CONCEPTION DYNAMIQUE DE I \ MÉTRIQUE

2jjikdxidxk =^g'lii{x'ixx'i)(lx'tilx'i,- ;

où l'on a effectué dans le second membre la transformation de coordonnées. Mais si les rapports de mesure sont déterminés par le contenu matériel — et nous voulons admettre maintenant avec Riemann, que cela soit bien ainsi — alors la forme métrique s'écrit, dans le deuxième système

£fiik(x\x'tx't <-lx'idxk.

puisque cette deuxième distribution s'exprime avec les x', comme la première avec les x. D'après nos principes d'optique géométrique l'aspect du domaine S1 dans la première configuration sera pour un observateur en P', le même qu'un observateur en P observera en S avec la deuxième configuration.

Le simple fait que je puis pétrir une sphère de plâtre dans ma main, de façon à lui donner une forme tout à fait quelconque, paraît être en contradiction avec le point de vue de Riemann. Cela n'est pourtant pas probant ; car si Riemann a raison, une toute autre déformation de la structure atomique du plâtre et aussi un bouleversement de toutes les masses dans l'univers seront nécessaires, entre autres, afin que l'aspect de l'objet comprimé paraisse sphérique à n'importe quel observateur. La raison en est qu'un aspect visuel n'est pas attaché à une portion d'espace en soi, mais bien que cet aspect résulte de la configuration matérielle de l'univers, à tel point qu'il peut être quelconque moyennant une distribution convenable de la matière. Par suite, on peut aussi évoquer le même aspect visuel en deux portions différentes de l'espace par une distribution ad hoc de la matière. Einstein a fait obtenir la victoire aux idées de Riemann (sans d'ailleurs avoir été guidé par Riemann) ; mais en examinant le point de vue einsteinien, on voit qu'une théorie valide ne pouvait confirmer ces idées qu'après que le temps fut rattaché comme une quatrième coordonnée aux trois coordonnées spatiales, comme le montre la théorie de la relativité restreinte. Puisque la notion de « congruence » d'après Riemann ne conduit à aucune métrique en général, on doit en effet chercher ailleurs « le principe intime des rapports métriques ». Il réside d'après Einstein dans les forces de la gravitation. Dans la théorie d'Einstein (chap. IV), les coefficients gnc de la forme métrique jouent le même rôle que le potentiel dans la théorie newtonienne ; les lois d'après lesquelles la matière remplissant l'espace détermine la métrique, sont les lois de la gravitation. Le champ de gravitation exerce sur les rayons lumineux et sur les corps « solides » que nous prenons comme étalons de mesure, une action telle que >i nous utilisons les rayons lumineux et les étalons pour mesurer des objets à la manière habituelle, il en résulte une métrique qui ne s'écarte que très peu de la métrique euclidienne. Mais les rapports métriques ne proviennent

88 LE cnMiM i m MBTIUQI E

pas d'un espace considéré comme forme des phénomènes, mais ils naissent du calcul des modifications physiques des étalons et des rayons lumineux déterminés par le champ de gravitation.

Les résultats de Hiemann engagèrent les mathématiciens à édifier la construction formelle du système géométrique qui en dérive : Christoffel, Ricci, Levi-Civita en turent les premiers et les plus importants protagonistes.8) Mais le vrai continuateur de Riemann, celui dont le génie mathématique et physique est du même ordre que le génie de l'illustre géomètre, celui qui accomplit, soixante-dix ans après, les prophéties que Riemann avait énoncées avec les précisions que nous venons de rappeler, c'est Einstein.

Par un examen des principes mathématiques, examen que les conséquences de la théorie d'Einstein rendaient nécessaire, l'auteur du présent livre a fait néanmoins la remarque que la géométrie riemannienne n'a réalisé qu'une partie de l'idéal d'une géométrie infinitésimale parfaite; il y a encore un dernier élément de géométrie globale à éliminer, qui provient d'ailleurs toujours de son passi' euclidien. En effet, Riemann suppose que l'on peut comparer l'une à l'autre les mesures de deux éléments linéaires situés à deux endroits différents ; la possibilité d'une telle comparaison à distance ne peut être conditionnée dans une véritable géométrie infinitésimale ; il n'y a d'admissible que le principe qui rend possible le transport d'un étalon de longueur d'un point à un point infiniment voisin.

