REMARQUES SUR LE CAS PARTICULIER D'UN ESPACE RIEMANNIEN

composantes covariantes d'un tenseur linéaire de 2e espèce : le champ magnétique. De la môme façon; nous obtenons les composantes d'un champ vectoriel covariant.

En outre, définissons la densité tensorielle linéaire du deuxième ordre par les équations :

&k= fg.g^H^;

les lois du champ magnétique sont alors :

//,, = 4X1 PS., ou^4---^-4--^ = 0,

dfi

O'rk

1 ou

dHkl

dUu

dffîk

ôxk

âxi

0xl

àxh

ÔXi

dxk

ffi

$kr-

ik&k-

Les 8' sont les composantes d'une densité v-ctorielle : la densité du courant électrique; les tensions 8? ont le même caractère d'invariance que dans le champ électrique. Qu'on essaye de spécialiser ces formules pour le cas des coordonnées sphériques ou le cas des coordonnées cylindriques, les calculs sont immédiats dès qu'on connaît l'expression du ds2 dans ces systèmes; de simples considérations géométriques y conduisent.

Mais ce que nous avons obtenu par ces considérations est d'une importance encore plus grande : les équations (54) et (55) du champ électromagnétique stationnaire sont déjà écrites pour le cas où nous serions obligés d'abandonner la géométrie euclidienne pour une géométrie riemannienne dont la métrique serait autre. Car, avec des rapports métriques plus généraux, nos équations représentent la dépendance de la charge, du courant et du champ entre eux, par des expressions « objectives » indépendantes du système de cordonnées, à cause de leur nature invariante. Qu'elles soient l'extension naturelle des lois pour un espace euclidien, cela ne fait pas de doute; c'est un fait digne de remarque que cette extension s'opère simplement et sans contrainte grâce au calcul vectoriel général. La question de savoir si l'espace est ou n'est pas euclidien, ne peut être tranchée d'aucune manière par les lois de l 'électromagnétisme. L' « euclidicité » s'exprime sous forme invariante générale par des équations différentielles du deuxième ordre en les gik (évanouissement de la courbure) ; dans les lois que nous venons d'obtenir, les dérivés des #»* sont tout au plus du premier ordre.

Mais il est bon de remarquer qu'une telle extension n'est possible que pour les lois d'action de contact.

Les lois d'action à distance qui dérivent de ces équations et qui correspondent aux lois de Coulomb et de Biot et Savart, s'obtiennent par un traitement mathématique; voici l'idée essentielle : à la place de l'équation habituelle du potentiel A<p = o, on doit considérer en géométrie riemannienne sa généralisation invariante (voir (54) :

Weyl. — Temps, iïspace, Matière. g

d [ ,- ., ai

dx,\ * * dxA./

c'est une équation différentielle aux dérivées partielles linéaire et du deuxième ordre, dont les coefficients ne sont plus constants. On en cherche une solution fondamentale infinie en un point arbitraire qui correspond à la solution fondamentale — de l'équation

A<p=:o; cette recherche est difficile, elle est analogue à celle qu'on poursuit quand, se bornant à l'espace euclidien, on doit étudier des phénomènes qui se déroulent dans un milieu non homogène, par exemple un milieu dont la constante diélectrique varie d'un point à un autre.

L'extension des lois de l 'électromagnétisme, lorsque l'espace n'est plus seulement riemannien, mais qu'il possède une métrique plus générale, ne se développe pas aussi simplement. La vraie solution de ce problème résultera des considérations qui terminent ce paragraphe.

Faisons encore quelques remarques sur le cas particulier de l'espace riemannien. L'unité de mesure (le cm) étant choisie une fois pour toutes (la même en tous points bien entendu), la métrique est donnée par une forme quadratique invariante gucdxidxk ou, ce qui revient au même, par un champ tensoriel covariant du deuxième ordre. Dans les formules obtenues plus haut, il suffit de supprimer toutes les grandeurs ci pour avoir notre cas spécial.

Les composantes de la connexion métrique sont alors les symboles

de Christoffel à 3 indices: j [,on les forme à partir des symboles de Christoffel de première espèce

P/r*l — —l^iiL àgkr — ^9ik

2 \ dxk dxi dxr

(Nous les emploierons tout de même, malgré que cette manière d'écrire ne soit pas conforme à nos règles sur la position des indices, pour nous conformer à un usage courant.)

