COURBURE
4e ordre. Leur expression au moyen des composantes de la connexion affine sont :
Elles satisfont aux conditions de symétrie « gauche » et « cyclique ».
< >•») ffa = - Fjlk ; Ffo -+- P%, + /*„ = o .
L'évanouissement de la courbure donne les lois différentielles invariantes qui caractérisent les espaces euclidiens.
Pour démontrer toutes ces propositions, nous nous servirons du même procédé de double balayage d'un petit parallélogramme que nous avons employé dans le cas du tourbillon (p. 92). Au point P00, imaginons un vecteur, x = x(P00) aux composantes £'; à l'extrémité P10 de l'élément dx, nous obtenons, par le déplacement parallèle de x le long de dx, le vecteur x(P10) ; soient &'+â& ses composantes,
rfS« = - d^ = - Tïtfdsi En appliquant la translation 8 à l'élément dx (sans d'ailleurs qu'il soit nécessaire de transporter dx parallèlement à lui-même) le vecteur à l'extrémité, restant lié au vecteur à l'origine par les mêmes relations, les ftë* subiront l'accroissement :
$<#■ = - Wtiax& - ïïMfi& - iftfïfc.
Si, en particulier, le vecteur à l'origine se déplace parallèlement à lui-même, il faudra remplacer oÊ' par — 3yF^ ; dans la position finale P01 Pn de l'élément linéaire, nous avons en P01 le vecteur x(P0l) qui provient de x(P00), par un déplacement parallèle le long de P00Poi< et en P1X le vecteur x(PlX) qui est le résultat du déplacement de x(Pni) le long de P0iP,i, et l'on a :
wç- = \ï(pu) - e*pM)j - jw«o) - ï(p»o)\.
appelons X* le vecteur que l'on obtient en déplaçant x(P10) parallèlement à lui-même le long de Pi0Pi1( on trouve en échangeant d et S une expression analogue pour doï1 :
<M° = jfcfp,,) - $.(/>I0)| \ï(P0l) - t»(P00)J •
et par soustraction :
A«a = Mï - dX* j — iïîidxi -+- dfro-($ — r^-Srfx,
à cause de doxi^odxi les derniers termes de chaque ligne dans l'accolade s 'entredétruisent, et il reste
A$a = AFJ P les à& sont donc les composantes d'un vecteur Ax en Pn, différence des deux vecteurs x et x* au même point :
& = Ï(PU) — &PU) puisque à la limite P„ vient se confondre avec P=PQ0, toutes nos propositions sont établies.
104 LE CONTIMJUM MÉTRIQUE
Pour peu que l'on éprouve de la défiance vis-à-vis de l'emploi que nous avons fait des différentielles, on peut donner une démonstration des théorèmes précédents en employant des dérivées relativement à 2 paramètres s et t. Pour ce faire, on attache à chaque couple de valeurs (s, t) non seulement un point P(s,t), mais un vecteur covariant fi(s, t); si Ç* est un vecteur quelconque en P, nous appelle-
rons d(ji\%) la dérivée — ; — , que l'on obtient en passant de (s,t) à as
(s+ds,t), en effectuant le quotient de la variation par ds et en passant à la limite; c?(/»V) est de nouveau une expression de la forme 9i%1 (gi étant une fonction qu'on tire aisément de /«). Nous appliquons à cette nouvelle expression l 'opérateur 5 I = — ) ; on obtient successivement :
A(M0 = (od — d8) (/<!*) =fiM\ car :
dtds dsdt
AV est précisément alors l'expression trouvée plus haut. L'invariant obtenu s'exprime en P = P00 par :
Flikf^ah^ ;
il dépend d'un vecteur covariant arbitraire fi et de trois vecteurs contravariants %, u, v ; les F^ik. sont par suite les composantes d'un tenseur de 49 espèce.