Ces remarque^ préliminaires étant faites, nous arrivons au développement systématique de la géométrie infinitésimale pure,9) il se fera en trois étapes : le continu ainorplie, la multiplicité à connexion affine, l'espace métrique. Nous croyons que cette théorie a atteint son but et qu'elle a acquis sa forme définitive ; nous croyons que c'est une géométrie véritable, une doctrine de l'espace lui-même, et non pas seulement comme la géométrie d'Euclide, et presque tout ce qu'on a coutume d'appeler géométrie, une doctrine des formes possibles dans l'espace.

§ 13. — Tenseurs et densités tensorielles dans une multiplicité

quelconque.

Multiplicité ù n dimensions. — Conformément au but très général que nous poursuivons, nous supposerons que l'espace est un continuum à n dimensions. On peut par suite le représenter au

moyen de n coordonnées xlt x2, xn dont chacune prend une

valeur bien déterminée en chaque point de l'espace ; des points différents correspondent à des systèmes de valeurs différents pour les coordonnées. Si xlt x2 xn est un deuxième système de coordonnées, il doit y avoir entre les cordonnées x et x d'un même point des relations :

Il \SK1 HS ET DENSIII- I INSORIELLES 89

(17) xi = fi(x1x2...~xn) (i = l, 2, ..., n),

qui s'expriment au moyen de certaines fonctions /, desquelles nous supposerons qu'elles sont continues et qu'elles possèdent des dérivées continues

k dxk dont le déterminant n'est pas nul. Cette dernière condition est nécessaire et suffisante, pour que la géométrie affine soit valable dans l'infiniment petit, c'est-à-dire afin qu'il y ait des relations linéaires résolubles entre les différentielles des coordonnées dans les deux systèmes :

(18) dxl=^^'kdxk

Nous admettrons l'existence et la continuité des dérivées d'ordre supérieur là où elles se présenteront au cours de nos investigations. Dans chaque cas, la notion de fonction du lieu, continue et dérivable a un sens invariant indépendant du système de coordonnées; les coordonnées elles-mêmes sont de telles fonctions.

Notion du tenseur. — Les coordonnées relatives dxi d'un point P'(Xi + dxi) infiniment voisin d'un point P(x,) sont les composantes d'un élément linéaire en P ou d'une translation infinitésimale

PP' de P. Par le passage d'un système de coordonnées à un autre, les formules (18) transforment ces composantes, les <xk sont les valeurs des dérivées au point P. Les translations infinitésimales jouent le même rôle pour le développement du calcul tensoriel que celui que jouent les translations finies pour l'édification de la géométrie affine (Ch. I). Il est essentiel de remarquer que dans le ca^ qui nous occupe une translation est liée essentiellement à un point P; dire que deux translations en deux points différents sont égales ou différentes n'a aucun sens. On pourrait dire peut-être que deux translations infinitésimales en deux points différents sont égales si elles ont les mêmes composantes, mais parce que les a( ne sont pas des constantes en général, il s'ensuivrait que cette égalité ayant lieu dans un système de coordonnées n'aurait plus lieu dans un autre. C'est pourquoi il n'est possible de parler que de translations d'un point et non plus comme dans le chapitre I de translation de tout l'espace, et par suite, on' ne parlera pas simplement d'un vecteur ou d'un tenseur, mais bien d'un vecteur ou d'un tenseur en un point P. Un tenseur en P est une forme linéaire de plusieurs séries de variables dépendant du système de coordonnées uiquel on rapporte le m usinage de P; cette dépendance est telle que les expressions de la forme linéaire dans deux systèmes de coordonnées x et x, passent de l'une à l'autre, quand on transforme certaines séries de variables (celles dont l'indice est supérieur) d'une manière cogrédiente. et les autres séries (celles dont l'indice est inférieur) d'une manière contragrédiente à la façon dont se transforment les dxi ; c'est-à-dire suivant les relations :

$' = \VfcÇ*, pour les premières,

£,• = y^i^, pour les secondes.