Pour des calculs ultérieurs, nous mentionnons les formules suivantes :

(67) »2Hr|-*

l.làj/gjnk) , irs)

«fi te- 'f

1 d'y/g.gik) (lr\ tlrï tir)

Elles sont valables parce que \'g est une densité scalaire, ^g.g ik une densité

REMARQUES SUR LE CAS PARTICULIER d'un ESPACE RIEMANNIEN 115

tensorielle; alors par suite des règles de l'analyse des densités tensorielles, si nous multiplions chaque membre de ces formules par Vî/> les premiers membres deviennent des densités tensorielles. Or, si en P nous utilisons un système géodé-

/ Agik \ siquel = o , les premiers membres sont identiquements nuls, et à cause du-

\ ÔXr ) caractèr" d'invariance que ces relations possèdent, elles sont vraies dans tous

les cas.

On a ensuite :

dg\ <V</

J. = yikdgik, — — = hg'kdgik.

Car la différentielle totale d'un déterminant de n2 éléments (variant indépen dammiiit) gnc est = G'k dg^t où G'k est le mineur de g,k- Si tfA ( = U'| est un système de nombres qui forment un tableau carré symétrique quelconque on a toujours :

tikdgi/e = — tikdyik.

car de

gugjk=8li on tire :

Qijdgik=z — g>hdgu.

en multipliant les deux membres par t| (cette notation est compréhensible)

H = fuW = fiwU» = l1).

on obtient la formule (69). En particulier au lieu de (58) on peut écrire

-j-=^ — 9ikd9lk.

Les composantes R*$ik de la courbure satisfont dans l'espace riemannien aux conditions de symétrie

Ra$ki = — Rx^ik ; Rfaik = — Riftik,

Ra$ik -+- Raik$ -+■ Ra.k$i = o, (car la courbure segmentaire est nulle); il est facile de montrer que l'on peut encore en tirer")

Rik*» = Rzlik Ces conditions nous apprennent, d'après une remarque d«' la page 48, que le tenseur de courbure peut être complètement caractérisé par une forme quadratique d'un élément de surface :

— R*}ik AJa? &tik (teik = dxt Sxk — &X{ dXk) ■

Si l'on divise cette expression par le carré de l'aire de l'élément, le quotient ne dépend plus que du rapport des ù&îh, c'est-à-dire de la position de l'élément de surface ; Riemann appelle le nombre obtenu, la courbure de l'espace en F dans la direction de surface considérée.

Dans un espace riemannien bidimensionnel (c'est-à-dire sur une surface), il n'y a qu'une direction superficielle à considérer et le tenseur se réduit à un scalaire (courbure de Gauss). Dans la théorie d'Einstein, le tenseur contracté du deuxième ordre

RUk = R'k qui, dans l'espace de Riemann, est symétrique, joue un rôle important, ses composantes sont :

'Hî-ll

dxr \ r j àxk [ r ) [ r ) ( s ) [ s ) ( r

Seul le deuxième terme du deuxième membre ne laisse pas voir immédiat*; ment la symétrie en i et h, mais d'après (57) il est égal à :

» dVog-a ) 3 dxidxk Enfin l'on peut encore former le scalaire de courbure

R = gik[{ik

116 LE CONTINUUM MÉTRIQLE

Dans l'espace métrique général, le scalaire de courbure F que l'on forme d'une manière analogue, mais qui n'a pas comme R une signification évidente, s'écrit :

F=J(B-,)-L#g!J-(,t-,KM-,t(9iC.-).

F est un scalaire de poids — 1. Dans un domaine où F ^ o on peut donc fixer une unité de longueur par l'équation F s const. C'est curieux, car en quelque manière, ce résultat est en contradiction avec la notion du transport des longueurs dans l'espace métrique généralisé, d'après laquelle une comparaison à distance des longueurs ne doit pas être possible; mais il faut avoir égard ici à ce que l'unité de longueur mentionnée dépend des rapports de courbure de la multiplicité. (Au fond, l'existence d'un tel étalonnage distingué n'est pas aussi curieuse que l'existence dans un espace riemannien de certains systèmes de coordonnées distingués). Le « volume » mesuré avec cette unité est donné par l'invariant intégral :