§ 16. — L'espace métrique
Notion de la multiplicité métrique. — Une multiplicité porte au point P une détermination métrique, si les éléments linéaires en P peuvent se comparer quant à leur longueur; nous admettons que dans l 'infiniment petit les lois de Pythagore-Euclide sont valables. Chaque vecteur x détermine en P un segment ; et il existe une forme quadratique non dégénérée x2, telle que deux vecteurs x et y déterminent le même segment si, et seulement si, x2 = y2. Par cette condition, la forme quadratique n'est déterminée qu'à un facteur de proportionnalité (différent de zéro) près. Si on fixe ce facteur, la multiplicité est dite étalonnée en P. Nous dirons que le nombre xa est la mesure du vecteur x, ou, puisqu'il ne dépend que du segment déterminé par x, il est dit la mesure l de ce segment. Des segments différents ont des mesures différentes ; les segments en P forment donc une multiplicité à une dimension. Si l'on remplace l'étalonnage par un autre, le nouveau nombre l qui mesure un segment est égal à l'ancien l multiplié par un facteur X indépendant de l ;
l'espace métrique 105
l = \l. Le rapport entre les mesures de deux segments est indépendant de l'étalonnage. De même que la représentation d'un vecteur en P est un système de nombres (ses composantes) qui dépend du choix des coordonnées, de même la représentation d'un segment par un nombre dépend de l'étalonnage ; et de même que l'on passe des composantes d'un vecteur dans un système à ses composantes dans un autre système par une transformation linéaire, de même la mesure d'un segment subit une transformation linéaire (et homogène) quand on change l'étalonnage. — 2 vecteurs x et y en P, pour lesquels la forme symétrique bilinéaire xy relative à X2, s'évanouit sont dits perpendiculaires ; cette relation — réciproque d'ailleurs — «st indépendante de l'étalonnage. Que la forme x2 soit définie ou non, peu nous importe. Si elle a p dimensions positives et q négatives (p + q = n) la multiplicité est au point considéré (p + q) dimensionnelle. Si p=£<], nous fixerons une fois pour toutes le signe de la forme métrique fondamentale par la condition p~>q ; le facteur X (rapport d'étalonnage) est alors toujours positif. Après avoir choisi un système de coordonnées déterminé et un facteur d'étalonnage, pour chaque vecteur xfê*), nous avons
(44) x>=^(^ (ffK ***»>•
Sous admettons maintenant que notre multiplicité porte en chaque point une détermination métrique. Etalonnons-la partout et rapportons-la à un système de coordonnées x»; alors les gik sont dans (44) des fonctions bien déterminées des coordonnées X% ; nous supposons qu'elles sont continues et dérivables. Le déterminant | gik \ est supposé ^=- o dans toute la multiplicité ; les nombres p et q ne changent donc pas d'un point à un autre ; et nous supposerons toujours p>l.
Afin qu'une multiplicité soit un espace métrique, il ne suffit pas qu'elle porte en chaque point une détermination métrique, il faut en outre que chaque point soit en connexion métrique avec son voisinage. Cette notion est analogue à celle de la connexion affine, elle est relative aux segments, l'autre aux vecteurs. Un point P est en connexion métrique avec son voisinage si l'on connaît le segment ;m point infiniment voisin P' de P, que l'on obtient en déplaçant d'une manière congruente un segment quelconque de P en P', c'està-dire si l'on se donne la correspondance entre les segments, qui est appelée congruence. La seule condition que nous nous imposons (elle est d'ailleurs la plus large possible) est la suivante : le voisinage de P peut être étalonné d'une manière telle, que la mesure de chaque segment en P que l'on meut par déplacement congruent, ne soit pas altérée quand on passe au point infiniment voisin. L'étalonnage est alors géodésique en P. Si la multiplicité est étalonnée d'une manière quelconque, soit l la mesure d'un segment en P, l + dl la mesure du segment qu'on obtient en le déplaçant par
congruence de P en P', voisin de P ; il y a alors nécessairement une relation de la forme :
(45) dl=—ld<i,
où le facteur dtp est indépendant du segment déplacé, car cette propagation réalise une correspondance des segments en P aux segments en P' qui est une proportionnalité, d<p correspond aux dy'j de la formule (33). Si la multiplicité est étalonnée autrement de façon que l = Xl soit la mesure de notre segment en P (X étant un facteur positif fonction du lieu), on a, au lieu de cela :
„ dï= — Tdy
avec
La condition nécessaire et suffisante pour que d<p puisse s'annuler par un choix particulier de X, est donc que d<p soit une forme différentielle linéaire (45') dy = vidxi.