Les a* sont les valeurs des dérivées au point P. Les coefficients de la forme linéaire sont dits les composantes du tenseur dans le système de coordonnées choisi, celles-ci sont covariantes pour les indices qui correspondent aux variables affectées d'indices supérieurs, contra variantes pour les autres indices. La possibilité de la notion de tenseur repose sur le fait que le passage d'un système de coordonnées à un autre s'exprime pour les différentielles par des formules de transformation linéaires. Il est fait ici application de l'idée mathématique extrêmement féconde qui consiste à « linéariser » un problème par le passage à l'infiniment petit. Toute l'algèbre tensorielle, dans les opérations de laquelle n'entrent que des tenseurs attachés au même point, est identique à celle qu'on a développée au chapitre I. Nous appelons aussi vecteurs les tenseurs du premier ordre. Il y a des vecteurs covariants et des vecteurs contravariants ; là où nous dirons vecteur sans plus de précision, il faudra toujours entendre vecteur contra variant. Parmi les grandeurs infiniment petites de cette espèce, il faut distinguer les éléments linéaires en P. A chaque système de coordonnées sont attachés n « vecteurs unitaires » ei en P, ce sont ceux qui possèdent les composantes :

dans le système choisi. Un vecteur x en P dont les composantes sont %* peut s'écrire

x = H1e1 + E2e2 + ... + inen.

Les vecteurs unitaires e* d'un autre système x sont liés aux anciens par les équations :

La possibilité du passage des composantes covariantes aux composantes contravariantes n'est évidemment pas en question ici. Deux éléments de ligne, linéairement indépendants, aux composantes dxi et oxj déterminent un élément de surface aux composantes ;

dxfixic — dx^Xi = Ax,fc,

trois éléments de ligne déterminent de la même façon un élément d'espace à trois dimensions, etc. Des formes différentielles invariantes qui font correspondre un nombre à un élément linéaire arbitraire, ou à un élément de surface, et cela linéairement, sont des « tenseurs linéaires » (= tenseurs covariants symétriques gau-

ii NSBURS ET DBNSITÉ8 l I \SHHI [ELLES 91

ches.) La convention passée plus haut sur l'abolition du signe S est maintenue.

Courbe. — Si à chaque valeur d'un paramèlre s on fait correspondre un point P = P(s), d'une façon continue. s désignant le temps, on a la représentation d'un « mouvement » ; à défaut d'une autre expression nous emploierons ce nom, même si le paramètre n'a pas la signification que nous venons de dire. En utilisant un système de coordonnées déterminé, nous trouvons une représentation

(20) Xi = Xi(s)

du mouvement au moyen de n fonctions continues xi (s) dont nous supposerons encore qu'elles . possèdent des dérivées continues. Quand le paramètre passe de s à s + ds le point P subit une trans-

dx ■ lation de composantes dxi; le quotient — ' =u* donne les composantes d'un vecteur en P qui est la « vitesse »; (20) donne en même temps une représentation paramétrique de la trajectoire du mouvement. Deux mouvements s'effectuent sur une même trajectoire, si l'on pajse de l'un à l'autre par une transformation du paramètre s, s = w(s), w étant une fonction continue, dérivable, et monotone; la courbe parcourue n'est la même que dans ce cas. Les composantes de la vitesse ne sont pas déterminées par la courbe, seuls leurs rapports (qui déterminent la direction de la courbe) sont déterminés.

Analyse tensorielle. — Un champ tensoriel d'une certaine nature est donné dans une portion d'espace, si à chaque point P de cette portion on fait correspondre un tenseur de l'espèce en question attaché à P. Relativement à un système de coordonnées, les composantej du champ tensoriel sont des fonctions déterminées des coordonnées du point P; nous les supposerons continues et à dérivées continues. L'analyse tensorielle développée au chap. I, § 8, ne s'applique pas, sans changements à un continuum quelconque. Pour l'élaboration du procédé général de différentiation, nous utilisions alors des vecteurs arbitraires covariants ou contravariants dont les composantes étaient indépendantes du lieu. Cette condition n'est invariante que vis-à-vis des transformations linéaires, et non pas visà-vis des transformations les plus générales, puisqu 'alors les a^ ne sont pas des constantes. Dans une multiplicité quelconque, on ne peut développer que l'analyse des tenseurs linéaires. D'un champ scalaire, on tire un champ tensoriel linéaire, par la différentiation

d'un champ tensoriel du premier ordre, on tire un champ du second ordre

(22) J,k=-àx-r^r

puis un autre de celui-ci,

dxi< dxk dxi

etc.

