COURBURE

Cette grandeur est une densité scalaire, et par suite, puisque les composantes d'un champ de vecteurs stationnaire en P peuvent prendre des valeurs quelconques,

(3i > foE rttf

(3" dxk r'jtt,r

est une densité covariante du 1er ordre qui correspond à toi par une transformation indépendante du système de coordonnées.

Mais la divergence est une opération qui fait passer d'une densité à une autre d'ordre moindre d'une unité ; il y a une autre opération qui fait passer à une densité tensorielle d'ordre supérieur, c'est la différentiation. Soit s une densité scalaire, reprenons un champ vectoriel £* stationnaire et formons la divergence de 8Ç* â(fô) H\ . W I ds rr\t.

dxi oxi dxi \ oxi }

ci qui montre que

représente une composante d'une densité tensorielle covariante. Pour effectuer la différentiation d'une densité tensorielle d'un ordre quelconque, par exemple tt)ifc, on se sert de deux champs de vecteurs auxiliaires stationnaires en P, £ et r\, et l'on différentie to'-^tu.. Une contraction de la densité tensorielle ainsi obtenue par différentiation ramène à la divergence.

§ 15. — Courbure

Soient P et P', deux points réunis par une courbe; imaginons en P, un vecteur et déplaçons-le parallèlement à lui-même le long de la courbe de P en P' . Les équations (36) qui donnent les composantes inconnues vi du vecteur obtenu en P' n'admettent qu'une solution pour des conditions initiales données. Le transport d'un vecteur, effectué comme il a été dit, n'est donc pas en général intégrable ; c'est-à-dire que le vecteur qu'on obtiendra en P', dépend du chemin le long duquel s'est fait le déplacement. C'est seulement dans le cas très particulier, où l'intégrabilité a lieu que l'on peut parler du même vecteur en deux points P et P' ; ce sont alors deux vecteurs qui passent de l'un à l'autre par un déplacement parallèle le long d'une courbe quelconque joignant P h P'. Dans ce cas, on dira que la multiplicité est euclidiennement affine. Si on soumet tous les points d'une telle multiplicité à une translation infinitésimale, définie par la condition d'être en chaque point représentée par le même vecteur infiniment petit nous dirons que l'espace considéré subit une translation d'ensemble infinitésimale. Conformément à la suite des développements que nous avons poursuivis

102 LE CONTINUUM METRIQUE

au chapitre I (nous renonçons ici à donner la démonstration rigoureuse), il est possible de construire des systèmes de cordonnées « linéaires » qui sont caractérisés par la propriété suivante : des mêmes vecteurs en des points différents y possèdent les mêmes composantes. Dans un tel système « linéaire », les composantes de la connexion affine s'évanouissent. La multiplicité est un espace affine au sens du chapitre I : L'intégrabilité du transport vectoriel est la propriété géométrique et infinitésimale par laquelle les espaces « linéaires » se distinguent dans l'ensemble des multiplicités à connexion affine.

Fixons à nouveau notre attention sur le cas général; nous ne devons donc pas nous attendre, après avoir déplacé un vecteur parallèlement à lui-même le long d'une courbe fermée, à retrouver, au bout du trajet, le même vecteur que celui qu'on considérait au départ. Comme pour la démonstration du théorème de Stokes, nous tendons sur la courbe fermée une surface que nous décomposons en parallélogrammes infiniment petits. L'altération subie par un vecteur qui se déplace sur la courbe frontière résultera des altérations qu'il subira en parcourant la frontière de chaque petit parallélogramme ; nous désignerons par dxi et §Xi les composantes des côtés d'un tel quadrilatère issus de P; calculons la variation sur le pourtour du parallélogramme. Nous constatons d'abord que l'accroissement Ax = (A£*) que le vecteur x^O^) subit, s'obtient à partir de x par une correspondance linéaire, qui détermine comme on sait une matrice AF.

(38) Mx = Af(x) ; AÊa = AF£.^.

Si AF = o, la multiplicité en P est a plane » dans l'élément de surface considéré ; si cela arrive pour tous les éléments d'une surface finie, chaque vecteur qui parcourt une courbe fermée située sur elle revient à son point de départ sans altération. — AF dépend aussi linéairement de l'élément de surface :

(39) AF = FiicdxiZxk = \Fik àXik (Axa = dx$Xk — dxk§Xi) ;

Fki = Fik).

La forme différentielle que l'on vient d'écrire, caractérise la courbure, c'est-à-dire l'écart entre la multiplicité en P et une multiplicité qui, en P, est plane dans toutes les directions superficielles: les coefficients de cette forme ne sont pas des nombres, mais des matrices, nous pouvons dire que la courbure est définie par un « tenseur-matrice linéaire du 2e ordre ». Cherchons-en les composantes. Soient F$ik les composantes de Fik ou aussi les coefficients de la forme

(40) aF° = F$ikdx$xk.

Si les 6j sont les vecteurs unitaires du système choisi, la formule

(41) ax = F$ike2&dx$xk

donne la variation cherchée. C'est dire que les Ff;* sont les composantes contravariantes en a, covariantes en p, i, k d'un tenseur du