CHAPITRE III

§ ii>. — Le principe de relativité de Galilée.

Nous avons déjà expliqué dans l'introduction de quelle manière on mesure le temps au moyen d'une horloge, et comment on peut, après avoir choisi une origine dans le temps et une unité de temps, caractériser chaque instant par un nombre t. Mais le problème des relations du temps et de l'espace qui forme l'objet de la théorie de la relativité, est l'un des plus difficiles, sa solution, l'un des faits les plus importants de l'histoire de l'esprit humain, est due avant tout à Copernic et à Einstein.

I ne horloge donne des indications sur les rapports temporels de certains événements qui précisément arrivent, là où l'horloge se trouve. Mais naïvement et avec une évidence pleine et entière, tout en percevant à chaque instant les faits qui se trouvent dans notre voisinage immédiat, nous étendons à tout l'univers notre notion du temps ; nous croyons que cela a un sens objectif d'affirmer que tel événement qui arrive n'importe où, a lieu « maintenant » (au moment où nous dirons ce mot); nous oroyors que la question de savoir si, de deux événements arrivés en deux points différents, l'un est antérieur ou postérieur, ou simultané de l'autre, possède en elle-même un sens objectif. C'est bien à cette thèse que nous nous tiendrons d'abord. Chaque événement localisé étroitement dans le temps et dans l'espace, comme par exemple l'éclatement brusque et instantané d'une petite étincelle, se produit en un point déterminé de l'espace-temps, de l'univers comme nous dirons ; d'après la thèse que nous soutenons, à chaque point de l'univers correspond une coordonnée bien déterminée de temps : t. Il s'agit maintenant de fixer le lieu dans l'espace d'un tel événement ponctuel. Nous attribuons une distance, à un moment déterminé, par exemple à deux points matériels. Nous admettons donc que les points de l'univers, qui correspondent à un instant t déterminé, forment une : Multiplicité ponctuelle à trois dimensions, dans laquelle la géométrie euclidienne est valable (nous revenons en ce qui concerne l'espace au point de vue du chapitre I). Nous choisissons une unité de longueur déterminée et un système de coordonnées rectangulaires, à l'instant t (par exemple un coin de la salle où nous nous trouvons). Alors à chaque point de l'univers dont la coordonnée de temps est t,

Wejl. — Temps, Kxpace, Matiïre. 9

nous pouvons attribuer trois coordonnées d'espace déterminées xl , xa , x3 .

Considérons alors un autre instant V. Nous attachons un sens objectif à la mesure de l'espace à l'instant V avec la même unité de longueur qu'au moment t (au moyen d'une règle « rigide » donnée en t ausi bien qu'en t'); une fois pour toutes, fixons cette unité de longueur et l'unité de temps (cm, sec). Mais alors nous pouvons encore choisir arbitrairement la position du système cartésien de coordonnées, indépendamment du choix de t. Mais ce n'est que si nous posons la condition que l'on peut attacher un sens objectif aux propositions suivantes : deux événements ponctuels donnés, non simultanés se passent au même point de l'espace, tel corps est en repos, que nous pouvons fixer objectivement la position du système de coordonnées à chaque instant, l'unité de longueur ayant été choisie une fois; en effet, il suffit que le système de coordonnées soit en repos.

Fig. 7

Alors, après avoir fixé l'origine du temps, chaque point d'univers sera caractérisé par quatre coordonnées déterminées : la coordonnée temporelle et les trois coordonnées spatiales xlt x2, x3. Pour rendre possible une représentation graphique, supprimons une coordonnée d'espace, de telle sorte que, à un instant donné nous admettons que la multiplicité des événements soit située dans un plan euclidien. ,

Nous nous confectionnerons une image en représentant un point d'univers dans l'espace au moyen des trois coordonnées tv x2, t relatives à un système d'axes rectangulaires xlt x2, t. Dans cette image nous pouvons alors construire « l'horaire graphique » de tous les mouvements des points matériels; chacun de ces mouvements sera caractérisé par une « ligne d'univers » dont la direction possède constamment une composante positive parallèle à l'axe des t. Les

lignes d'univers de points matériels en repos sont des droites parallèles à l'axe des t; la ligne d'univers d'une translation uniforme d'un point matériel est une droite. Dans une section plane t = const. on peut lire la position de chaque point matériel au même moment t. Si nous choisissons l'origine du temps et le système cartésien de coordonnées d'une autre manière, nous aurons des formules de transformation de la forme :