En effet, si çp est un champ scalaire donné dans l'espace, et si Xj et Xi sont deux systèmes de coordonnées, le champ scalaire se représente dans l'un et l'autre des systèmes par les relations :

ç = /(Xx, ...xn) = Kx&a ■••«»)• Si l'on forme l'accroissement de ç pour une translation du point argument, il vient

âxi *f Oxi

l'on voit ainsi que les -j- sont les composantes d'un champ tensoriel

du 1er ordre, qui correspond au champ scalaire çp d'une manière invariante par rapport au système de coordonnées. Nous obtenons ainsi un exemple simple pour illustrer la notion de champ de vecteurs; en même temps, on voit que l'opération « grad » est invariante non seulement pour les transformations linéaires de coordonnées, mais pour toutes les transformations, comme nous l'annoncions.

Pour obtenir le champ (22), nous procédons de la manière suivante. Au point P — Poo nous menons les 2 éléments linéaires de composantes dxi et oxi dont les extrémités sont P10 et P01. Nous déplaçons l'élément dx en faisant décrire à son origine le segment PoiPn- Nous appellerons ce déplacement la translation ô. Les composantes dxi subissent alors l'accroissement %dxu

klXi m [xiiP^) — Xi(P0l) j - j Xi(P10) - Xi(P09)\ Echangeons maintenant d et o. Par une translation analogue d de l'élément linéaire Sx le long de P00Plft( l'extrémité décrivant P10P'n, l'accroissement de dxi est

do Xi = | XiiP'^) — Xi(P10)\ - ) Xi(P01) — Xi(P00) J .

par suite :

(24) Bdxi—dBxi = XiiP.^—XiiP' 1X) .

Ce n'est que dans le cas où Pn et P'n coïncident, c'est-à-dire si les deux éléments dx el ojé. par les déplacements respectifs 5 et d, forment un « parallélogramme » infiniment petit, que l'on a :

(25) Zdxi — dSxi = 0.

Nous supposerons qu'il en est ainsi.

Soit maintenant un champ vectoriel covariant aux composantes/», nous formons la variation de l'invariant df = fidxi pour la translation S :

8d/ = Zfidxj +jiMxi échangeons (/ et 8 et soustrayons :

TENSEURS ET DENSITÉS TENSORIELLES (J3

àf = (,5c/ — dB)f = ($jidxt — dfiùXi) + fi(hdxi — rf8xi). cl à cause de l'hypothèse faite :

(26) a/ = zfidxi —dfM = (-—--^r1) d&te*.

Si fou n'aime pas opérer avec des grandeurs infiniment petites, on peut remplacer les différentielles par des dérivées. A chaque couple de valeurs de 2 paramètres s et t (dans un certain voisinage de s = o, t — o), faisons correspondre un point (s, t) de notre multiplicité; les fonctions Xi = Xi (s, t) qui représentent ce « mouvemenl à deux paramètres » s'effectuant sur une surface, seront supposées dérivables deux fois, les secondes dérivées étant ellesmêmes continues. En chaque point (s, t) on peut distinguer 2 vec-

dx: dx; AT . .

leurs vitesses aux composantes yi —j-- JNous pouvons choisir

la correspondance de manière qu'aux valeurs s = o, t = o correspondent le point P00 et que les deux vecteurs vitesses coïncident avec deux vecteurs u*, o* prescrits arbitrairement (il suffit que Xi

d soit fonction linéaire de s et de t) ; d signifiera la dérivation —

d t, et <S la dérivation -rr . Alors :

— dxi • ùt - & dxi dXk i diXi

dJ-Jllh' ■;-Ji;i.'d7~dT^JidldS-

échangeons S et d et soustrayons :

/ àf-, àfk \ dx; dxk

en, A/ = 8d/rf8/ = (^__i),i.

