AL.&V

on peut dire que cette relation représente une double rotation infinitésimale qui fait^ passer de $ en t, pour chaque vecteur *] fixe, et de t] à t pour chaque \ fixe, chacune de ces opérations faisant partie de g. Une telle correspondance est une matrice double symétrique. On peut alors présenter les conditions analytiques qui sont les conséquences de I et II, sous la forme suivante :

Le groupe infinitésimal g des rotations possède les propriétés suivantes :

a) la trace de chaque matrice est nulle ;

b) en dehors de zéro, il n'y a dans g aucune matrice double symétrique;

c) le nombre maximum des dimensions de g qui soit compa-

n(n~ 1) tible avec b) est N—

Ces propriétés conservent leur sens dans le domaine des grandeurs complexes. Nous nous rendons compte qu'elles existent pour le groupe d des rotations infinitésimales euclidiennes, c'est-à-dire que les n3 nombres vfo ne satisfont pas à la fois aux conditions

V\k = vïh »ka = — v^

sans être tous nuls. C'est ce que l'on voit en faisant un calcul analogue à celui de la page 110; on écrit les 3 équations qui s'obtiennent à partir de 1% -+- i>ft = o par les permutations cycliques des indices ikl, on additionne la première et la dernière, on soustrait ensuite la deuxième et l'on trouve vlkl = o, en se référant aux conditions de symétrie.

Je tiens pour très probable que d est essentiellement le seul groupe infinitésimal qui satisfasse aux postulats a), b), c); plus précisément, dans le domaine complexe, chaque groupe infinitésimal g satisfaisant à a), b), c) est identique à d moyennant un choix convenable du système de coordonnées. Si cela est, le groupe infinitésimal des rotations est identique à un certain groupe ùq où Q est une forme quadratique non dégénérée. Q est même déterminé par g à un facteur constant près.

Q est réelle si g l'est. Car si Q (où les variables sont réelles) se décompose en : Qx + iQ2, g laisse les deux formes Qi et Qa invariantes; par suite

et parce que Cj + c2t=l ; il faut que l'une au moins des constantes Cj et c2 soit différente de zéro ; par suite Q est une forme réelle, à un facteur constant près.

Les développements du paragraphe précédent seraient ainsi raccordés à une analyse complète de l'espace ; l'on pourrait prétendre avoir trouvé la raison profonde de la validité du théorème de Pythagore dans les bases mêmes les plus solides de l'essence de l'espace 13). Si au contraire la proposition mathématique qui nous a paru probable, n'est pas vraie, les caractères essentiels et distinctifs de l'espace nous échapperaient encore. En fait, j'ai établi que la proposition est vraie pour n = 2, et n = S ; cette démonstration purement mathématique nous entraînerait trop loin.

Je préfère attirer l'attention sur deux points : 1) il ne résulte aucune contradiction avec l'axiome I, de ce que l'on puisse déterminer d'après II non seulement la métrique, mais aussi la connexion

128 LE CONXINUUM MÉTRIQUE

métrique de la même manière en chaque point, et même on peut faire cette détermination le plus simplement qu'il est possible : en chaque point, il y a un système géodésique de telle sorte que le transport de tout vecteur d'un point à un point voisin sans altération de ses composantes, est un transport congruenl; 2) la possibilité de concevoir la métrique pythagoricienne de l'espace comme l'unique métrique, dépend essentiellement de ce qu'on peut faire subir aux rapports métriques des modifications virtuelles; nous sommes ainsi en accord avec la détermination dynamique de la métrique telle que nous l'avons développée plus haut suivant les idées de Riemann et d'Einstein. Ce sont d'ailleurs des considérations de cet ordre — qui ne prêteront plus à aucun doute quand on aura saisi les résultats de la théorie einsteinienne de la gravitation — qui nous ont permis de déblayer les voies conduisant à V intelligibilité de l'espace. Les recherches sur l'espace développées dans ce chapitre II nous paraissent être un bon exemple pour l'analyse critique telle que la conçoit la philosophie phénoménologique (Husserl) ; c'est un exemple typique pour les cas où l'on considère une existence non immanente. Nous voyons par le développement historique du problème de l'espace, combien il nous est difficile d'atteindre des résultats définitifs. Une longue évolution mathématique, la grande extension des études géométriques depuis Euclide à Riemann, la pénétration des lois de la nature depuis Galilée et toutes les impulsions que cette étude a reçue de l'expérience, enfin le génie de quelques grands esprits — Newton, Gauss, Riemann, Einstein — tout à concouru (et tout était nécessaire) pour nous libérer des notions superficielles auxquelles nous serions sans cela encore attachés. En vérité, lorsque le vrai point de vue est atteint, la raison est inondée de lumière et les découvertes qu'elle fait ont alors pour elle le caractère de l'évidence; cependant, elle n'avait pas la force d'atteindre d'un seul coup ce point de vue. Cela devrait calmer un peu l'impatience des philosophes qui croient que l'être peut être atteint par une seule démarche et un seul acte de représentation ; ils ont raison dans l'absolu, mais au point de vue humain, ils ont tort. L'exemple de 1 espace est très instructif pour éclaircir cette question qui nous paraît décisive au point de vue phénoménologique : jusqu'à quel point la démarcation des entités qui surgissent dans la conscience, exprime-t-elle une structure intrinsèque du donné lui-même et jusqu'à quel point n'est-elle qu'une simple convention.