Avec (45) et (45') nous avons satisfait aux conditions que nous nous sommes posées. (En effet : les <çn sont en P des nombres déterminés ; si P a ses coordonnées Xi — o, il suffira de faire log X = >j3>iagi pour que en P, d<? = o). Tous les points de la multiplicité sont analogues vis-à-vis de la détermination métrique et de la nature de la connexion métrique avec leur voisinage. Cependant il y a, suivant que
n est pair ou impair, -3 — H- 1, ou — ; — espèces différentes de multiplicités métriques qui se distinguent par l'indice d'inertie de la forme métrique fondamentale. Nous pouvons en effet avoir : p—n, g = o, ou p — o, qt±h; p=n — 1, q = l ou p = l, q = n — 1, etc. En résumé : La métrique d'une multiplicité est caractérisée, relativement à un système de référence (— système de coordonnées + étalonnage), par deux formes différentielles fondamentales, l'une quadratique : Q = \,gn(dxidxk et l'autre linéaire d? =^o,(/x,i; elles
ik
sont invariantes quand on change de système de coordonnées; en changeant l'étalonnage, la première est multipliée par un facteur X qui est une fonction positive, continue, et dérivable du lieu, la deuxième est diminuée de la différentielle de log X.
Dans toutes les grandeurs et dans toutes les relations, qui représent des rapports métriques, les gik et les <p» doivent entrer de telle manière qu'il y ait invariance : 1°) Pour tous les changements de coordonnées (invariance pour les coordonnées et 2°) pour les remplacements des gfifc et des ci, respectivement par :
1 dX
lg,l« et *-tsr:
l'espace métrique 107
X étant une fonction positive du lieu (invariance pour l'étalonnage). De même qu'au § 15, nous avons déterminé la variation d'un vecteur, qui, se déplaçant parallèlement à lui-même, parcourt le périmètre d'un parallélogramme (dx,-, ^Xi), de même, nous allons chercher la variation M de la mesure d'un segment l pour des conditions analogues; de dl = ïdç on tire :
od/ = — o/d<? — lodo = tifd<f — fôdf, donc :
(47) il rs M — dol = — /Ao,
ou Acp = (8d — d§)<? = fadXi'Bxk,
f.t - 2ïi lit avec: ■ Jth~ôxk dXi
Le tenseur linéaire du 2e ordre dont les composantes sont fa peut être appelé par analogie avec la courbure vectorielle de l'espace affine, la courbure segmentaire de l'espace métrique. L'équation (46) confirme analytiquement que cette nouvelle courbure est indépendante de l'étalonnage; ce tenseur satisfait aux équations invariantes :
àf/.i à/a ■ dfjk
dxi àxk ôxi
Si fa = o, on exprime ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que chaque segment puise être déplacé d'un point à un autre d'une manière indépendante du chemin suivi. C'est bien le cas d'un espace de Riemann; si l'espace métrique est riemannien, il est possible de parler du même segment en des points différents de l'espace, la multiplicité peut être étalonnée de manière que d<p soit identiquement nul. (Etalonnage normal). (En effet, puisque fik = o c'est que dç est une différentielle totale exacte, soit dç = d log X si l'on étalonne avec le rapport X; alors d<p est nul partout). Pour l'étalonnage normal d'un espace riemannien, la forme fondamentale Q est déterminée à un facteur constant quelconque (positif tout au moins) près, que l'on peut déterminer une fois pour toutes par le choix d'une unité de segment; ce choix peut se faire en n'importe quel point puisqu'ici, l'étalon normal peut être transporté partout.
Connexion métrique d'un espace métrique. — Et maintenant, nous arrivons à un point qui est, comme nous l'appellerons désormais, le théorème fondamental de la géométrie infinitésimale; il amène la construction de l'édifice géométrique à un état d'achèvement d'une harmonie merveilleuse. Dans un espace métrique, la notion de déplacement parallèle se laisse définir d'une façon et d'une seule, de manière à satisfaire à notre précédente condition : par le déplacement parallèle d'un vecteur, le segment qu'il détermine doit rester inaltéré. Le principe géométrique fondamental du transport infinitésimal des segments par des longueurs porte en soi,
108 1 1 <o\i m i m mi rmiQi i
on même temps le principe du transport de la <tirection: un espace m&rtqUê a POT M nature menu- une eonnexion affine.