En faisant s = t = o, nous obtenons au point P, les vecteurs arbitraires u et v, et l'invariant qui en dépend.

dxk ax; !

Les relations avec les considérations infinitésimales consistent en ce que nous pouvons définir rigoureusement par cette méthode les parallélogrammes infiniment petits : ce sont ceux qui sont découpés sur la surface a?» = xi (s, t) par les lignes coordonnées s = const; t — const. Ces relations nous font penser au théorème de Stokes. L'invariant linéaire différentiel fidx; est dit intégrable si son intégrale le long d'une courbe fermée (tourbillon intégral) quelconque est nulle (On sait que cela n'est possible que pour une différentielle totale exacte). Imaginons une surface s 'appuyant sur la courbe fermée, et soient Xi = Xi (s, t) sa représentation paramétrique; décomposons-la en parallélogrammes infiniment petits par les lignes coordonnées. Le tourbillon le long de la courbe frontière se ramène au tourbillon pris autour de chaque maille du réseau de la surface, et ce tourbillon est donné par l'expression (27) multipliée par ds dt.

94 LE CONTINUUM METRIQUE

On obtient ainsi une décomposition différentielle du tourbillon intégral, et le tenseur (22) est en chaque endroit la mesure de l'intensité du tourbillon.

De la même manière, on s'élève au tenseur (23). Au lieu du parallélogramme infinitésimal, on aura à utiliser le parallélipipède construit sur les éléments linéaires d, b, S. Indiquons rapidement le calcul

Ofik

(28) h(Jncdx$Xfc) — — dx^Xkbxi -{-Jik'bdxi .?#* -htôxk.dxï).

or fki = — fik la parenthèse est

(29) = fikibdxi. 8 Xk — b&Xi.dXk) .

Si l'on effectue dans (28) les 3 permutations cycliques de d, 8 et b et si l'on additionne, les 6 termes que donnera (29) se détruisent mutuellement à cause des conditions de symétrie (25) et l'on est bien conduit au tenseur (23).

Notion de densité tensorielle. — Soit/$Srfa? un invariant intégral (on écrit dx pour dx1, dx2 .... dxn). 28 est alors une grandeur, qui dépend du système de coordonnées choisi de telle façon que lorsqu'on change celui-ci elle se trouve multipliée par la valeur absolue du déterminant fonctionnel de la transformation. Si nous supposons que cette intégrale mesure la quantité d'une substance qui remplit le domaine d'intégration, 28 est alors la densité de cette substance. Une grandeur de cette espèce sera désignée sous le nom de densité scalaire. C'est une importante notion dont l'introduction se justifie aussi bien que celle du scalaire, et qui d'ailleurs ne s'y réduit pas. D'une manière analogue, nous pouvons parler de densités tensorielles. Une forme linéaire de plusieurs séries de variables, dépendant d'iin système de coordonnées choisi, ces séries étant affectées d'indices soit supérieurs, soit inférieurs, est une densité tensorielle au point P, si l'on obtient l'expression de cette forme dans un nouveau système de coordonnées en soumettant les variables aux transformations (19) et en multipliant le résultat obtenu par la valeur absolue du déterminant fonctionnel

A = val. abs. «.

L'emploi des mots : composantes, covariant, contra variant, symétrique, symétrique gauche, champ, etc.. est analogue à leur emploi pour des tenseurs. Pour autant que les tenseurs et les densités tensorielles ont un sens physique, nous croyons avoir explicité, au moyen de ces deux notions la différence entre les extensions et les intensités : les tenseurs sont les grandeurs d'intensité, les densités tensorielles sont les grandeurs d'extension. Les densités tensorielles covariantes symétriques gauche jouent le même rôle particulier parmi les densités tensorielles que celui que jouent les tenseurs correspondants dans l'ensemble des tenseurs; nous les appellerons aussi des densités tensorielles linéaires.

