CONCEPTION DYNAMIQUE DE LA METRIQUE

dans toutes les directions. Pour la géométrie de Bolyai-Lobatsclu l>k> comme pour la géométrie sphérique, cette courbure possède une valeur constante a indépendante du lieu et de la direction de surface; a est positif pour la géométrie sphérique, négatif pour la géométrie de Botyai (en choisissant l'unité de longueur convenablement, on peut faire a=±l). Si un espace à n dimensions a une courbure constante a, sa forme fondamentale prend l'aspect :

i -ha

Sx' ) . 2^' ~ a ( ^jx'dx'

i -+- a 2jx1

moyennant un choix convenable des coordonnées Xi. Si l'espace est partout homogène, sa courbure doit être une constante et par suite sa forme métrique a l'aspect indiqué ; un tel espace est nécessairement euclidien, sphérique ou lobatschefskien. Dans ces conditions, non seulement les éléments linéaires ont une existence indé pendante du lieu et de la direction, mais encore une figure quelconque, de grandeur finie, peut se déplacer d'un point à un autre en restant congruente à elle-même, c'est-à-dire sans que les rapports de mesure de ses parties soient altérés. Nous revenons ainsi à la notion de congruence, de laquelle nos considérations étaient parties (§ 1). Parmi les trois cas possibles, l'euclidien est caractérisé par le fait qu'à l'intérieur du groupe des transformations congruentes, on peut distinguer le groupe des translations par les propriétés particulières analysées au paragraphe premier. Les faits que nous venons de rappeler ont été brièvement indiqués par Riemann dans la thèse mentionnée, et plus longuement développés par Christoffel, Lipschitz, Helmholtz et Sophus Lie (7).

L'espace est la forme des phénomènes, et il est nécessairement homogène, aussi loin qu'il s'étende. Il semble donc que dans l'immense ensemble des géométries dont Riemann nous a montré la possibilité, il faille n'en retenir que trois et laisser toutes les autres de côté : parturiunt montes, nascetur ridiculus mus! Riemann pensait autrement et les derniers mots de sa thèse nous le prouvent. Mais ses contemporains ne pouvaient les comprendre et ils n'ont pas été entendus (seuls les écrits de W. K. Clifford nous en donnent un solitaire écho). Ce n'est qu'aujourd'hui, après qu'Einstein nous a ouvert les yeux par la théorie de la gravitation, que nous voyons ce qui se cache vraiment là-dessous. Pour bien le comprendre, remarquons d'abord que Riemann oppose les multiplicités discrètes formées d'éléments isolés, aux multiplicités continues. La mesure d'une partie quelconque d'une multiplicité discrète est donnée par le nombre des éléments qu'elle contient. Ainsi une multiplicité discrète porte le principe de sa métrique, en soi a priori, comme Riemann le dit. Il poursuit : « La question de la validité des hypothèses de la géométrie dans l'infiniment petit est liée avec la question du principe intime des rapports métriques dans l'espace. Dans cet'e

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dernière question, que l'on peut bien encore regarder comme appartenant à la doctrine de l'espace, on trouve l'application de la remarque précédente, que, dans une variété discrète, le principe des rapports métriques est déjà contenu dans le concept de cette variété, tandis que dans une variété continue, ce principe doit venir d'ailleurs. Il faut donc, ou que la réalité sur laquelle est fondé l'espace forme une variété discrète, ou que le fondement des rapports métriques soit cherché en dehors de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui.

« La réponse à ces questions ne peut s'obtenir qu'en partant de la conception des phénomènes, vérifiée jusqu'ici par l'expérience, et que Newton a prise pour base, et en apportant à cette conception les modifications successives exigées par les faits qu'elle ne peut pas expliquer. Des recherches partant de concepts généraux, comme l'étude que nous venons de faire, ne peuvent avoir d'autre utilité que d'empêcher que ce travail ne soit entravé par des vues trop étroites, et que le progrès dans la connaissance de la dépendance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés traditionnels ».

« Ceci nous conduit dans le domaine d'une autre science, dans le domaine de la physique où l'objet auquel est destiné ce travail ne nous permet pas de pénétrer aujourd'hui* ».

Faisons abstraction de la première hypothèse, qu'il se puisse que « la réalité sur laquelle est fondé l'espace forme une variété discrète » quoique nous ne voulions pas prétendre par là que peut-être un jour la solution définitive du problème de l'espace ne se trouve pas dans cette partie de l'alternative; la théorie des quanta nous empêche d'ailleurs de renoncer à cette manière de voir; mais pour l'instant, laissons-la de côté et cherchons à pénétrer le sens de la 2e hypothèse. Riemann y nie que la métrique de l'espace soit indépendante des phénomènes physiques qui se déroulent dans son sein, et qu'elle soit fixée dès l'abord, de telle sorte qu'alors le réel entre dans l'espace comme en une maison locative ; il affirme plutôt, contrairement à lia croyance habituelle, que l'espace en soi n'est pas autre chose qu'une multiplicité tridimensionnelle amorphe et qïie c'est le contenu matériel qui le remplit qui lui donne sa forme et détermine ses rapports de mesure. Le problème est alors à résoudre qui consiste à trouver suivant quelles lois cette détermination se fait; la forme métrique fondamentale changera au cours du temps, comme la matière change dans l'univers. La possibilité du changement de lieu d'un corps sans altération de ses rapports métriques est retrouvée si le corps entraîne dans son mouvement le « champ métrique » qu'il engendre; de même une masse qui sous l'influence d'un champ de force créé par elle, a pris une figure d'équilibre, se déformerait si l'on pouvait fixer le champ de force tout en déplaçant la masse, mais en fait conserve sa forme dans un

* Riemann. Œuvres, trad. Laugel, Paris, 1898, p. 297.