I. Vecteurs

Deux vecteurs a et b déterminent univoquement un vecteur a + b, dite leur « somme » ; un nombre X et un vecteur a déterminent univoquement un vecteur Xa, le « lupt" de a » (multiplication). Ces opérations obéissent aux lois suivantes :

a) Addition :

1) a+b=b+a (commutativité) .

14 l'espace euclidien

2) (a + b) + c = a + (b + c) (associativité) .

3) Si &etc sont deux vecteurs, il y a un et un seul vecteur x pour lequel on ait : a + x = c. Il s'appelle la différence c — a de c et de a. (Possibilité de la soustraction.)

P) Multiplication :

1) 0t + iO a = 0.a) + (fia) (lre loi de distributivité) .

2) X (^a) = (au) a (associativité) .

4) Jt(a + b) = (xa)+(xb).

Les lois (P) sont des conséquences des lois de l'addition pour des multiplicateurs X, \i rationnels. Conformément au principe de continuité, elles s'étendent aux cas où X et n sont des nombres réels quelconques; mais alors nous devons les formuler comme des axiomes puisque nous ne pouvons pas les déduire logiquement sans autre des lois de l'addition. De cette manière, nous n'avons pas à invoquer la continuité géométrique, qui, on le sait, ne laisse pas que d'être difficile à saisir. 4) résume les théorèmes de similitude.

y) L'axiome dimensionnel, qui devrait trouver ici sa place, sera formulé plus loin.