CONCEPTION DYNAMIQUE DE LA MÉTRIQUE

lorsqu'on a développé non seulement la géométrie, mais aussi la physique dans l'espace euclidien et dans l'espace général de Riemann. Nous verrons bientôt qu'il est possible très simplement et sans arbitraire, de formuler les lois du champ électromagnétique que nous avions obtenues sous l'hypothèse que l'espace est euclidien, sous l'hypothèse plus générale que l'espace est riemannien. Cela fait, l'expérience peut très bien décider entre les deux théories. Mais pour nous, au point où nous sommes arrivés, la question n'est pas encore en état d'être résolue. Pour terminer, nous formulons encore une fois les principes de la géométrie riemannienne, d'une manière générale, c'est-à-dire sans nous borner à trois dimensions. Un espace riemannien à n dimensions est une multiplicité à n dimensioîis, qui n'est pas quelconque, mais qui est telle qu'une métrique y est attachée par le moyen d'une forme différentielle quadratique définie positive. Les deux lois fondamentales d'après lesquelles cette forme détermine toutes les grandeurs, sont les suivantes (les x% sont des coordonnées quelconques).

1. Si g est le déterminant des coefficients de la forme fondamentale, la grandeur de n'importe quelle portion d'espace est donnée par l'intégrale :

(14) f<J g dxtdXi. . .dxn.

étendue au domaine entier des variables & qui représente la portion en question.

2. Si ()(d,8) est la forme bilinéaire symétrique, correspondant à la forme quadratique fondamentale, des deux éléments linéaires d et 8 issus d'un même point, l'angle 6 qu'ils forment se calcule par :

(15) cosO = ,. Qm .,.

Une multiplicité à m dimensions (l<m</?) plongée dans un tel espace est donnée par une représentation paramétrique :

xi = £c;(a,ur -Um) (i = 1,2, ■■.n).

La forme différentielle fondamentale de cette multiplicité à m dimensions s'obtient en remplaçant dans celle de l'espace considéré les différentielles d#, par leurs valeurs :

, dxi , ô"d , àxi

dxi = — — dut -+- -r— du? -f- • -4- -= — dum

OUi OUi OUm

Notre multiplicité à m dimensions devient aussi à son tour un espace riemannien et la grandeur d'une portion quelconque de son étendue se calculera par l'expression (14) appliquée au nouvel espace. On a ainsi le moyen de déterminer la longueur des courbes, l'aire des surfaces, etc.

§ 12. — Suite. — Conception dynamique de la métrique

Revenons à la théorie des surfaces dans l'espace euclidien. La courbure d'une courbe plane peut être indéfinie par la mesure de

Weyl. — Temps, Espace, Matière. fi

LE COMIM I M MÉTRIQUE

la divergence de ses normales; cette mesure se fait de la manière

suivante :

En un point P de la courbe considérons la normale ; sur cette

normale, imaginons un segment de longueur 1. A partir d'un

point 0 quelconque, menons le vecteur Op équipollent à ce

segment de normale. Le point p est le point image de P sur le cercle

de rayon 1 décrit autour de 0 comme centre. P parcourant un arc

As de la courbe, le point image p parcourt un arc Ao du cercle ;

Ao est l'angle des deux normales à la courbe aux deux extrémités

A<t de l'arc As. La limite du quotient — pour un arc As qui contient le

point P lorsque As tend vers zéro est la courbure de la courbe en P.

Gauss définit d'une manière analogue la courbure d'une surface comme la mesure de la divergence de ses normales. Au lieu du cercle de rayon 1, il faut considérer la sphère de rayon 1 centrée en un point quelconque 0; par une représentalion analogue à la précédente, l'équipollence des normales, un élé-

Pig. 6

on fait correspondre, par

ment dw de la sphère à un élément de surface do, dw est l'angle

solide que les normales à do forment quand on leur donne une

dw même origine. Le rapport — (pris bien entendu à la limite) est la

courbure de Gauss. Gauss découvrit que cette courbure est'parfaitement déterminée par des mesures faites sur la surface elle-même, et qu'elle peut être calculée au moyen d'une expression construite avec les coefficients de la foune fondamentale et leurs dérivées jusqu'au deuxième ordre. Par suite, la courbure reste invariable, si l'on déforme la surface sans l'étendre ni la déchirer. C'était donc démontrer que la courbure est un invariant différentiel de la forme différentielle quadratique binaire attaché à la surface ; c'est-à-dire une expression formée avec les coefficients de la forme de telle manière que, pour deux formes différentielles qui passent de l'une à l'autre par une transformation des variables (et pour des couples d'arguments qui se correspondent dans la transformation), elle possède la même valeur. Riemann réussit à étendre la notion de courbure à des formes différentielles quadratiques de plusieurs variables : il montra que l'on n'a plus à faire à un scalaire, mais à un tenseur. (Nous nous en occuperons au § 15.) Plus précisément, il faut considérer dans un espace riemannien en chaque point et dans chaque direction de surfaces, une courbure que ces éléments déterminent. L'espace euclidien est caractérisé par une courbure nulle partout et