Démonstration. - — Soit un système de référence. Tour toutes les grandeurs, u\ qui portent à côté d'autres, peut-être) un Indice supérieur i. nous définissons le déplacement de l'indice par les équations :
qq remontera l'indice par les équations inverses. Faisons
le vecteur Çl en l\x). au peint /' X ■ dx) par déplacement parallèle, il sera en /" : ;« * d;> :
mais pour la mesure nous aurons la variation
dU— la>, ce qui peut s'écrire :
le premier terme du premier membiv est :
et par suite :
dfik 4- dyw ■ djta + </i*d9 OU :
Soumettons dans nos équations les S indices ikf >m\ trois permutations cycliques, additionnons les deux dernières qu'on obtient et soustrayons-en la première, en nous rappelant que les T doivent être
symétriques pour les deux derniers Indices, non- obtenons : ,.ft,P 1/ «' agi» àgut v , ', .
m r'a = 5\ *5" * ~ ~ " K7 ' t ?""•" * 9tr,?' " "^
Déterminons ensuite les r par les équations
qui résolues donnent :
Pu = 0«"f,,«
> -omposantes de la connexion affine remplissent toutes les conditions posées. L'espace métrique est donc bien doué naturellement
d'une connexion affine : l'analyse tensorielle, et l'analyse des densités tensorielles, les notions de ligne géodésique, de courbure.
etc., s'y développent sans autre. Si la courbure y est identiquement nulle, 1 est métriquetnent euclidien au sens du ebapitre 1
La courbure vectorielle est susceptible d'une décomposition qui s son imporl m y pourra mettre en évidence la courbure
mentaire 11 est d'ailleurs bien naturel que le transport du segment réalise eu même temps le transport du vecteur. En utilisant le symboli \ = 8d — dB on a vu (pie :
i rsevci vu rmoi B L09
I7< Ai=— -JA*. c'Nà.liiv .VH,V)=— tttV)-V
Nous nous de plus trouvé que si /, est uni' fonction quelconque du lieu, on a
par suM(\
A(U') = MuikV\k) m giktë . S* + (j,ki' W* ;
et l 'équation I l7> donne :
ce qui prolixe que le vecteur Y:' tonne avec le v e. leur X V »•'! P'"°
duit scalaire, égal .m produit scalaire du vecteur — Jl'Aqp, avec le même ve. leur x = Ç'; c'est dira «loue que le vecteur — i$*A<p qui
n i si pas autre chose que — $X.A9 est étfal au vecteur \X (dont les composantes sont \ à un vecteur " \x pies normal a X: \X = *AX — X.^Aç.
\x est la somme de deux vecteurs, l'un *vx normal à x x.'vx o),
I autre — $XAç parallèle a X. On en tire Immédiatement une décomposition analogue l>our le tenseur île courbure :
(«n '•';.*- *rç<* - ^:
le tenue '/' est dit » courbure de direction ». celle ci est détinie
par :
Que ' \x soil perpendiculaire à x, cela s'exprime par :
•luttait* = •F+uUdmfa - o.
Ce système de nombre;- *l'\9ik- n'est donc pas seiilein.nl symétrique tfauebe en i et k mais aussi en x et p, par suite :
*Flut = o Coroifairai. — Si l'on choisit un système de coordonnées et un étalonnage géodésiques dans le voisinage d'un point i\ on aura en P :<fi-<\ rj| 0 ; d'où :
àgut
fi - O, -r — = O
T d.rr
en /'. La forme df S'évanouit «'l lei Coefficients de la l'orme quadratique fondamentale s. ml stulionnaircs. Un d'autres termes, le v<*isimuie de P se comporte comme un espace euclidien. Mous tirons de là une nouvelle définition «lu déplacement parallèle d'un vecteur dans l'espace métrique : soil en un point /'. un système géodésique uY référence, c'est à dire un système pour lequel </^ s'annule en /', et dont les ;/,< de la forme Q sont Mal ionnaires en /' ; un vecteur
transporté «le P en /" l 'a été parallèlement à soi même m ses coin po.inics relativement au système géoâéstque de référence sont restées invariables. (Il y a toujours des syste.uu géodésiques de réfé
rence; l'arbitraire qui se manifeste dans le eboix d'un tel système
n a aucune inllueiice sur le déplacement puallèle ainsi délini.)