/ X = xtix[ -4- a„x.2 -+- a,

(I) < x = a,,a?î -h ot25.T2 -+■ a2 ( 1= l'-ha,

entre les nouvelles coordonnées (x'x, x'.2, i') d'un événement et les anciennes (x1, x2, t); les alf <xa, a sont des constantes, les a,*.- sont les coefficients (constants aussi) d'une transformation orthogonale. Les coordonnées d'univers sont donc déterminées objectivement à une transformation quelconque de l'espèce (I) près. Nous faisons abstraction du choix arbitraire des deux unités de mesure. Si l'origine de l'espace et du temps reste inchangée, a1 = aa = a=o; x'u x'2, V sont alors les coordonnées par rapport à un système de coordonnées dont l'axe des V coïncide avec l'axe des t, et dont les axes des xi et des x.2 ont tourné dans leur plan t = o d'un certain angle. Déjà une réflexion immédiate nous montre que l'une des hypothèses admises : le concept de repos a un contenu objectif, n'a pas de sens*. Si je conviens avec quelqu'un d'un rendez -vous pour demain, « à la même place » où nous sommes en ce moment, cela veut dire que nous nous retrouverons, mon interlocuteur et moi, demain devant le même bâtiment, dans la même rue, au pied de la même statue (toutes choses qui seront, d'après Copernic, fort loin de l'endroit où elles se trouvent aujourd'hui dans l'univers) ; et cela est bien conforme malgré tout au sens commun, par suite des circonstances heureuses qui font que nous sommes nés dans une portion de l'univers qui est essentiellement stable, c'est-à-dire dont les changements globaux sont imperceptibles. Les maisons sont fixes, le navire file tant de nœuds, toutes ces affirmations journalières s'entendent sans qu'on y insiste, par rapport à la « terre invariable dans son aspect ». Seuls les mouvements relatifs des corps l'un par rapport à l'autre ont une signification objective, c'est-à-dire que les éloignements et les angles déterminés par les positions simultanées des points matériels, dans leur dépendance fonctionnelle du temps ont seuls un sens objectif. Chaque système de coordonnées cartésien est donc équivalent à tout autre. La dépendance des coordonnées du même point d'univers par rapport à l'un et à l'autre de deux de ces systèmes est donnée par les formules : ( x, = «„(*') xi'-+ «„(0 *»-r-««C)»

(II) ] X, = aM(0 X\ -t- ai2(t') 4 -f- a2(*'),

* Aristote avait déjà vu cela clairement : le « lieu » (tôtoç) iésigne chez lui une relation d'un corps aux corps qui sont dans son voisinage.

133 RELATIVITÉ DE L 'ESPACE ET DU 1 -'Mrs

où les en peuvent être des fonctions continues de (', arbitraires à ceci près que les valeurs des a,* pour une valeur déterminée de t1, sont les coefficients d'une transformation orthogonale. Les surfaces t' = const sont encore des surfaces t = const, dans notre représentation graphique, mais les surfaces ri = const, ou x'„ = const ne sont plus des plans dans le système (ar,, x2, t) mais des surfaces courbes ; les formules de transformation ne sont plus linéaires.

Dans ces circonstances, lorsqu'on aura à étudier le mouvement d'un système matériel, les planètes par exemple, il ne s'agira que de choisir le système de coordonnées par rapport auquel les fonctions xt{t), x2(t) qui représentent les coordonnées d'espace pour chaque instant du temps, soient le plus simple possible, ou satisfassent à des lois simples. Ce fut la découverte de Copernic, approfondie par Kepler, de montrer qu'il existe un système de coordonnées pour lequel les lois du mouvement des planètes prennent une forme extrêmement plus simple et plus suggestive que si l'on rapporte ces mouvements à la terre supposée immobile. Avant tout, ce qui est à la base des recherches de Copernic, c'est qu'il se libéra de la croyance à la signification absolue de la terre considérée comme repère. Ses considérations, de même que celles de Kepler, sont de nature purement cinématique. Newton couronna leur œuvre en découvrant dans la loi d'attraction et dans les lois de la mécanique, la raison d'ordre dynamique qui rend compte des lois cinématiques de Kepler. On sait de quelle façon éclatante la mécanique newtonienne a été confirmée tant dans le ciel que sur la terre. Puisque sa validité n'est pas bornée au système solaire, et que ses lois ne sont pas invariantes vis-à-vis des transformations (II), c'est donc qu'il est possible d'une manière absolue et indépendante de toute contingence, de spécialiser, grâce à cette mécanique, le système de coordonnées d'une façon beaucoup plus restrictive que par les considérations einématiques qui ont conduit au « principe de relativité » (II).

