sur les surfaces courbes, suivies de notes et d'études sur divers points de la théorie des surfaces et sur certaines classes de courbes, trad. par E. Roger, 2° éd., 1870 (Librairie Albert Blanchard).

'.l'oMiaïuF. hiim \nmi:nm; 73

six dimensions; les positions possibles d'un système mécanique à n degrés de liberté en forment une à n dimensions. Une multiplicité à n dimensions est caractérisée par le fait qu'un élément particulier qui en fait partie (dans nos exemples : les points, les états, les couleurs ou les sons) peut être déteiminé par la donnée des valeurs de n grandeurs « les coordonnées » qui sont des fonctions continues à l'intérieur de la multiplicité. Mais il n'est pas nécessaire d'exiger que toute la multiplicité, avec tous ses éléments soit représentée univoquement et réciproquement par les systèmes de valeurs des coordonnées, (par exemple, cela est exclu pour la sphère) mais il faut que, si P est un élément de la multiplicité, il existe un voisinage de P qui puisse être représenté univoquement, réciproquement et d'une manière continue, par les systèmes de valeurs de n coordonnées. Si Xi est un système de n coordonnées, x*j un autre, les valeurs des coordonnées X\ et x\ du même élément sont liées par des relations :

(3) xi = fi(x*xï- ■ x ) (i = r , 2, • • ■ , n)

qui sont résolubles par rapport aux x*, et où les fi sont continues. Tant que nous ne savons rien de plus sur la multiplicité, nous ne sommes pas en état de distinguer un système de coordonnées d'un autre.

Pour l'étude analytique d'une multiplicité continue quelconque, il est nécessaire d'échafauder une théorie de l'invariance vis-à-vis de toutes les transformations de coordonnées de la forme (3) ; dans le chapitre précédent, cette invariance ne se manifestait que pour la classe très particulière des transformations linéaires, ici il s'agit des transformations continues les plus générales.

La géométrie infinitésimale s'occupe de l'étude des courbes et des surfaces dans un espace euclidien à trois dimensions, dont nous désignerons les coordonnées par x, y, z. Une courbe est une multiplicité ponctuelle à une dimension ; ses points peuvent être distingués les uns des autres par les valeurs d'un paramètre u. Si le point u de la courbe se trouve coïncider avec le point de l'espace dont les coordonnées sont x, y, z, alors x, y, z, sont des fonctions déterminées et continues de u :

Ces trois équations donnent la représentation paramétrique de la courbe. Supposons que u soit le temps, (4) donne alors la loi du mouvement d'un point dont la trajectoire est précisément la courbe donnée. Une courbe donnée ne détermine pas uniquement une représentation paramétrique, le paramètre u, en effet, peut être soumis encore à une transformation continue quelconque.

Une multiplicité ponctuelle à deux dimensions est une surface ; ses points se distinguent par les valeurs de deux paramètres ul et u? ; elle possède par suite une représentation paramétrique :

(5) x = x(ulu2), y = y(u1u2), z = z(ulu2).

De nouveau, ux et U;, peuvent être soumis à telle transformation que

l'on voudra, sans que la représentation paramétrique cesse de donner la même surface. Nous supposerons que les fonctions de (5) sont non seulement continues, mais encore dérivables. C'est d'une telle représentation que Gauss part dans sa théorie générale ; les paramètres u^ et u2 sont les coordonnées curvilignes (ou de Gauss) sur la surface. Donnons une exemple : Projetons les points de la sphère de rayon 1. centrée à l'origine des coordonnées, de son centre sur le plan tangent i=l ; soient x, y, z, les coordonnées d'un point de la sphère et Uj. u,, l'abcisse et l'ordonnée de sa projection dans le plan de projection lui-même ; on a bien évidemment :

v/i -h u2 -\- u\ " /r -j- u] -+- û\ /r h- uj -t- ai

Nous avons là une représentation paramétrique de la sphère ; elle n'englobe cependant pas toute la sphère, mais seulement un certain voisinage du point 2 = 1-, x — y = 0, l'hémisphère dont il est le pôle jusqu'à l'équateur, celui-ci non compris. On obtient une autre représentation paramétrique de la même surface au moyen des coordonnées géographiques, longitude et latitude. En thermodynamique, on utilise pour la représentation graphique un système d'axes rectangulaires dans un plan, l'axe des pressions p, et l'axe des températures 0; l'état d'un gaz est donc représenté par le point (p, 9). Le même procédé s'applique aux surfaces : au point ult u2 sur la surface, nous faisons correspondre dans un plan le point de coordonnées rectangulaires (u1} u2). Chacun pense immédiatement à ce propos aux cartes géographiques. Une courbe sur la surface est donnée analytiquement par une représentation paramétrique : (7) u^UjfT), u2 = u2(t),