(62) » ftipP*4*

Dans l'espace métrique, par le déplacement parallèle des deux Vecteurs, % et r\, on a :

Dans l'espace de fiiemann, le deuxième terme disparaît. Il s'ensuit que dans un espace riemannien, le déplacement parallèle d'un vecteur covariant E exprimé par ^i — gik\k, se traduit par les mêmes formules qui donnaient plus haut le déplacement du vecteur covariant dont les composantes sont %i

dit —\a\ dx& — ° 0U °^' ~ I 3 dX^° = °"

Pour une translation on a, d'après cela : car on a, (48)

du, \ dqxo , / . dix L

(63> — -ï-àT "'"' = "■ {u' = HT' "'■= 9*u

[ÏMtï**-

et par suite pour un système de nombres svmétriques /a? :

(64) ii^.p* r^l^j^u

a àxt L P J h )

Puisque la mesure du vecteur vitesse reste invariable pendant la translation, on a :

dx; dxk

(65) Qik — ; -r~ = u{ul = const.

ds as

Pour plus de simplicité, supposons la forme fondamentale définie positive; chaque courbe £i = £;(s)[a<s<i>] a une longueur (indépendante du choix du paramètre)

Si l'on prend précisément l'arc comme paramètre, alors Q = l. L'équation (65) exprime qu'une translation parcourt sa trajectoire,

REMARQUES gUH LB CAS PARTICULIER n'UiV ESPACE RIEMANNIEN 117

qui est une ligne géodésique, avec une vitesse constante, de telle sorte que le paramètre temps s est proportionnel à la longueur. La ligne géodésique ne possède pas seulement dans l'espace riemannien la propriété différentielle de conserver toujours la même direction, mais elle possède encore In propriété intégrale que chacune de ses portions est la plus courte ligne qui joint son origine à son extrémité. 11 faut faire attention de ne pas prendre cet énoncé dans un sens trop littéral, mais il faut lui donner un sens analogue à celui qu'on donne en mécanique à la phrase : lorsqu'il y a équilibre, l'énergie potentielle est un minimum ; ou bien encore lorsqu'on dit, en analyse, qu'une fonction f(x,y) a un minimum là où

àf J àf ,

df = — - — dx h — 7 — du dx ây

est identiquement nul quels que soient dx et dy; on doit dire plutôt, afin d'être rigoureux, qu'elle prend une valeur stationnaire, qui peut être aussi bien un maximum qu'un minimum, pris au sens large aussi bien qu'au sens étroit, ou même encore qui peut n'être ni l'un ni l'autre, mais comme l'on dit, en allemand, qui peut être un <( Sattehvert » (valeur en selle) oxpressiori dont la forme imagée se comprend immédiatement. La ligne géodésique n'est pas nécessairement une courbe de plus courte longueur, c'est bien plutôt une courbe de longueur stationnaire. Sur la sphère, par exemple, les grands cercles sont précisément des lignes géodésiques ; prenons sur un tel cercle deux points A et B, le plus petit des deux arcs AB est en effet la ligne de longueur moindre qui joint A à B, mais l'autre arc \P> est aussi une ligne géodésique entre A et B, sa longueur n'est pas la plus courte, mais elle est stationnaire. Profitons de cette occasion pour exposer sous sa forme rigoureuse le principe de la variation infinitésimale.

Soit une courbe donnée par ses équations paramétriques : Xi — Xi(s) (a<s<5)

nous l'appellerons la courbe initiale. Pour la comparer aux courbes voisines, nous considérons la famille

Xi = Xj(s,e) (a<s<6)

le paramètre e varie dans un intervalle contenant e = o ; les x»(s,e) sont des fonctions qui se réduisent à Xi (s) pour e = o. Nous voulons de plus, que toutes les courbes de la famille aient la même origine et la même extrémité ; Xi(a,e) et Xi(b,e) sont donc indépendantes de e. La longueur d'une telle courbe est donnée par :

= fjQds.

