II

âxk àxi àxi

(111) Sik = -s-gik E |2 - EiEk

LÉ COAMP KI.ECTHOMAGM : I loi E 5TATIONNAIRB 59

\ un système de charges ponctuelles • •,. >:,. e»,..., correspond l'énergie potentielle :

où /- , A- est la distance de la charge e, à la charge e*. C'est donc dire que le travail virtuel des forces agissant sur les points chargés, pour un déplacement infinitésimal de ceux-ci, est égal à la différentielle « xacte zU. Pour des charges réparties continuement, l'on a :

les deux volumes d'intégration s étendant à tout l'espace; rpp> est la distance des deux points arguments. On peut aussi écrire, en introduisant le potentiel :

or : Q9 = <p. rliv. e

rt par suite de l'équation :

div (cpe) = 9. div e + e. grad ?

et du théorème de Gauss d'après lequel, l'intégrale de div (ce) étendue à tout l'espace est nulle, on a :

(55) — fo-idV = /(e. grad?) <l\ = f | E \hlV

donc :

Cela montre immédiatement que l'énergie a une valeur positive. En revenant aux tensions, on voit qu'elles sont liées (tout comme les tensions des corps élastiques) à une énergie potentielle de tension partout positive ; le siège de l'énergie doit donc être cherché dans le champ. La formule (55) nous en donne une raison satisfaisante, elle montre que l'énergie par unité de volume, liée à la tension, vaut

~-\f\\-\ elle est donc égale à la traction et à la pression qui s'exercent en chaque point suivant les lignes de force et perpendiculairement à celles-ci respectivement. De nouveau, on voit que cette énergie ne dépend que de la grandeur d'état e qui caractérise le champ au point considéré. Donc on peut considérer dans chaque portion du champ, et non plus seulement pour le champ entier, une

énergie potentielle déterminée f —\ E \2dV, l'intégrale s'étendant à

cette portion considérée. Dans la statique, l'énergie totale seule joue un rôle ; ce n'est que lorsque nous aurons à considérer des champs variables que ces dernières considérations trouveront confirmation

60 l'espace euclidien

Dans un champ statique, les charges sur un conducteur se rassemblent sur sa surface extérieure ; à son intérieur le champ est nul. Les équations (51) suffisent pour déterminer le champ électrique dans l'espace vide, dans « l'éther ». S'il se trouve des diélectriques dans le champ, il faut avoir égard au phénomène de la polarisation électrique.

Deux charges + e et — e attachées respectivement aux points Px et P2 forment un « couple électrique », elles engendrent un champ qui correspond au potentiel

r1 et ra sont les distances de Px et de P2 au point considéré du

champ. Le produit de e par le vecteur P2Pl s'appelle le moment m du couple. Faisons tendre les deux charges vers un point P, suivant une direction déterminée en faisant varier leur valeur, de telle manière que le moment m reste constant; on obtient à la limite le « doublet » de moment m dont le potentiel est :

m a l — graoV - •

Dans un diélectrique, la présence du champ a pour conséquence de créer de tels doublets ; ce phénomène s'appelle la polarisation. Si m est le moment électrique du doublet, par unité de volume, le potentiel au lieu d'être donné par la formule (50) est alors donné par :

(5G) — 4™p = / -i-c/| -4- / m. grady — dY

La théorie électronique rend compte de cela sans peine. Imaginons qu'un atome se compose d'un noyau chargé positivement, et au repos, autour duquel un électron chargé négativement tourne suivant une trajectoire circulaire. En moyenne, pour une révolution complète de l'électron, la charge de l'électron compense celle du noyau et l'atome paraît tout à fait neutre ; mais si un champ électrique agit, il exerce sur l'électron négatif une force, qui modifiera sa trajectoire et en fera une courbe excentrique, une ellipse, par exemple, dont le noyau occupe un des foyers. En moyenne pour des temps qui sont grands vis-à-vis de la période de révolution de l'électron, l'atome se comportera comme un couple électrique au repos ; ou si nous considérons la matière comme continue, nous devons admettre qu'elle est formée de doublets répartis conti nuement. Déjà dans une première approximation et sans plus préciser les notions sur la constitution de la matière, on peut admettre que le moment m par unité de volume est proportionnel au champ m = xe où x est une constante pour le diélectrique considéré. Puisque

div m

div| — | = m grad —

l'équation (56) se transforme en :

Co — div m — 4ttcp = j . dV

pour le champ e = grad ?, on trouvera alors que :

div e = o — div m Introduisons alors le « déplacement électrique »

d = e + m les équations fondamentales s'écrivent alors :

(57) rot e = o, div d = q.