qui donne dans le plan image une courbe image ; un domaine, une région sur la surface correspondent à un ensemble de points dans le plan des (ux, u2) caractérisé par certaines inégalités en u, et a,. Si l'on trace dans le plan image des (lij, u2) un réseau de lignes parallèles aux axes à la manière du papier millimétrique, il y correspondra sur la surface, un réseau formé de mailles quadrangulaires, limitées par les deux familles de lignes coordonnées u1 = const., u2 = const. Si ce réseau est suffisamment ténu, il permettra à un dessinateur de construire sur la surface la figure qui correspond à une figure quelconque du plan.

La distance ds entre deux points infiniment voisins sur la surface (u1( u2) (Uj + du-!, u2 + du2) se détermine par la relation :

ds2 = dx2 + dy2 + dz2, où

,o • àx ' , àx ,

8) dX = -r «M) -+- -r— (fil?,

Ont ou2

dy et dz étant des expressions analogues. On obtient alors pour ds'2 une forme quadratique de différentielles

GEOMETRIE RIEM WMI\M.

di* z

= 2jQikfkkiduk

gtà,

où les coefficients ga-

sont

9nt =

dx dm

dx dm,

On,

àuit

dm

dz âuk

* = Çs/%ï§-

ce ne sont pas des constantes en général, mais bien des fonctions de Uj et u2. Pour la représentation de la sphère donnée par (6) par exemple, on trouve :

(i -+- iïf -h ur>)(du2i •+- du;) — [Uidui -+ ii2.du2)2 ( ro) as* = — - ; —

(i H-Uï + Uj)2

Gauss fît voir que cette forme quadratique différentielle, ds2, détermine la géométrie sur la surface. Les longueurs de courbes, les angles, les grandeurs de domaines donnés sur la surface dépendent seulement d'elle ; la géométrie sur deux surfaces est donc la même, si par un choix approprié des paramètres, les coefficients gik des deux formes métriques coïncident. En effet, la longueur d'une courbe donnée sur la surface s'obtient par l'intégrale :

du/ç T'"" di ~dî

Considérons un point P° = (**',, u"}) sur la surface, et utilisons, pour étudier son voisinage, les coordonnées relatives t/j — u'- =dii; ; x — x° = dx, y — y° = dy, z — 2° = d2,Ies équations (8) où les dérivées sont prises avec leurs valeurs en P° seront d'autant plus exactement satisfaites que dUj et du2 seront plus petits, nous disons qu'elles sont vraies pour des valeurs infiniment petites d^ et du2 ; ou encore plus brièvement, nous dirons qu'elles sont vraies dans l'infiniment petit. Avec les relations qui donnent dy et dz on voit que le voisinage immédiat de P° est un plan et que dux et du2 sont des coordonnées affines dans ce plan*.

D'après cela, nous pouvons employer dans le voisinage de P°, les formules de la géométrie affine. L'angle 6 de deux translations infinitésimales (ou de deux éléments linéaires) de composantes du,, du2, ^//, ?(/2 est donné par

*) Nous faisons ici l'hypothèse que les déterminants du 2e ordre qu'on peut tirer du tableau :

dx

EL

dtti

dz dut

dx

dUî

EL da%

dz

du 2

ne sont pas nuls à la fois; oetfe condition est remplie pour les points réguliers de la surface, pour lesquels existe un plan tangent.

Les trois déterminants sont identiquements nuls seulement si la surface dégénère en une courbe, en effet dans ce cas, x, y et z ne dépendent plus que d'un seul paramètre.

cos 6 = -—=?

où Q (d, S) est la forme bilinéaire symétrique que l'on tire de (9),

l'aire du parallélogramme infiniment petit qu'on construit sur ces deux translations est :

du{ du%

ou, ou»

g étant le déterminant des #;*. L'aire d'une portion de la surface s'obtient donc par l'intégrale :

ff\Ig dii\ dui étendue au domaine correspondant du plan image des (ult u2). Nous avons ainsi démontré les faits énoncés plus haut. Les valeurs des expressions obtenues sont naturellement indépendantes du choix de la représentation paramétrique ; cette invariance vis-à-vis de n'importe quelle transformation se confirme analytiquement sans autre. Les rapports géométriques établis sur la surface peuvent être poursuivis dans le plan des (ult u2) pourvu que l'on y prenne comme expression de la distance ds de deux points infiniment voisins, non pas celle que donne la forme de Pythagore

ds2 = du* ■+■ du 'i mais bien celle que donne (9).