Nous admettons encore que s soit l'arc de la courbe initiale, de

façon que Q = l, si e = o ; pour cette même courbe nous supposerons

dxi que — soit désigné par u\ Posons :

1H LE CONTINITUM MÉTRIQUE

Ce sont les composâmes du déplacement infiniment petit, par lequel on passe de la courbe initiale à la courbe « variée » infiniment voisine, correspondant à la valeur infiniment petite de e; elles sont nulles aux extrémités. Alors :

( !lL \~dz

= SZ.

est la variation de la longueur. 8L = o est la condition pour que la courbe initiale possède parmi les courbes de la famille une longueur stationnaire. On définira %Q de la même façon, alors

(66, ÎL= f^ds = lf^ds^

puisque pour la courbe initiale Q = l. Or :

dQ àgx9 ctXj di\ dx9 dxk d*X{

de à Xi dz ds ds ds deds

ce qui fait que : v

dx; **■ ds

(car on peut intervertir les dérivations en e et en s). Remplaçons alors dans (66), ,SQ par sa valeur, on a :

après une intégration par parties effectuée sur le deuxième terme, le terme tout intégré étant nul, puisque les & s'évanouissent aux limites. On voit alors aisément que 8L = o pour les courbes de la famille, si (63) est satisfaite et seulement dans ce cas. En effet, si pour s = Sj par exemple (a<^s°<ib) l'une des expressions (63) celle qui correspond h i — 1 était différente de zéro, positive pour fixer les idées, on pourrait trouver autour de s0un petit intervalle dans lequel cette expression serait >o. Si alors on choisissait pour I1 qui est arbitraire, une fonction, de s jamais négative, nulle hors de cet intervalle, et tous les autres %l partout nuls, nous aurions SL>o ce qui serait contradictoire.

Cette démonstration prouve encore qu'une translation est parmi tous les mouvements qui font passer un point d'une même origine

fjQds

à une même extrémité, celui qui rend l'intégrale | \/Qds station

naire.

Il ressort encore de cette démonstration que les translations sont caractérisées parmi tous les mouvements qui amènent dans le même

temps a<s<b, un mobile d'une même origine à une même oxtré-

mité, par la propriété de rendre l'intégrale I Qds stationnaire.

Malgré les efforts sincères de l'Auteur, les considérations qui nous ont amené à l'achèvement dos principes de la géométrie infinitéaimale ne sont pas allées sans une débauche de formules et d'indices qui peuvent parfois masquer la clarté intuitive des problèmes. Mais il est impossible de renoncer à cet appareil qui semble à quelquesuns un peu rebutant. De même qu'avant de pouvoir exprimer sa pensée dans une langue étrangère, il faut, se soumettre à une discipline souvent pénible, de même il est nécessaire de s'astreindre à la discipline de l'analyse tensorielle avant de pouvoir entreprendre le problème que nous avons en vue et qui touche à l'essence de l'espace, du temps et de la matière. Mais avant de pénétrer dans les régions de la physique où le génie d'Einstein a fait de si belles conquêtes, nous voulons encore développer quelques considérations sur la métrique de l'espace ; il s'agit de bien saisir la nécessité interne et l'univocité de la structure métrique, telle qu'elle résulte du théorème de Pythagore.

? 18. — Considérations tirées de la théorie des groupes pour éclairer la notion de métrique de l'espace

AloTs que la nature de la connexion affine ne nous paraît pas du tout énigmatique, — puisque la notion de déplacement parallèle qui n'est pas autre chose en somme qu'une propagation sans déformation, détermine parfaitement la nature de cette connexion — nous n'avons pas encore précisé notre point de vue sur la métrique ellemême. Qu'elle soit donnée précisément par une forme quadratique différentielle, nous l'avons admis, mais rien n'imposait a priori cette représentation. Riemann avait déjà montré qu'on peut prendre comme forme métrique fondamentale, et avec le même droit, une fonction homogène du 4* depré par rapport aux différentielles ou même aussi n'importe quelle fonction construite autrement, qui ne fut pas nécessairement rationnelle par rapport aux différentielles. Ce qui détermine originellement et généralement la métrique en un point P, c'est le groupe de$ rotations: les propriétés métriques de la multiplicité au point /' sont connues, quand on sait quelles sont parmi les transformations linéaires de l'ensemble des vecteurs en P, celles qui sont des représentations contrruentes de cet ensemble.

Il y a autant de sortes différentes de déterminations métriques qu'il y a de groupes essentiellement différents de transformations linéaires (il faut entendre par groupes essentiellement différents

ceux qui ne diffèrent pas seulement par lé choix; des coordonnées). Pour la métrique pythagoricienne qui est la seule que nous ayons considérée jusqu'ici, le groupe des rotations est formé de toutes les transformations linéaires qui transforment la forme quadratique différentielle en elle-même.