'le i Puisque par une translation Xi=tXi($), le Vecteur vitesse u.' :» — -
se déplace parallèlement à lui-même, c'est qu'il satisfait en géométrie métrique à l'équation :
(52) d^l) 4-(m,-hO(W = °-
Si à un instant : UiU* = o (cela peut se produire si la forme quadratique est indéfinie), alors : UiU* = o pendant tout le mouvement ; la trajectoire d'une telle translation est une gêodésique de longueur nulle. Les géodésiques de longueur nulle ne changent pas, comme le montre un court calcul, si l'on modifie n'importe comment la connexion métrique de la multiplicité, sans altérer la détermination métrique en chaque point.
Calcul tensoriel. — D'après les définitions données plus haut, les composantes d'un tenseur ne dépendent que du système de coordonnées, et non pas de l'étalonnage. Nous allons élargir nos définitions ; une forme linéaire dépendant du système de coordonnées et de l'étalonnage sera dite encore un tenseur, si elle se transforme comme d'habitude quand on change de coordonnées, mais si elle se trouve multipliée par Ie Çk= rapport d'étalonnage) quand on change d'étalonnage, nous dirons de plus qu'il est de poids e. Ainsi les gu sont les composantes d'un tenseur symétrique covariant de deuxième ordre et de poids 1 . Quand nous parlerons de tenseurs, sans spécifier le poids, il sera entendu que ce poids est zéro. Les relations obtenues dans l'analyse tensorielle sont des relations indépendantes de l'étalonnage et des coordonnées entre des tenseurs et des densités tensorielles au sens étroit. Cette notion étendue de tenseur de poids e, n'est qu'une notion auxiliaire, que nous employons simplement à cause de sa commodité pour le calcul. Cette commodité vient de ce que : 1°) le « jeu des indices » est possible : par la descente d'un indice contravariant dans les composantes d'un tenseur de poids e, on obtient les composantes (avec cet indice covariant) d'un tenseur de poids e+1, et inversement; 2°) Si g est le déterminant des ga, pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que le nombre q des dimensions négatives est pair ou impair, et si s/~g est la racine carrée positive de g, on peut obtenir au moyen de chaque tenseur une densité tensorielle en le multipliant par \/g; le poids de celle-ci
est de — unités plus élevé que le poids du tenseur dont on part ;
n d'un tenseur de poids — ^>on tire en particulier une densité tensorielle au sens propre. La preuve repose sur le fait évident que s/ g
n lui-même est une densité scalaire de poids—. Nous convenons que
la multiplication par »Jg transforme la notation d'une grandeur; les lettres romaines qui la représentaient deviennent des lettres gothiques. Puisque dans la géométrie riemannienne, la forme quadratique Q est parfaitement déterminée, si l'étalonnage est normal
l'espace métrique 111
(il ne sera pas question de facteur constant dans la suite), la distinction des tenseurs par le poids disparaît ; comme alors chaque grandeur qui est représentable par un tenseur, engendre la densité tensorielle correspondante par multiplication par \/g. la distinction entre fenseur et densité tensorielle s'évanouit (comme la différence entre covariant et contra variant) . Il est par suite compréhensible que l'on ait été si longtemps à mettre en évidence les densités tensorielles à côté des tenseurs. On emploie le calcul tensoriel en géométrie principalement pour l'usage interne, c'est-à-dire pour l'obtention des champs qui correspondent invariantivement à la métrique elle- même. Indiquons par exemple, deux cas fort importants pour la suite. Supposons que la multiplicité métrique soit à (3 + 1) dimensions, et soit — g le déterminant des g^. Dans cet espace, la courbure segmen taire (comme d'ailleurs dans tout autre) est un champ tensoriel linéaire au sens propre fk de deuxième ordre. On en tire le tenseur contravariant fk de poids — 2, qui précisément à cause de son poids non nul est sans signification, mais par multiplication par s/~g nous obtenons une densité tensorielle f** linéaire de 2* espèce et de poids zéro.