La géométrie sur la surface ne dépend en rien de la situation particulière que la surface occupe dans l'espace ; elle consiste en relations qui peuvent être obtenues par des mesures effectuées sur la surface elle-même. Ce furent les travaux géodésiques du Hannovre qui furent le point de départ des recherches de Gauss. On peut se rendre compte que la terre n'est pas un plan par la mesure d'une étendue de pays suffisamment grande; si l'on imagine que les triangles qui composent le réseau de triangulation sont assez petits pour qu'on puisse les assimiler à des portions du plan tangent en un de leurs points, il n'en reste pas moins vrai que l'étalement de ce réseau sur un plan, différera de ce qu'il était sur la sphère ; en d'autres termes, les triangles étalés sur le plan ne vérifieront pas les mêmes relations métriques que lorsqu'ils étaient appliqués sur la sphère. Pour faire voir la chose plus distinctement encore, traçons sur une sphère de rayon 1 un cercle y, centré en un point quelconque P de la surface ; plus grands sont les rayons de ce cercle, c'est-à-dire les arcs qui rayonnent autour de P jusqu'à la périphérie, plus grand est le cercle sur la sphère (on suppose tout de même les

rayons <— J.Par des mesures sur la sphère, on peut affirmer que

les rayons qui partent dans toutes les directions sont des lignes de longueurs plus petites que ceUes de n'importe quel autre arc qui va de P à la périphérie de y; tous les rayons ont même longueur; la

GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE 77

longueur de y est s. Si nous étions dans un plan, s vaudrait 2nr, mais au lieu de cela, les mesures sur la sphère donnent s — 27isin r. Donc on voit bien, par des mesures effectuées sur la surface elle-même, que celle-ci n'est pas un plan. Prenons au contraire une feuille de papier sur laquelle nous dessinons telles courbes qu'on voudra ; enroulons cette feuille ; par des mesures sur les figures de la feuille enroulée on trouvera les mêmes valeurs que si la feuille était à plat ; sur la feuille enroulée, la même géométrie est valable, qui vaut sur un plan ; par des mesures géodésiques nous sommes hors d'état de constater qu'elle est courbe. Ainsi sur deux surfaces qui proviennent l'une de l'autre par déformation sans extension ni déchirure, on a la même géométrie. On exprime analytiquement que sur la sphère la géométrie du plan n'est pas valable de la manière suivante : il est impossible de mettre la forme quadratique (10) sous la forme :

ds*- = (du*f -+- (du*)*

au moyen d'une transformation :

u, — ii,(iiïu*)

II* = u*[UiUi)

Nous savons en effet qu'il est possible d'atteindre ce but en chaque point par une transformation linéaire des différentielles

(n) du* = xiidUi-h xiz'liiî (/ = 1, 2)

Mais il est impossible de choisir la transformation des différentielles de façon que les expressions (11) soient des différentielles exactes.

Les coordonnées curvilignes ne sont pas seulement utilisées dans la théorie des surfaces; on les emploie encore souvent dans la résolution de problèmes relatifs à l'espace ; en physique mathématique, par exemple, on est parfois dans la nécessité d'employer des coordonnées qui s'adaptent particulièrement bien à la question traitée ; nous faisons allusion ici aux coordonnées cylindriques, sphériques ou elliptiques. Le carré de la distance de deux points infiniment voisins s'exprime encore, en employant de telles coordonnées, par une forme différentielle quadratique

(12) S\gikfiXidxk

Si nous croyons la géométrie euclidienne valable dans notre espace, c'est que nous sommes persuadés alors que cette forme peut se présenter avec des coefficients constants, si on fait subir une transformation appropriée aux coordonnées.