Elles correspondent aux équations (51) ; dans l'une, entre le champ e. dans l'autre, le déplacement d; les charges sont la source du déplacement. A cuise de la relation m = xe, si l'on pose e = l+x on aura la loi matérielle

Les lois se vérifient expérimentalement. L'influence du milieu intermédiaire démontrée par Faraday, et qui se manifeste dans ces lois, a été comme on sait, d'une grande importance pour la théorie des actions de contact. Nous renonçons ici à une extension correspondante des formules pour la tension, l'énergie et la force. Ces considérations prouvent que les lois (57) et (58) ne sont pas des lois rigoureuses, au sens étroit; elles ne sont relatives qu'aux valeurs moyennes ; elles s'appliquent à des espaces qui contiennent un grand nombre d'atomes et pour des temps qui sont grands vis-à-vis de la durée de révolution d'un électron. Ce sont les équations (51) que nous considérons comme les lois exactes. Notre dessein maintenant et plus tard est de nous en tenir aux lois exactes. Mais les lois phénoménologiques (57) et (58) forment le passage né-

saire qui permet d'aboutir à la théorie exacte, quand on part des phénomènes, puisqu'elles sont données directement par l'observation. Celte théorie sera démontrée exacte et \alable, si l'on réussit grâce à une représentation déterminée par la constitution atomique de la matière à obtenir par formation des valeurs moyennes, les lois phénoménologiques. On doit en tirer, si la constitution de l'atome est connue, les valeurs des constantes, attachées à la matière, qui entrent dans ces lois (dans les lois exactes, il n'entre pas de telles constantes).

Puisque les lois matérielles, comme (58) qui n'ont égard qu'à l'influence en bloc de la matière, ne sont certainement pas valables pour des phénomènes qui font intervenir la structure intime de la matière, la théorie phénoménologique a donc forcément des limites, qui découlent d'une théorie de l'atome.

La théorie électronique a obtenu dans toutes ces questions de

62 l'espace euclidien

grands succès, bien qu'elle ne soit pas encore arrivée à des conclusions précises sur la structure intime de l'atome et sur les phénomènes qui se passent à son intérieur.

Le magnétisme paraît n'être qu'une répétition de l'électricité, quand on le considère dans les premières expériences sur les aimants permanents; ici aussi nous trouvons une loi de Coulomb. Mais on s'aperçoit assez vite d'une grande différence : on ne peut pas séparer le magnétisme positif du magnétisme négatif; il n'y a pas de source de magnétisme; il n'y a que des doublets magnétiques; l'aimant se compose d'aimants élémentaires infiniment petits dont chacun porte en soi du magnétisme positif et du magnétisme négatif. La somme de magnétisme dans n'importe quelle portion de matière est toujours nulle ; il n'y a pas de magnétisme vrai. L'explication de ce fait entraîna la découverte par Oersted de l'action magnétique des courants. L'expression quantitative par la loi de Biot et Savart, de cette action conduit ainsi que la loi de Coulomb, à deux lois d'action de contact : si s est la densité du courant électrique, h le champ magnétique, on a :

(59) rot h = S, div h = o.

La deuxième équation exprime qu'il n'existe pas de magnétisme vrai. Les équations (59) forment le pendant des équations (51) si l'on échange div et rot. Ces deux opérations de l'analyse vectorielle se correspondent de la même manière que se correspondent dans l'algèbre vectorielle la multiplication scalaire et la multiplication vectorielle. (En multipliant scalairement un vecteur par le vecteur

/ à d d \ symbolique de la dérivation ( -~— > —— • -r— ] on obt ient la divergence, tandis qu'en multipliant vectoriellement par le même vecteur symbolique, on obtient le rotationnel).

La solution des équations (59) qui s'évanouit à l'infini et qui correspond à une distribution -donnée du courant est :

(60) ï+jfëdti

C'est précisément la loi de Biot et Savart. On peut obtenir cette solution à partir d'un potentiel vecteur f :

h = rotf, - 4tii = — dV.

Enfin la densité de force du champ magnétique s'exprime d'une manière tout à fait analogue à (52)

(61) p = [sh].

Il n'y a aucun doute que nous ayons par ces lois la vérité sur le magnétisme. Elles ne sont pas une répétition des lois de l'électricité, mais elles en forment le pendant ; elles leur correspondent comme le produit vectoriel correspond au produit scalaire. On en peut déduire mathématiquement qu'un petit courant circulaire agit comme

un petit aimant perpendiculaire au plan du courant. On s'est représenté à la suite d'Ampère que l'action magnétique des corps magnétisés est due à des courants moléculaires, la théorie électronique l'explique sans autre par le mouvement des électrons dans l'atome.

La force p du champ magnétique peut aussi s'obtenir à partir de tensions ; le schéma du tenseur magnétique est identique à celui du tenseur électrique, sauf à y remplacer e par h. L'énergie potentielle magnétique est aussi \ | h |- ; ce n'est d'ailleurs que par la théorie des champs variables que ce point-là sera justifié.