Mais il n'était pas nécessaire que le groupe des rotations possédât un invariant, c'est-à-dire une fonction d'un seul vecteur arbitraire qui restât inchangée pour toutes les rotations.

Précisons un peu à quelles exigences doit satisfaire d'une manière naturelle la notion de rotation. Ce n'est qu'en un point déterminé seulement, que les parallélipipèdes n— dimensiormels peuvent être comparés sur le rapport de leur grandeur tant que la détermination métrique n'est pas fixée dans toute la multiplicité. Si les ai (i'e= I, 2, ..., n) sont n vecteurs quelconques déterminés par les équations :

a, = afr*

où- les e& sont des vecteurs fondamentaux de base, le déterminant des af' que nous écrirons conformément à une notation due à Grassmann

[&lâî . . . â„| |©i©2- • • ©n]

est le nombre qui mesure le volume du parallélipipede défini par les a». En employant un autre système de vecteurs de base e», tous les volumes sont multipliés par un facteur constant, comme il appert du « théorème de multiplication des déterminants ». [aiSg . . . &„] __ [a(a2. . ,an] [ê)ët. ë„] [e,e2...©„] fë,ëî . . . ë„] [©i©2. .e„]

Les volumes sont donc déterminés univoquement et indépendamment du système de coordonnées quand on a fait choix d'une unité de mesure. Une rotation doit être évidemment une représentation qui conserve les volumes, puisqiï elle ne doit pas « altérer » le corps des vecteurs en P.

La rotation, par laquelle on passe du vecteur X ==(£*) au vecteur X — (^), sera représentée par

ë; = aJ-Bk ou S'' sx afêk.

le déterminant de la matrice de rotation (a') doit être alors égal à 1. Cette condition concerne une rotation particulière, nous aurons à exiger, pour leur ensemble qu'elles forment un groupe (au sens de la p. 7). Il s'agit d'un groupe continu, c'est-à-dire que les rotations sont les éléments d'une multiplicité continue à plusieurs dimensions.

Soit A = (ai) la matrice d'une correspondance linéaire ; changeons de système de coordonnées et passons des vecteurs de base (ei) aux vecteurs (ëi) par la transformation

U:ëi=: 11%,

alors A se change en UAU~l (U~l étant l'inverse de U, UU -1 = U~lU = E = l'opération identique). De tout groupe <#- de matrices on peut tirer un nouveau groupe par un changement de coordonnées, c'est le groupe UQl~x qu'on obtient en effectuant à partir de chaque matrice G du groupe et avec la même matrice U la transformation U^L~l; nous disons qu'un tel groupe est de même espèce que £f ou encore qu'il ne se distingue de ^-. que par son orientation. Si ^ est le groupe des matrices de rotation en P, et si V est identique à U&b—1 (ce qui ne veut pas dire nécessairement que G = UGU~l, mais que G appartient à UGU"1 et que UGU~ ' appartient à G), alors la métrique dans les 2 systèmes (le coordonnées (67) s'exprime de la même manière; /' est une représentation du corps de vecteurs en P sur lui-même, qui laisse inchangées toutes les relations métriques. Une telle représentation est une similitude. ^ est un sous-groupe du groupe $■* des similitudes.

De la métrique en un point, nous passons à la connexion métrique. La connexion métrique du point Pn avec son voisinage immédiat est connue dès que l'on peut dire quelles sont parmi les correspondances linéaires du corps de vecteurs de P0 (x?) avec le corps de vecteurs en P(xf + dxi) celles qui sont des congruences, ou qui représentent une propagation congruente. Si A est une telle transformation, AG0 qui est le produit d'une rotation effectuée en P0 d'abord et de A effectuée ensuite, est encore une congruence, et l'on obtient en effet toutes les représentations congruentes du corps de vecteurs de P0 sur celui de P, en faisant le produit de l'une d'elles A par toutes les rotations du groupe ^0 des rotations en P0, celles-ci étant effectuées d'abord. Considérons 2 positions du corps de vecteurs en P0, telles que l'on passe de l'une à l'autre par la rotation G0, les 2 positions qui leur correspondent en P, après la congruence sont évidemment dérivées l'une de l'autre par l'opération AG0A~~l, de sorte que le groupe ^ des rotations en P est identique au groupe AC^qA'1. Les groupes de rotation en P a en P0 ne diffèrent: que par leur orientation, une fois qu'on a établi la connexion métrique de P0 avec son voisinage.

