MULTIPLICITÉ A CONNEXION AFFINE

En remarquant que les fi peuvent prendre en un point P des valeurs quelconques, on termine la démonstration. De la même manière, on poursuit les calculs pour les ordres supérieurs.

§ 14. — Multiplicité à connexion affine.

Notion de la connexion affine. — Nous disons que le point P d'une multiplicité est en connexion affine avec son voisinage, si l'on sait dans quel vecteur en P' un vecteur quelconque en P s'est transformé quand on l'a déplacé parallèlement à lui-même de P au point infinitésimal voisin P'. Pour définir cette notion de déplacement parallèle 10) nous allons lui attribuer toutes les propriétés que nous lui avons reconnues en géométrie affine (Ch. I), ni plus, ni moins, c'est-à-dire que nous postulons : Il y a un système de coordonnées (pour le voisinage de P) au moyen duquel les composantes d'un vecteur quelconque de P ne sont pas altérées quand ce vecteur subit un déplacemejit parallèle infinitésimal.

Cette condition caractérise le déplacement parallèle ; elle en fait une propagation, dont nous pouvons dire avec raison qu'elle laisse les vecteurs inaltérés. Un tel système de coordonnées est dit géodésique en P. Qu'arrive-t-il pour un système de coordonnées x quelconques? Soient x^. les coordonnées de P dans ce système, x^ + dxi celles de P', %* les composantes d'un vecteur en P, %l+d%* les composantes du même vecteur quand on l'a déplacé parallèlement à lui-même de P en P' [bien entendu ces composantes sont relatives au système (x)]. Tout d'abord comme le déplacement parallèle de P en P' réalise une représentation affine ou linéaire de l'ensemble des vecteurs en P dans l'ensemble des vecteurs en P', il faut que les dîj' s'expriment linéairement en les ll :

(33) dS* = — dTj.£r.

Ensuite les rfy). doivent être des formes différentielles linéaires des

dx ' *

(33*0 dYr = r'rtdxs,

Pour démontrer cela, soient xt un système de coordonnées géodésique en P ; les formules (17) et (18) règlent la transformation des x en les x, et vice-versa. A cause de la nature géodésique du système x, par le déplacement parallèle, |* est altéré de

dV = r/aj.f'-) = (/*;.. jp.

Supposons que les V soient les composantes &Ej d'un élément linéaire en P, on a d'après cela :

— dv'rtXr = . . oxrdx, âxrdx,

Weyl. — Temps. Espace, Malii're. \

où les dérivées secondes sont prises en P, bien entendu. Notre affirmation est démontrée et la forme symétrique bilinéaire

ttèXrdX,

se tire de

à'fi - - (34) ■ JL lxrdxs

OXdrXs

par la transformation (18). Les conséquences en découlent immédiatement. Soient en effet r|.A. des nombres donnés, quelconques à cela près qu'ils satisfont aux conditions de symétrie (33"), et définissons la connexion affine par (33) et (33') les formules de transformation

Xi — Xi = Xi — jjl rgXrXg

définissent alors un système de coordonnées géodésique xu en P puisque pour ce système, le passage (34) peut s'effectuer, car pour notre transformation, on a en P :

Xi = o, dxi = dxfci = 8|), ! = - r;.,.

OXrOXs

Les formules qui donnent les composantes T*rs lorsqu'on passe d'an système à un autre s'obtiennent facilement en s 'inspirant des considérations précédentes ; nous n'en ferons d'ailleurs aucun usage. Les P ne sont pas les composantes d'un tenseur (contra variant en i covariant en r et s) en P ; elles possèdent bien ce caractère pour des transformations linéaires ; mais elles le perdent pour des transformations quelconques. En effet, dans un système de coordonnées géodésique, elles sont nulles. Cependant chaque modification virtuelle de la connexion affine [!"*.,] peut être, elle, un tenseur, car :

[â&\ = rry^.

est la différence des deux vecteurs qui résultent de deux propagations différemment effectuées du vecteur % de P en P'.

Le déplacement parallèle d'un vecteur covariant Çj du point P au point P' se définit univoquement par la condition que le déplacement simultané de |c et d'un vecteur contra variant V n'altère pas le produit invariant %i rf :

d{W) = dW-t-Zrdrf = (rfÇ,- - dtf1r)ï]'' = o par suite :

<33) dli=2idfikr.

Un champ de vecteur £* sera dit stationnairc en P, si les vecteurs aux points voisins P', proviennent du vecteur en P par déplacement parallèle, c'est-à-dire si les équations aux différentielles totales

t dï rf$« -+- dffi' = o f ou — - -+■ !"£$' — o

sont satisfaites. Il y a évidemment un tel champ ayant en P des composantes données d'avance (nous utiliserons cette remarque