Ces prolégomènes posés, nous sommes en état de comprendre les idées que Riemann a développées dans sa thèse d'habilitation 4) : Ueber die Hypothesen, welche der Géométrie zugrunde liegen (*). Nous avons vu au chapitre I, que dans un espace euclidien à 4 di-

(*) Une traduction française se trouve dans l'édition française des œuvres de Riemann, par Laugel. Voir la Bibliographie à la fin de l'ouvrage.

mensions, la géométrie euclidienne est valable sur les multiplicités linéaires à 3 dimensions, mais les espaces courbes tridimensionnels qui peuvent exister dans l'espace à 4 dimensions, tout comme il existe des surfaces courbes dans un espace à 3 dimensions, sont d'une autre espèce. N'est-il pas possible que notre espace intuitif soit un espace courbe ? En fait, il n'est pas plongé dans un espace à 4 dimensions, mais il se pourrait que les mesures qu'on y effectue soient de telle sorle qu'elles ne puissent être relatives à un espace plan. Il se pourrait que des opérations géodésiques de haute précision nous montrassent que notre espace n'est pas plan, de la même manière que les opérations géodésiques sur la terre nous prouvent qu'elle n'est pas plane. — Ce que nous savons et ce à quoi nous nous tenons, c'est que notre espace est une multiplicité à 3 dimensions, que les éléments linéaires infiniment petits s'y laissent mesurer et comparer entre eux indépendamment de leur position et de leur direction, et que le carré de leur longueur, c'est-à-dire de la distance de deux points infiniment voisins est donnée par une forme quadratique de différentielles de la forme (12) après qu'on y a caractérisé chaque point par des coordonnées x quelconques (cette hypothèse n'est pas contradictoire, car chaque transformation de coordonnées se traduisant par une transformation linéaire des différentielles des coordonnées, une forme quadratique de celles-ci se transforme en une forme quadratique). Mais ce que nous ne pouvons plus supposer nécessairement, c'est que les coordonnées puissent être choisies de telle manière que les coefficients gu de la forme fondamentale soient constants, c'est-à-dire qu'en fait, il n'existe pas nécessairement des coordonnées affines pour représenter les points de l'espace.

Le passage de la géométrie euclidienne à la géométrie de Riemann repose sur les mêmes principes que la physique des actions de contact. Par l'observation, nous apprenons par exemple, que dans un fil conducteur, l'intensité du courant est proportionnelle à la différence de potentiel à l'origine et à l'extrémité du fil (loi d'Ohm). Mais nous savons que les résultats des mesures faites sur un long conducteur quelconque ne vérifient pas exactement cette loi; pourtant ces mesures nous montrent que la loi d'Ohm est vraie pour un fil infiniment petit. C'est ce qu'exprime la formule (Ch. I, p. 64) qui est à la base de la théorie de Maxwell. De l;i loi différentielle, on remonte à la loi intégrale, en faisant l'hypothèse que le fil est-homogène dans toutes ses parties. On procède de même pour la géométrie: le fait essentiel de la géométrie euclidienne est que le carré de la distance de 2 points est une forme quadratique des coordonnées relatives des 2 points. (Théorème de Pythagore.) Si nous regardons ce théorème comme rigoureusement vrai quand les 2 points sont infiniment^ voisins, nous posons ainsi les prémisses de la géométrie riemannienne. En même temps nous sommes dispensés d'une détermination précise du système de coordonnées, puisque le système de l'vlhagore ainsi énoncé est invariant vis-à-vis de n'importe quelle

GÉOMÉTRIE l'.il M wmi-.\m 7!»

transformation <le coordonnées. On saisil bien ainsi la correspondance qu'il y a entre le passage de la physique des actions à distance* à la physique des actions de contact et le passage de la géométrie euclidienne à la géométrie riemannienne; celle-ci est une géométrie qui procède de proche en proche dans ses investigations, celle-là donne immédiatement les lois globales. La géométrie riemannienne est en quelque manière une formulation de la géométrie euclidienne, qui satisfait l'esprit de continuité, mais elle prend par cette formulation un caractère beaucoup plus général. La géométrie euclidienne intégrale a été créée pour l'étude des droites et des plans, ce sont ces problèmes qui l'ont orientée; mais aussitôt qu'on passe à la géométrie infinitésimale, c'est bien la chose la plus naturelle et la plus rationnelle que de poser comme principe essentiel la proposition de Riemann; on n'introduit ainsi aucune complication, et l'on est paré contre toutes les velléités de faire des raisonnements de géométrie globale. Dans l'espace de Riemann. une surface est aussi une multiplicité à deux dimensions que l'on se donne par une représentation paramétrique Xi=X^Uj u2); remplaçons dans la forme fondamentale 12 de l'espace de Riemann, les différentielles . Oxi , </■'■•

