EN PHYSIQUE

§ 1. — L'égalité et les concepts spatiaux élémentaires.

Comme nous avons fixé dans le temps un élément ponctuel : l'instant, nous pouvons distinguer dans l'espace divisible à l'infini un élément, un lieu défini avec une précision arbitraire : le point. L'espace n'est pas comme le temps un continu à une dimension ; son extension continue ne se laisse pas décrire au moyen du rapport simple de l'antérieur au postérieur. Mais comme le temps, l'espace est une forme des phénomènes, et l'idée d'égalité en découle immédiatement : lorsqu'une chose reste identique à elle-même,- et qu'on peut imaginer qu'elle occupe une autre place S' que celle S où on la considère dans l'espace, on dira que S' est égal ou con- (jruent à S. A chaque point P de S, correspond un point P' de S', dit son homologue; c'est le point de l'espace qui coïnciderait avec la partie du corps qui primitivement coïncidait avec P.

Cette représentation d'une partie de l'espace sur une autre partie de l'espace, qui fait correspondre au point P le point P' est dite une représentation congruente. En supposant certaines conditions réalisées, nous pouvons effectuer matériellement cette correspondance au moyen du corps solide, c'est-à-dire d'un corps que nous pouvons déplacer ou manipuler sans que son aspect change pourvu que nous soyons toujours dans la même situation relativement à lui; si nous considérons deux positions quelconques du corps solide, la représentation congruente des deux portions d'espace S et S' sera matériellement réalisée. Nous allons montrer, dans une esquisse rapidement tracée, comment on peut déduire tous les concepts fondamentaux de la géométrie de celui d'égalité, et du concept difficile à analyser de continuum. Avant tout, nous distinguerons, parmi les représentations congruentes, les translations, qui seules nous permettront d'édifier la construction axiomatique de la géométrie euclidienne.

D'abord la ligne droite! Sa caractéristique est bien connue: la ligne droite est déterminée par deux de ses points. Toute autre ligne

10 l'espace euclidien

dont deux des points sont fixes peut occuper, par représentation congruente. une autre position.

Soient donc A et B deux points différents; chaque point qui est son propre correspondant lorsqu'on réalise une représentation congruente faisant correspondre A à A et B à B est un point de la ligne droite g = AB (la ligne droite « ne s'écarte d'aucun côté »). Au point de vue cinématique, cela veut dire que nous pouvons considérer la droite comme un axe de rotation. Elle est homogène et constitue un continu linéaire comme le temps; un de ses points A la divise en deux parties, dites demi-droites. Si B et C appartiennent respectivement à chacune de ces deux parties, on dit que A est entre B et C; les points d'une demi-droite sont à gauche de A, ceux de l'autre sont à droite (bien entendu, c'est arbitrairement que l'on distingue laquelle est la droite et laquelle est la gauche).

Soit A' un point à droite de A; g est divisée par A' en deux demidroites; celle qui contient A est dite, la gauche; c'est le contraire si A' est à gauche de A. De là, on tire les rapports de position de deux points quelconques de la droite. Les points de g sont ordonnés par les relations de position, gauche et droite, comme les instants de la durée par les relations : avant et après.

La gauche et la droite sont équivalentes; il y a une représentation congruente, qui laisse A fixe et qui échange les deux moitiés de la droite; toute droite AB se laisse ainsi recouvrir elle-même par retournement (A tombant en B, et B en A); au contraire, la représentation congruente qui, laissant fixe A, transforme les points de la moitié à droite de A en des points de la droite de A et ceux de sa gauche en des points de sa gauche, laisse chaque point de g invariable. L'homogénéité de la droite est une conséquence du fait suivant : on fait coïncider la droite avec elle-même lorsqu'on applique un point A sur un autre A' à la droite du premier, la gauche de A sur la gauche de A', et la partie droite de A sur la partie droite de A'. (Translation de la droite) ; alors un point quelconque B correspondra à un point déterminé B'; par définition nous posons AB = A'B'. Cette égalité exprime simplement ceci que A B peut être amené à coïncider avec A'B' par une translation le long de la droite g. Elle rend possible l'introduction du nombre et par là l'exact recensement des points de la droite, à la condition qu'on ait choisi une unité de longueur 0 E.

