MULTIPLICITÉ A CONNEXION AFFINE
plus loin). La même notion peut s'étendre aux champs covariants. Nous nous occuperons dorénavant des multiplicités affines, c'est-àdire des multiplicités pour lesquelles tous les points sont en connexion affine avec leur voisinage. Dans un système de coordonnées quelconque les rirs sont les fonctions continues des coordonnées x» du point P. Par un choix approprié du système, les r;.s peuvent être amenées à s'annuler toutes en un point arbitrairement choisi P, mais il est en général impossible de les annuler toutes, pour tous les points de la multiplicité. Il n'y a aucune différence entre les points de la multiplicité, relativement à la nature de leur connexion affine avec leur voisinage ; à cet égard la multiplicité eet homogène. Il n'y a pas non plus de différences à faire entre les diverses multiplicités, suivant la nature de la connexion. La condition de laquelle nous sommes partis ne permet précisément qu'une seule espèce déterminée de connexion affine.
i Lignes géodésiques. — Si un point mobile transporte avec lui un vecteur variable à volonté, à chaque valeur du paramètre s qui représente le temps, nous n'avons pas seulement à considérer un point
P(s) : Xi = Xi(s) dans la multiplicité, mais encore un vecteur en ce point dont les composantes v* sont fonctions de s. Le vecteur est stationnaire à l'instant s, si
' dv* „. dx&
Dans un déplacement quelconque le premier membre V1 de (36) constitue la composante i d'un vecteur en (s) attaché au mouvement d'une manière indépendante du système de coordonnées; il mesure la variation du vecteur v* en ce point pendant l'unité de temps. Car en passant de P(s) en P'(s + ds) le vecteur v* en P devient
V h — — ds ds
en P'. Déplaçons alors v{ d'une manière invariable de P en P'; nous obtenons :
v' -+- 8u' = v' — r^v'dx^ ;
la différence de ces deux vecteurs en P' représente bien la variation de vi dans le temps ds, elle a pour composantes :
dv{ . •. 1 „.i — ds — 8i>« = V'ds .
ds
On peut encore montrer le caractère invariant du vecteur V de la manière suivante, qui est purement analytique : Prenons un vecteur covariant %i arbitraire en P(s), formons la variation de l'invariant liU* dans le passage de s à s + ds, en supposant que le vecteur & ne soit pas altéré, alors :
ds ~Kl '
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Si V est nul quel que soit s, le vecteur v se déplace sans changer avec le point P le long de la courbe.
Dans chaque mouvement, un vecteur intéressant à considérer et
qui se déplace avec le point mobile, c'est la vitesse u' = — ,- dans
ce cas particulier, le vecteur V se représentera par : ,.. du* n . d'Xi dxadx*
ds ds* ds ds
et nous l'appellerons l'accélération!, puisqu'il mesure la variation de la vitesse par unité de temps. Un mouvement dans lequel la vitesse reste constamment invariable est dit une translation ; la trajectoire d'une translation est donc une courbe qui conserve sa direction, c'est une ligne géodésique ou une ligne droite. Conformément à l'interprétation de la droite par translation (voir Chap. I, § I), l'essence de la ligne droite réside dans cette dernière propriété. L'analyse des tenseurs et des densités tensorielles se construit dans une multiplicité affine tout aussi aisément et complètement que dans la géométrie linéaire. Soient, par exemple, /£ les composantes, covariantes en i et contravariantes en kl d'un champ tensoriel de deuxième ordre; considérons en P deux vecteurs quelconques; l'un contravariant %l l'autre covariant r\i; soit l'invariant :
et formons sa variation quand | et tj se déplacent parallèlement à eux-mêmes :
d(mk) = M. ï^-f^d^+wd^-
par suite :
dfk A = -h rr.fk . rk.fr
sont les composantes d'un champ tensoriel du troisième ordre, covariantes en t et l, contravariantes en k et correspondant au champ fik d'une manière absolument indépendante du système de coordonnées. Les termes supplémentaires sont caractéristiques, ils dépendent des composantes de la connexion affine et nous apprendrons à y reconnaître avec Einstein l'influence du champ de gravitation. Le procédé de différentiation ainsi généralisé peut s'étendre à un tenseur quelconque. Comme dans l'analyse tensorielle, l'opérateur « grad » est l'opérateur fondamental, de même dans l'analyse des densités tensorielles, l'opérateur « div » est l'opérateur essentiel. Il engendre en effet des opérateurs analogues qui peuvent s'appliquer aux densités de tous ordres. Veut-on, par exemple, former la divergence d'une densité mixte tt)*; du deuxième ordre : on prend un champ de vecteur V stationnaire en P, et l'on construit la divergence de la densité \*
dlptfi) dï ,. ,. ànff , / r , dur) \
dtk dxk dxk \ àx