Et si nous passons par continuité de P0 à n'importe quel point P de la multiplicité, nous nous rendons compte aisément que les groupes de rotation en tous les points sont de même espèce; à cet égard la multiplicité est homogène.

Les seules propagations congruentes, que nous ayons à considérer, sont celles par lesquelles les composantes %* d'un vecteur subissent les variations d;* infiniment petites, mais du même ordre que les composantes du déplacement de Pô

dV = dii?

Etant données deux telles propagations L et M de P0 en P, caractérisées respectivement par les coefficients dÀ^, et d[i/., la rotation ML~l est infinitésimale; elle est représentée par les formules

(68) dï = foi ■ 5* avec da< = d^k - <AV.

Nous en tirons la conséquence suivante : l'exécution successive de 2 transformations congruentes infinitésimales du centre P0 aux composantes dx% et Zxi équivaut à la seule propagation congruente aux composantes (dxi + hxï) (à un infiniment petit du 2e ordre près au plus). Si donc pour le passage de

P0 (*•, **, •••, a?») ai» (x?-f-e. x\, ••-. ar») suivant un déplacement e parallèlement au 1er axe de coordonnées :

dV = **{,** est l'expression de la transformation congruente, et si Aj2, A£3 .., Afm ont la même signification pour les déplacements suivant les axes 2, 3... n respectivement, alors pour une translation aux composantes dx^ les équations :

0 = Airdxrkk représentent une propagation congruente.

Parmi les différentes sortes d'espaces métriques, nous allons apprendre à en connaître une par des propriétés internes simples; l'espace réel d'après Pythagore et Riemann fera partie de cette espèce. Le fait que le genre du groupe des rotations ne dépend pas du lieu est une propriété inhérente à l'espace, considéré comme forme des phénomènes; elle caractérise l'essence métrique de l'espace.

Mais la connexion métrique de point en point n'est pas déterminée par l'existence de l'espace, et par suite l'orientation réciproque des groupes de rotation aux différents points de la multiplicité ne l'est pas non plus. Cette connexion est plutôt dépendante du contenu matériel qui peut subir des déformations virtuelles quelconques. Afin qu'aucune restriction ne s'introduise, nous formulons comme premier axiome :

I. — La nature de l'espace est compatible avec tonte connexion métrique possible.

D'après cela, une connexion métrique de P0 avec son voisinage donné par les formules (69) est donc possible dans l'espace. Les formules (69) représentent un système de déplacements congruents de P0 en P pour n'importe quels nombres Ahr prescrits.

A chaque système de coordonnées Xi en Pn, correspond une notion possible du déplacement parallèle : Transport des vecteurs de P0 en P sans altération des composantes dans ce système. Un tel système de déplacements parallèles du corps des vecteurs en P0 en tous les points infiniment voisins s'exprime dans un système de coordonnées, choisi une fois pour toutes, comme nous le savons, par les formules

dV = — dyi ïk avec dyi = Tirdxr, les f satisfaisant aux conditions de symétrie :

(70) nP = p;.,

A chaque système de coefficients symétriques T correspond une définition possible du déplacement parallèle. Pour une connexion métrique donnée, on doit néanmoins ajouter la condition limitative que (( les déplacements parallèles » doivent être des propagations congruentes. La deuxième exigence à laquelle nous devons satisfaire maintenant est celle qui résulte du théorème fondamental de la géométrie infinitésimale : pour une connexion métrique donnée, il y a toujours parmi les représentations congruentes du corps de vecteurs, un seul système de déplacements parallèles. Nous avons considéré provisoirement au § 15, la connexion affine comme un caractère originel de l'espace ; la vraie nature des choses réside plutôt en ce que la notion de déplacement parallèle est déterminée par la connexion métrique, de telle sorte que les déplacements parallèles se distinguent par des propriétés particulières dans l'ensemble des déplacements congruents dont ils sont une partie.