Considérons le groupe des représentations congruentes qui conservent la droite g (c'est-à-dire qui font correspondre à un point de g un point de g). Parmi celles-ci, nous avons déjà distingué les rotations qui font correspondre un point de g à lui-même. Comment pouvons-nous, dans le groupe en question, distinguer les translations des rotations? Indiquons d'abord une première voie, qui nous donnera une définition du plan et de la droite par le moyen d'une rotation.

Deux demi droites issues d'un point 0 forment un angle. Un

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angle coïncide avec celui qu'on obtient en échangeant ses côtés. Si l'une des demi-droites restant fixe, on considère la demi-droite opposée à l'autre, on forme un angle dit supplémentaire du précédent. Un angle droit est congruent à son angle supplémentaire. Soit donc h une droite qui est perpendiculaire (c'est-à-dire qui fait avec g deux angles droits) à g en A ; il existe une rotation autour de g qui échange les deux moitiés que A détermine sur h. Toutes les droites perpendiculaires à g en A forment un plan E, perpendiculaire à g. Deux quelconques de ces droites peuvent être amenées à coïncider par une rotation convenable autour de g. Si on échange les deux

moitiés de g comme il a été dit plus haut, A restant fixe, le plan E arrive à coïncider avec luimême dans sa nouvelle position.

Les propriétés du plan découlent de ces deux faits; deux tables congruentes, à symétrie rayonnée autour d'un axe sont planes si leurs plateaux se recouvrent parfaitement quand on applique l'un d'eux par renversement sur l'autre, les axes de symétrie étant dans le prolongement l'un de l'autre. Le plan est homogène. Le point A de E, qui nous paraît tout d'abord un « centre » ne se distingue en rien des autres points; par chacun de ceux-ci, A' par exemple, part une droite g' à laquelle toutes les droites de E issues de A' sont perpendiculaires. Toutes les droites g' relatives à tous les points A' du plan E forment une famille de droites parallèles; g qui en fait partie ne se distingue des autres par aucun caractère essentiel. Les droites de cette famille remplissent l'espace, de façon que par tout point, il en passe une et une seule. Celle-ci d'ailleurs est indépendante du choix de g, de A, et de E qui nous a permis la construction précédente : Si A* est un point quelconque de g, le plan perpendiculaire à g en A*, coupe orthogonalement non seulement g mais aussi toutes les droites de la famille définie plus haut. Les plans E* relatifs à tous les points A* de g, ainsi construits, forment une famille de plans parallèles; eux aussi remplissent tout l'espace complètement et simplement. Il n'y a plus qu'une petite étape pour parvenir à la notion de système de coordonnées rectangulaires. Profitons de ces considérations pour préciser la notion de translation spatiale : la translation est une représentation congruente, qui transforme non seulement g, mais aussi chaque droite de la famille parallèle en elle-même. Il y a une et une seule translation qui amène le point A de g en un point A* quelconque de cette même droite.

Voici une deuxième voie qui aboutit au même résultat. Le caractère distinctif de la translation, c'est que sa définition ne distingue en rien les points de l'espace les uns des autres, tandis que la rota-