D'après (59), on voit que le courant n'a pas de source : div s = o. Le champ du courant peut donc être décomposé en tubes de courant ; par chaque section d'un tube passe le même courant global. Les lois du champ stationnaire ne prouvent aucunement que ce courant soit un courant électrique au sens habituel de ce mot, c'est-à-dire qu'il soit formé d'électricité en mouvement ; mais cela est sans doute le cas. A la lumière de ce fait, la loi div s = 0 montre que l'électricité ne se perd ni ne se crée. Ce n'est que parce que le flux du vecteur courant s à travers une surface fermée est nul, que la densité de l'électricité peut rester invariable en tous lieux — il s'agit ici, bien entendu, de champs stationnaires seulement — sans que l'électricité se crée OU se perde.

Le potentiel vecteur f satisfait à l'équation div f = 0.

s est un vecteur au sens propre, sans aucun doute, il représente le courant électrique. Mais la loi de Biot et Savart montre que h n'est pas un vecteur, c'est un tenseur linéaire du second ordre, dont les composantes, dans n'importe quel système de coordonnées cartésien ou affine, sont Hik- Le potentiel vecteur f est un vecteur véritable. Si les <pi sont ses composantes cova riantes et s1 les composantes contravariantes de la densité du courant (le courant est essentiellement comme la vitesse, un vecteur contravariant) la forme définitive (indépendante du nombre des dimensions) des lois du champ magnétique d'un courant électrique stationnaire est contenue dans le tableau suivant :

/M . N dHki , alla OH* . „ dy an

(62, l.) - h h - — = o, ou bien Ha = t^ —

axi Jxk oxi ôxj. âxi

et

dHik

(62, II;. -— = si

axi,-

Les tensions se déterminent par :

(62, III) S)=HnIll'r — j- If | II \\

où II est la valeur absolue du champ magnétiqut :

| // |- = ilftfcflv*.

Le tenseur est symétrique puisque

64 l'espace euclidien

Les composantes <le la. densité de force sont

(62, IV) Pi = Hiks\

et la densité d'énetgie est — \ 11 \2.

Telles sont les lois du champ dans l'espace vide ; nous les considérons comme dans le cas électrique, comme les lois exactes de la nature. Pour une théorie phénoménologique, il faut encore introduire l'aimantation, de même qu'on a dû introduire plus haut la polarisation; ici à côté de h il faut considérer « l'induction magnétique » b, comme on a dû considérer d à côté de e; les lois du champ deviennent :

rot h = s div b = o

et la loi matérielle est :

(63) b = Mh

la constante \i e«t la perméabilité magnétique. Mais alors que l 'a-tome est polarisé par l'action des forces électriques seulement, et dans la direction du champ lui-même, il forme déjà avant l'action du champ magnétique un aimant élémentaire à cause de la rotation de l'électron (cela est vrai au moins pour les corps para et ferromagnétiques). Mais tous ces aimants élémentaires ont des actions qui se contrarient tant qu'ils "sont distribués au hasard, c'est-à-dire tant que les orbites des électrons sont inclinés au hasard. La force magnétique agissante a pour fonction ici d'orienter tout simplement les doublets existants. Le domaine de validité de l'équation (63) est beaucoup moins étendu que celui de 4 'équation (58). Les aimants permanents et les corps ferro-magnétiques (fer, nickel, cobalt) n'y satisfont pas.

Aux lois précédentes, il faut ajouter dans la théorie phénoménologique la loi d'Ohm

s = oe . (o = conductibilité) qui exprime que le courant est proportionnel à la différence de potentiel dans une substance conductrice donnée. Dans la théorie atomique, à la loi d'Ohm correspond la loi fondamentale de la mécanique, d'après laquelle la force électrique et magnétique agissant sur les électrons « libres » détermine leur mouvement, et par suite, le courant électrique qu'ils engendrent. Par suite des chocs moléculaires les électrons ne prennent pas d'accélération durable, mais leur vitesse a une valeur moyenne limite (tout comme celle d'un corps pesant qui tombe dans un milieu résistant) qu'en première approximation on peut considérer comme proportionnelle à e; la loi d'Ohm est ainsi compréhensible.

Lorsque le courant est engendré par une pile ou par un accumulateur, les réactions chimiques qui s'y déroulent entretiennent aux deux extrémités du conducteur, une différence de potentiel constante, la forer êlectromotrice. Puisque les phénomènes qui se

déroulent dans un générateur de courant ne sont compréhensibles immédiatement que dans une théorie atomique, il est commode, au point de vue phénoménologique, de représenter le générateur par une section d'un circuit fermé, à travers laquelle le potentiel subit un saut, égal à la force électromotrice.

Ce court aperçu de la théorie de Maxwell du champ stationnaire nous suffira pour la suite. Nous n'avons pas naturellement le dessein d'en faire des applications concrètes, ni même de spécifier les unités.

W'eyl. — Temps, Espace, Matière.