Nous exprimons cette condition par :

II. — La connexion métrique détermine univoqaement la connexion affine.

Avant de pouvoir la formuler analytiquement, nous devons encore nous occuper des rotations infinitésimales. Un groupe continu ^ a r paramètres est une multiplicité r- dimensionnelle de matrices;

si s1, s2, sr sont des coordonnées dans cette multiplicité, il

correspond à chaque système de valeurs des coordonnées une matrice A(slf s2 ....sr) du groupe. Il y a un système de valeurs déterminé — nous pouvons supposer que c'est s. ~s2—. ...Sr ^o, — auquel correspond l'identité E.

Les matrices infiniment voisines de E et qui font partie du groupe, diffèrent de E de :

A tdSi -f- A2ds2 h 1- A Tdsr

Une matrice A est dite une opération infinitésimale du groupe, s'il existe dans le groupe une transformation (dépendante de e) qui coïncide avec £ + eA à un infiniment petit près d'ordre supérieur à e. Les opérations infinitésimales du groupe forment la famille :

(71) g : X, AX + X3A2+ ... XrAr(lesX; sont des nombres quelconques) g est précisément r- dimensionnel, les A sont linéairement indépendants. Car si A est une matrice du groupe, les matrices infinimen voisines de A sont données par la formule A(E-\ eA) où f est infiniment petit et où A parcourt tout l'ensemble g. Si alors g n'était pas r dimensionnel, le voisinage de chaque matrice du groupe ne ïe serait pas; il y aurait des relations linéaires entre

ôA les dérivées —, A dépendrait vraiment d'un nombre de paramè-

124 LE CONTINUUM METRIQUE

très moindres que r. Les opérations infinitésimales déterminent et

engendrent tout le groupe. Si l'on exécute n fois l'opération E + — A

(n étant un nombre qui dépasse tout nombre donné à l'avance), on obtient une matrice finie différente de E et qui fait partie du groupe : / \ \n A A2 A3

A^\S^JA) =*+T! + <ïr+-3T+-

on obtient ainsi chaque matrice du groupe (ou au moins toutes celles qui se laissent atteindre continuement à l'intérieur du groupe à partir, de l'identité) en faisant parcourir à A tout l'ensemble g. Mais n'importe quelle famille de la forme (71) ne donne pas par ce procédé un groupe, les A< doivent remplir certaines conditions d'intégrabilité. On les obtient de la même façon qu'on a obtenu les conditions d'intégrabilité pour le déplacement parallèle dans l'espace euclidien. Partons de l'identité E (si — o) et faisons subir aux paramètres les variations dsi, nous obtenons la matrice A <* = E + dA ; on forme de même pour une autre val iation Ss» la matrice A\z\ ensuite on forme le produit AzAd et l'on rétrograde en effectuant les 2 opérations en sens inverse, ce qui donne le produit A^A^A^Au qui représente une matrice infiniment peu différente de E. Soit, par exemple, d une variation dans la direction du 1er axe de coordonnées et g une variation dans la direction du 2e, nous avons alors à considérer les 2 matrices :

A , = A(s, o, o, . . . , o) et At = A(o, t, o, . . ., o) et le produit

on a :

et par suite :

Asi — A { A s AtA , Aat - E ( d\A

( â*A.t \ \ dsdt )\zl

lim ,sbO, t=o s.t \ dsdt /J5

Puisque Asl appartient au groupe, cette limite est une opération infinitésimale du groupe; on trouve :

— rp- = — A*-h i4~i'AîA, pour / = o d'où :

■ , ' as — AiAî-I-AoA, pour t = o. s = o.

dsdt

D'après cela

A,Aj — A.jAi, comme d'ailleurs AiPu — AiAi doit être une transformation infinitésimale du groupe; ou ce qui revient au même : si A et B sont 2 opérations infinitésimales du groupe, AB - BA en est aussi une. Sophus Lie, auquel nous devons les notions fondamentales et les résultats essentiels de la théorie des groupes continus de transformations 12), a démontré que cette condition nécessaire est encore suffisante. Nous pouvons donc pré-

ciser : Une famille linéaire à r dimensions de matrices est dite un groupe infinitésimal à r paramètres si AB BA est une matrice du groupe quand A et B en sont 2 quelconques. Par l'introduction des opérations infinitésimales du groupe, le problème des groupes ( or.tinus de transformations est « linéarisé ».