12 L'ESPACE Kl KSI IMKN

tion permet précisément de distinguer les points de l'axe de l'ensemble des autres. En ayant présent à l'esprit ce point fondamental, nous allons pouvoir donner de la translation une définition, qui est indépendante de celle que nous avons donnée de la rotation. Par une représentation congruente I,. imaginons qu'un point P corresponde au point P'; nous dirons que P et P' forment un couple de points conjugués. S'il existe une deuxième représentation congruente II, qui transforme chaque couple de points conjugués PP\ en un autre couple quelconque de points conjugués QQ', on dira que II est permutable avec I. Une représentation congruente est une translation si l'on peut trouver une représentation congruente qui lui soit permutable, telle que celle-ci transforme un point A quelconque en une point B quelconque. — Que deux représentations congruentes I, II soient permutables entre elles, cela veut dire que la représentation congruente obtenue en effectuant I et II successivement, est identique à celle qu'on obtient en effectuant d'abord II et ensuite I. Il est évident qu'il existe une translation qui amène un point quelconque A en un point quelconque B; il est évident aussi que si T est une translation, A et B deux points quelconques, non seulement, il existe en vertu de la définition, une translation permutable avec T, mais on peut affirmer aussi que la translation, qui amène A en B, possède la propriété exigée. Donc une translation est permutable avec toutes les autres translations, et une représentation congruente qui est permutable avec toutes les translations est elle-même une translation. L'opération « inverse » d'une translation est une translation : donc les translations forment un groupe 2). Il n'y a pas de translation — sauf l'identité — qui laisse un point A coïncider avec lui-même. Car si cela était et si cette translation faisait passer P en P', il y aurait une représentation congruente qui transformerait à la fois A en P et en P', et par suite P serait identique à P'. Par suite, il n'y a pas deux translations différentes qui fassent passer A en B.

La translation étant ainsi définie sans l'aide de la rotation, on peut encore donner du plan et de la droite, une définition qui ne fasse intervenir que la notion qu'on vient d'éclaircir. En effet, soit a une translation qui amène A0 en Ax; alors Ax va en A3. A, en A3, etc.; A0 de plus vient de A.,, A.., de A? Nous obtenons ainsi, non pas une droite, mais une suite discrète de points équidistants. Si

n est un nombre entier, il existe une translation — qui, si on l'ap-

rt

plique n fois donne le même résultat que si l'on effectue a. Nous

trouvons alors, en l'appliquant à A0, un nombre de points n fois

plus grand sur la droite à construire. Si nous prenons pour n, tous

les nombres entiers, nous obtiendrons un ensemble de points de

plus en plus dense. La ligne droite, pouvons-nous dire, en passant

à la limite et en invoquant notre intuition du continu, résulte de la

même translation infinitésimale répétée indéfiniment, ainsi que son

LES BASES DE LA CKOMi: 1 Kl i: U J 1M. 13

inverse. Un plan résulte de la translation d'une droite g le long d'une autre h; si g et h sont deux droites qui se coupent en A0, on applique à g toutes les translations qui conservent h] l'ensemble des droites ainsi obtenu à partir de g forme le plan (g, h).

La construction logique de la géométrie est ordonnée plus simplement, si l'on borne la notion de représentation congruente à celle de translation (§§ 2, 3). Nous obtiendrons ainsi une géométrie dite affine dans les cadres de laquelle la notion générale de congruence sera introduite (§ 4). L'intuition nous ayant donné les notions nécessaires, nous entrons de suite dans le domaine de la mathématique déductive.

§ 2. — Les bases de la géométrie affine.

Nous désignerons dorénavant les translations a de l'espace sous le nom de vecteurs; plus tard ce nom désignera une notion plus générale que la translation. Si par la translation a le point P passe en Q, on dira : Q est V extrémité du vecteur a dont P est Vorigine. Si P et Q sont deux points quelconques, il y a une et une seule translation a qui fait passer P en Q; nous la désignerons par le vecteur

déterminé par P et Q, vecteur que nous noterons PQ; la première lettre désignant toujours l'origine du vecteur.

La translation c, que l'on obtient en effectuant d'abord a et ensuite b, est dite la somme de ces deux: c a b De cette définition, on tire : 1) la signification de la multiplication (répétition) et de la division d'un vecteur par un nombre entier; 2) la signification de la soustraction, le vecteur — a étant le vecteur qui réalise la translation inverse de a; 3) le sens qu'il faut attacher à la notion du vecteur o; ce vecteur représente la translation qui laisse tous les points en repos. On a : a+O = a; a + ( — a)= O. Le symbole ±mû = Xa, où m et n sont des nombres entiers quelconque, a un sens bien clair; en invoquant la continuité, le vecteur X a, où X est un nombre réel quelconque, représente, d'après tout ce qui a été dit, une translation bien déterminée.

Nous poursuivons cette étude par le système d'axiomes le plus simple de la géométrie affine :