TENSEURS ET DENSITÉS TENSORIELLES 95

Algèbre des densités tensorielles. — Comme pour les tenseurs nous avons les opérations :

1) Addition de densités de même espèce; multiplication d'une densité par un nombre.

2) Contraction.

3 Multiplication d'une densité tensorielle par un tenseur (et non pas multiplication de deux densités), car par la multiplication de deux densités scalaires, par exemple, on n'obtiendrait pas une nouvelle densité scalaire, mais au contraire une grandeur qui se trouverait multipliée par le carré du jacobien de la transformation quand on changerait de coordonnées. La multiplication d'un tenseur par une densité tensorielle donne toujours une densité tensorielle (dont l'ordre est égal à la somme des ordres des facteurs); par exemple le vecteur contravariant /* et la densité covariante to»* donnent par leur produit une densité tensorielle mixte de 3e ordre dont les composantes sont fVOu', cette formation est invariante.

L'analyse des densités tensorielles ne se laisse fonder dans une multiplicité quelconque que pour des champs linéaires. Elle conduit alors aux processus de divergence

(30) nous permet d'obtenir une densité scalaire à partir d'un champ de densité du 1er ordre et linéaire; (31) part d'un champ linéaire du 2e ordre (tt>** = — tf>w) et crée un champ du 1er. Ces opérations sont indépendantes du système de coordonnées. D'un champ du 1er ordre tt>* qui provient du champ du 2° ordre to'* d'après le procédé (31), l'opération (30) lire un scalaire nul, etc.

L'invariance de (30) se démontre par des considérations basées sur la théorie du mouvement des milieux continus.

Soit en effet £f un champ vectoriel donné; par (32) Xi = Xi + Ç«'8i

on définit une translation infiniment petite des points du milieu continu, par laquelle le point (xi) est transporté au point (#»); le facteur 3/ peut représenter l'élément de temps pendant lequel s'effectue cette déformation. L'excès du déterminant de la transformation

dit

A = sur l'unité est

Oxj

Par ce déplacement une portion G du continuum qui correspond au domaine X des variables x,, est devenue la portion G très peu

96 LE C0NTIN1 l M MÉTRIQUE

différente. Si f est un champ de densité scalaire, que nous imaginerons être la densité de la substance qui remplit G; la quantité de cette substance est alors dans G :

£\(x dx,

celle qui remplit G est :

f\<x^dx = f\{x)Ailx

où dans le 2e membre on suppose Xi remplacé par sa valeur (32).

(Nous déplaçons ici le volume vers la substance; on pourrait bien

entendu déplacer la substance dans le volume; alors fV serait

l'intensité du courant de déplacement). Pour l'accroissement de

substance que la portion d'espace G a gagné, on trouve l'intégrale

étendue à X de la quantité

considérée comme fonction des Xi) or cette expression est :

umA ,)-[^-i;x,] = 4,||^£ç,] = s,^|..

Par suite, nous établissons bien par la formule

dxi

une dépendance invariante entre le? diux densités scalaires f et m et le champ vectoriel contravariant |\ Or, chaque densité vectorielle tt) 4 se laisse représenter par un produit \%* ; il suffit en effet de définir dans un système de coordonnées déterminé une densité scalaire f et un champ de vecteurs %* par f = 1., i* = in4, alors on aura pour tous les systèmes tt)''= f|* ; nous avons alors bien obtenu (30) d'une manière invariante.

Pour terminer ces réflexions, nous ajouterons des considérations sur le principe d'intégration par parties qui nous sera souvent utile dans la suite. Si les fonctions tt>* s'évanouissent à la limite d'un domaine G, on aura

- — dx = o.

dxi

car cette intégrale multipliée par 5/ esl la variation que le « volume » fdx de ce domaine subit par une déformation infinitésimale, dont les composantes sont St.tD*.

Le procédé de divergence (30) étant bien invariant, on s'élève aux procédés d'ordre supérieur comme (31). On s'aide pour cela d'un

champ de vecteurs covariants fi, dérivant d'un potentiel /, /» = —-;

Cl OC :

on forme la densité tensorielle de premier ordre \vikfi, dont la divergence est :

dx,, ' ' dxk.