CONCEPTION DYNAMIQUE DB LA MÉTRIQUE

mouvement suffisamment lent puisqu'elle entraine avec elle le champ de force qu'elle engendre. Nous préciserons l'idée hardie de Riemann et nous montrerons que si cette manière de voir est judicieuse, deux portions quelconques d'espace qui peuvent passer de l'une à l'autre par une déformation continue, doivent être considérées comme congruentes au sens que nous avons donné à ce mot dans le développement des principes, puisque la même quantité de matière remplit aussi bien l'une des portions que l'autre. Pour simplifier notre analyse, nous supposerons que la matière peut être décrite au moyen de grandeurs scalaires seulement : densité de masse, densité de charge, etc. Fixons un instant du temps pour lequel la densité de charge, par exemple, est une fonction q = / (xlt x2, x3) bien déterminée des coordonnées Xt d'un certain système, et supposons que dans un autre système x* elle soit une autre fonction ■f*(x*x'ix*).

Faisons d'abord une remarque. Les débutants sont souvent dans l'embarras parce qu'ils ne font pas attention que dans les écrits mathématiques, on utilise en général les lettres pour désigner des fonctions et que dans les mémoires de physique ou de physique mathématique, ces lettres désignent des grandeurs. Ainsi on emploie en thermodynamique une lettre déterminée E par exemple pour désigner l'énergie d'un gaz, on emploie la même lettre si on la considère comme fonction de la pression p et de la température 6, ou comme fonction du volume v ou de la température 6. Mais le mathématicien utilise deux signes différents :

Les dérivées partielles — r— , — — qui ont des significations diffé-

renies sont désignées pourtant par le signe commun — — dans

les livres de physique; mais on doit alors indiquer au moyen d'une indice (comme l'a fait Boltzmann) ou de quelques mots ajoutés dans le texte, que dans un cas la dérivation se fait en laissant p constant, et dans l'autre en laissant v constant. Le symbolisme mathématique est univoque sans qu'il soit nécessaire de faire de telles additions*. Nous imaginerons ensuite, bien que les choses soient plus compliquées, une optique très simple dont la loi fondamentale dit : le rayon lumineux qui part d'un point M pour aboutir à un observateur <n /' est une ligne « géodésique », c'est celle qui, parmi toutes les courbes joignant M à P, a la plus petite longueur; nous faisons abstraction de la vitesse finie de propagation de la lumière. Nous imaginons encore que l'œil soit un point qui perçoit immédiatement l'angle 0, défini par (15) entre les rayons Lumineux;

* Bien entendu, nous ne faisons pas ici une critique des notations' physiques; elles sont conformes à l'esprit de la physique puisque c'est sur des grandeurs que celle-ci opère.

86 LE CONTIM l M MÉTRIQUE

l'œil a donc une image des objets extérieurs qui ne se construit qu'avec des directions (nous ignorons les qualités de la couleur). Non seulement l'action des choses physiques les unes sur les autres, mais ;iussi les actions psychophysiques d'échange sont soumises à la loi de la continuité : la direction dans laquelle nous percevons des objets n'est pas déterminée par le lieu où ils se trouvent, mais bien par la direction des rayons lumineux qui, arrivant d'eux, atteignent la rétine, donc c'est l'état du champ optique dans le voisinage du corps qui paraît donner du monde une connaissance objective. Dire qu'une portion de matière G est la même qu'une portion G', c'est dire qu'à tout point P qui voit G, on peut faire correspondre un point P' qui voit G' (et inversement) de manière que l'image qu'il a de G' soit la même que l'image que P a de G (en entendant le mot image avec le sens bien précis que nos hypothèses entraînent). Soit un système déterminé de coordonnées Xi ; les grandeurs scalaires qui caractérisent l'état des corps, comme la densité électrique q sont des fonctions bien déterminées

q = j(x1x2x3), soit de plus

^gikdxidxk,

la forme métrique fondamentale, où les guc sont des fonctions déterminées de xx, x2, x3. Imaginons encore une représentation continue de l'espace sur lui-même, qui fasse correspondre un point P' à un point P dans le système utilisé, soient :

les coordonnées de deux points et (16) x\ =<pi(x1x2x3).

les équations de la transformation ; par elles, une portion S de l'espace se transforme en une portion Sf ; nous allons montrer que S' est congruent à S au sens qu'on a donné de ce mot, si nous adoptons la manière de voir de Riemann. Utilisons à cet effet un deuxième système de coordonnées dans lequel le point P a pour coordonnées les nombres #'-, déterminés par (16); ces formules (16) sont donc les formules de transformation. L'ensemble à trois variables des valeurs de x' qui représente S est identique à celui des valeurs des x qui représente S'. Un point quelconque P a en x1 les mêmes coordonnées que P' en x. Imaginons maintenant l'espace rempli d'une deuxième manière par de la matière ; et supposons les grandeurs scalaires qui caractérisent le nouvel état, données par les formules

p = Jlxlx'zX'z) au point P.

Si la détermination métrique de l'espace est donnée indépendamment de la matière, la forme métrique fondamentale sera comme pour la première configuration matérielle, l'expression :