Si toutes les transformations du groupe conservent les volumes, la trace de toute opération infinitésimale est nulle, car le développement du déterminant de E + f A suivant les puissances de e commence par les termes : 1 + e. trace (a). — V est une similitude, si pour chaque G du groupé des rotations la transformation UGU~l, ou ce qui revient au même la transformation VGU"~iG~i appartient au groupe ^ des rotations. D'après cela A* est. une opération infinitésimale du groupe des similitudes si, et seulement si, A* A — A A* est une opération qui fait partie de g pour toutes les opérations A de g. Les rotations euclidiennes :

dV = »ÎI* qui sont les transformations linéaires laissant invariante la forme quadratique unitaire.

Q = (V)2 + (S2)2 + + (ln)2

ont été déterminées à la page 39. La condition caractéristique pour elles, c'est que :

l dQ0 = îjVZi* = o, ce qui exige que :

. vki = — y(.

Il s'agit donc du groupe infinitésimal des matrices symétriques

, n(n — i) gauches ; il est évidemment a paramètres. Qu on s en

convainque par le calcul direct ! Si Q est une forme quadratique quelconque qui reste invariante pour les rotations infinitésimales euclidiennes : dQ = o, alors Q ne diffère de Q0 que par un facteur' constant. En effet, si :

Q = aikl%k, (jaa = aki)

on doit avoir pour tout système symétrique gauche de nombres t}*k (~2) ar/cV; -\- ari v% = o

faisons d'abord k = i et remarquons que les nombres u',t'f. .., ' 7 pour un indice i particulier peuvent être choisis arbitrairement à l'exception de i\ qui est nul; on a alors : a, ; = o pour r^ki;

Faisons an = aif alors (72) s'écrit : o*(Oi — ak) = o ; c'est-à-dire a* = a*. #

Le groupe infinitésimal d* des similitudes s'obtient à partir de d en lui associant une matrice E qui représente ici la dilatation infinitésimale dV = e^. Car, si la matrice C = (cf) appartient à d* c'est-à-dire si pour chaque système symétrique gauche u/, le système :

C,Vrk — vrc£ est aussi symétrique gauche, c'est que les ciik = clk + c^ satisfont aux équations (72); par suite auc — Za.ùVj c est-à-dire que C est égal à a£ augmenté d'une matrice Symétrique gauche.

Plus généralement, soit do le groupe infinitésimal des transformations linéaires qui transforment une forme quadratique non dégénérée quelconque Q en elle-même; do et dy ne se distinguent que par l'orientation, si Qf provient de Q par une transformation linéaire. Il n'y a donc qu'un nombre fini d'espèces différentes de groupes infinitésimaux d<j qui se distinguent par l'indice d'inertie de Q. Mais cette différence tombe d'elle-même, si l'on ne se borne pas aux grandeurs réelles, mais qu'on introduise des variables complexes; alors do est de même espèce que d.

Après ces préparatifs, nous pouvons formuler analytiquement les conditions I et II. Soit g le groupe infinitésimal des rotations en P. Nous entendons par A 'kr chaque système de n3 nombres, par kkr chaque système qui n'est composé que par des matrices appartenant à g : (Ai-i), (Afo), ..., (A^„); enfin par \kr un système quelconque de nombres satisfaisant aux conditions de symétrie (70). Si le groupe infinitésimal des rotations est à N paramètres, ces nombres forment respectivement des multiplicités linéaires

à n3; nN et n- ■ ■■■■' — dimensions.

D'après I, quand la connexion métrique parcourt toutes ses possibilités, des systèmes de nombres quelconques A,jt, A^, A/n peuvent représenter les coefficients de n déplacements infinitésimaux congruents suivant les n directions d'axes [voir (69)], alors d'après II [voir (70)] chaque A doit être décomposable d'une manière et d'une seule, d'après la formule :

*»Â-r == A£r 'kr

cela exige que :

1) n3 = nN-h n - ou N = — ,

2) et que l'on n'ait jamais A£r — l"/.r =o sans que tous les A et tous les T s'évanouissent; en d'autres termes un système de nombres A non tous nuls ne peut jamais remplir les conditions de symétrie Ayjr = A; . Supposons, afin de formuler invariantivement cette condition, que l'on obtienne à partir de 2 vecteurs S; et tj et conformément à ces conditions de symétrie un vecteur X, par la loi