ôlll ou,

par leurs valeurs en fonction des du*, alors que le carré de la distance de deux points infiniment voisins sur la surface est une forme quadratique des différentielles dul et d\u (tout comme dans l'espace euclidien, d'ailleurs). Alors qu'avec Euclide l'espace était d'une nature très particulière, puisque plan, avec Riemann la notion d'espace prend toute sa généralité. L'idée de comprendre l'univers par son aspect dans l'infîniment petit, est la raison épistémologique qui anime la physique des actions de contact et la géométrie riemannienne, mais c'est aussi l'âme des autres parties de l'œuvre grandiose que Riemann à conçue, principalement de sa théorie des fonctions d'une variable complexe. La question de la vérité du 5e postulat à laquelle s'est rattaché tout le développement historique que nous avons rapidement esquissé, ne nous paraît plus maintenant que comme une question en quelque sorte fortuite. La vraie connaissance, à laquelle on doit s'élever pour pouvoir s'affranchir du point de vue euclidien, nous a été révélée par Riemann.

Nous avons encore à constater que la géométrie de Bolyai- Lobatschefsky et la géométrie sphérique sont contenues comme cas particuliers dans la géométrie riemannienne aussi bien que la géométrie euclidienne. A cet effet, prenons comme coordonnées d'un [K.int du plan lobatschefskien, les coordonnées (tu, u2) du point image qui lui correspond dans le modèle de Klein, nous obtenons pour la distance ds de deux points infiniment voisins la formule -uivante tirée de (1) , », , , ( i — u- — iïî)(du* -+- du)) -+- (uldiii+ u2da2)2

En comparant avec (10) nous avons une nouvelle confirmation du théorème de Taurinus. La forme métrique fondamentale de l'espace non-euclidien à 3 dimensions s'exprime d'une manière analogue. Si nous pouvons trouver dans l'espace euclidien une surface courbe pour laquelle la formule (13) soit valable pourvu qu'on prenne des coordonnées curvilignes uls u2 convenables, alors la géométrie de Bolyai sera valable sur cette surface. Il existe en effet de telles surfaces, la plus simple est la surface de révolution engendrée par la rotation de la tractrice autour de son asymptote. La tractrice est une courbe plane dont la Fig 5 figure 5 donne à peu près l'allure; elle a

un point de rebroussement et une asymptote, elle est caractérisée géométriquement par la propriété que la longueur de la portion de tangente comprise entre le point de contact et l'asymptote est constante. Sur la surface de révolution qu'on obtient en tournant la courbe autour de l'asymptote, la géométrie non-euclidienne est valable. Ce modèle euclidien a été donné d'abord par Beltrami 5). Il n'est malheureusement pas parfait; en premier lieu il est borné à la géométrie à deux dimensions (du moins sous sa forme intuitive) et ensuite les deux moitiés de la surface séparées par l'arête qu'engendre le point de rebroussement, ne sont chacune qu'une partie du plan non-euclidien. Hilbert a démontré rigoureusement qu'il est impossible de trouver dans l'espace euclidien, une surface privée de singularités, qui réalise un modèle pour tout le plan lobatschefskien 6). Le modèle de Klein présente les mêmes inconvénients. Jusqu'ici nous sommes restés dans le domaine du mathématicien. Une chose est de montrer la non contradiction de la géométrie non euclidienne, une autre est de savoir si dans l'espace réel l'une ou l'autre des géométries est valable. Gauss avait déjà examiné cette nouvelle question ; il mesura, avec un très grand soin, le triangle Inselberg, Brocken, Hoher Hagen (près de Goettingue") : mais la différence de la somme des angles avec 180° fut trouvée inférieure aux erreurs possibles. Lobatschefski conclut de la très faible valeur des parallaxes des étoiles fixes que l'écart entre l'espace réel et un espace euclidien est très faible. Certains philosophes défendent d'autre part l'idée que des observations ou des expériences ne peuvent ni confirmer ni infirmer la validité d'une géométrie plutôt que la validité d'une autre. Par là il faut entendre que pour interpréter et même pour effectuer de telles expériences, il est nécessaire de faire des hypothèses physiques essentielles, comme, par exemple, celle qui est à la base de l'optique géométrique et qui dit que les rayons lumineux sont des droites. Mais nous ne trouvons là qu'une simple confirmation de la remarque faite plus haut que l'ensemble seul de la géométrie et de la physique est susceptible d'une vérification empirique. Des expériences décisives ne sont donc possibles que