est la densité scalaire la plus simple qui se puisse former et fldx est l'invariant intégral le plus simple attaché à la métrique d'une multiplicité à (3 + 1) dimensions. Au contraire, l'intégrale fjgdx qui, dans la géométrie riemannienne représente le volume, n'a aucun sens en géométrie généralisée. De f.*, on peut tirer par divergence la densité tensorielle :
àxk ' '
En physique, on utilise le calcul tensoriel, non pour représenter l'état métrique, mais pour former des champs d'états physiques, comme le champ électromagnétique, par exemple, et en décrire les lois. Nous verrons pourtant comme conclusion de nos recherches que cette distinction entre la géométrie et la physique est une erreur ; la physique ne se détache pas du tout de la géométrie ; l'univers est une multiplicité métrique de (3 + 1) dimensions et tous les phénomènes physiques qui s'y déroulent ne sont que des manifestations du champ métrique; en particulier la connexion affine de l'univers n'est pas autre chose que le champ de gravitation, la métrique qui la régit exprime l'état de « l'éther » ; la matière même n'est pas épargnée par cette géométrisation et elle perd son caractère de substance éternelle. Cela confirme ce que Clifford, déjà en 1875, exprimait avec une précision remarquable dans un article de la Fortnightly Review, « The theory of space-curvature hints at a possibility of describing matter and motion in terms of extension only ». Mais tout cela ne sera exposé que plus tard ; pour l'instant, nous en resterons encore à l'ancien point de vue. La construction de la géométrie infinitésimale étant achevée, nous
rassemblons encore dans le paragraphe suivant une série de remarques et quelques formules dont il sera fait usage plus tard.
§ 17. — Remarques sur le cas particulier d'un espace riemannien
Le calcul tensoriel général est déjà d'une grande utilité dans la géométrie euclidienne quand on a à calculer non pas avec des systèmes cartésiens, mais avec des coordonnées curvilignes, comme il arrive souvent en physique mathématique. Pour illustrer cette application du calcul tensoriel, nous allons écrire les équations fondamentales du champ électrostatique et du champ magnétique avec des coordonnées curvilignes quelconques.
Soient : E» les composantes du champ électrique dans un système cartésien ; en transformant les deux formes
d$* = dx] -+- dx\ -+- dx\ et Eidx, -h E2dx2 -f- E3dx3
attachées .invariantivement à des systèmes cartésiens (xly x2, xt) avec des coordonnées curvilignes quelconques (que nous désignerons encore par xî) elles deviennent :
ds2 = gilcdxidxk et Eidxi.
Les Ei sont alors dans le nouveau système les composantes du même champ vectoriel covariant. Nous en tirons la densité vectorielle :
(Si = Jg gikEk (g = \ gik | )
Le potentiel — ç se transforme en un scalaire ; la densité q de l'électricité sera définie par la condition que la charge électrique contenue dans une position d'espace soit = fpdx1dx2dxs, elle n'est donc pas un scalaire, mais bien une densité scalaire; les lois s'écrivent :
E = -^- ou 2£i - —
\ ' dx; dxh dx;
dxi et 2>'i = E,& — ic'i S avec 6 = &$f,
sont les composantes d'une densité tensorielle mixte de 2e espèce : la tension. — Pour démontrer la justesse de ces résultats, il suffit de remarquer que ces équations sont invariantes absolument et qu'elles donnent précisément les équations obtenues plus haut, quand on prend comme coordonnées curvilignes des coordonnées cartésiennes.
Nous avons caractérisé le champ magnétique d'un courant stationuaire dans un système cartésien par une forme bilinéaire invariante symétrique gauche Hikdx^Xk. En la transformant en coordonnées curvilignes quelconques, nous voyons que les Ha- obtenues sont des