En tête de la liste des propositions de la mécanique, se formule le principe galiléen d'inertie : un point matériel qui n'est soumis à aucune force et à aucune action extérieure, se meut réel dignement avec une vitesse uniforme. Sa ligne d'univers est par suite une droite ; les coordonnées spatiales (xlt x2) du point matériel sont des fonctions linéaires de t. Si ce principe est .valable pour deux systèmes de coordonnées liés par les relations (II), les #, et les x2 doivent se transformer en des fonctions linéaires de t', si l'on y remplace x\ et x', par des fonctions linéaires de t'. Il s'ensuit que les iik doivent être des constantes, et que a, et a, doivent être des fonctions linéaires de V ; c'est-à-dire qu'un système de coordonnées cartésien se meut relativement à un autre suivant une translation rectiligne et uniforme, si le principe d'inertie est vrai pour les deux. Réciproquement, soient C et C, deux systèmes de coordonnées, si pour C les lois de la mécanique newtonienne et le principe

d'inertie sont valables, et si C et C sont liés suivant les relations (II) où les oLik et les a.i ont été spécialisés comme il vient d'être dit, alors les lois de la mécanique newtonienne sont valables aussi pour C Deux systèmes de coordonnées pour lesquels la mécanique newtonienne est valable sont donc liés par les équations :

(î 1 1 ) a-, == a21.r,' -+- i.2ix\ H- 72 t' -4- a,,,

f •/ se t-+- «,

où les cluc sont les coefficients constants d'une transformation orthogonale, a, les ^ et les y* des constante? arbitraires; et chaque transformation de cette espèce représente le passage d un système de coordonnées à un autre où les lois de la mécanique sont les mêmes que dans le premier. (Principe de relativité de Galilée-Newton.)

L'essentiel de ces résultats, si nous faisons abstraction de l'arbitraire évident qui s'attache à la direction des axes, c'est que les lois de la mécanique sont invariantes, vis-à-vis des transformations :

(1) a-, = x\ -h y,/', x2 =a ê't ■+■ Yi'', t = /'.

Dans notre graphique (fig. 7), les r,. x',. t' seraient les coordonnées relativement à un système d'axes dont les axes des x\ et des x coïncideraient avec le système (xlt x2), tandis que l'axe des V aurait une direction quelconque.

Que les lois de la dynamique newtonienne ne soient pas altérées quand on passe d'un système (C) à un système (C) par les relations (III), c'est un fait dont on se rend compte de la manière suivante : D'après la loi d'attraction, la force de gravitation avec laquelle un point matériel agit à un instant donné sur un autre point matériel, < st représentable par un vecteur spatial indépendant du système de coordonnées. N'importe quelle autre force de nature physique doit être susceptible d'une même représentation, pour qu'on puisse lui appliquer les hypothèses de la mécanique newtonienne ; on se rend compte, par exemple, que les tensions de la théorie de l'élasticité sont bien de l'espèce exigée. La masse est un scalaire indépendant du système de coordonnées ; enfin à cause de (1) on a pour le mouvement d'un point matériel, les relations :

dn dr[ rfrs dx'2 dît\ d%x\ dit dix'i

~dT~~= ^r+ï1' HT ~= IF^^2, 'd^==~d7, ~dT=~d~F

qui montrent que l'accélération, et non pas la vitesse, est un vecteur d'espace indépendant du système de coordonnées choisi. Par suite, la loi fondamentale :

masse x accélération = force

possède bien l'invariance annoncée.

D'après la mécanique newtonienne, le mouvement du centre de gravité d'un système matériel fermé, ne subissant aucune action de l'extérieur, est une translation rectiligne uniforme. Si nous admet-

tons que le soleil et les planètes constituent un tel système, il n'y aurait pas de sens à demander si le centre de gravité du système solaire se trouve en repos ou bien s'il a un mouvement de translation uniforme. Quand les astronomes affirment malgré cela, que le soleil se dirige vers un point du ciel situé dans la constellation d'Hercule, ils appuient leurs affirmations sur l'observation statistique que. les étoiles semblent en moyenno s'écarter radialement de ce point, comme les arbres d'une forêt dont on s'aj proche, semblent s'écarter du point vers lequel on se dirige ; s'il est vrai qu'en moyenne les étoiles sont au repos, c'est-à-dire que le centre de gravité du système des étoiles fixes est en repos, l'affirmation des astronomes n'est qu'une proposition sur le mouvement du centre de gravité du système solaire relativement au centre de gravité du système des étoiles fixes.

On doit s'habituer à penser non plus dans l'espace, ni dans le temps, mais dans l'univers ou V espace-temps pour bien saisir la signification du principe de relativité. .Ce n'est que la coïncidence de deux événements dans l 'espace-temps qui a un sens immédiat. Que l'espace et le temps ne se laissent pas séparer d'une manière absolue, telle est l'affirmation du principe de relativité. Conformément à la conception mécanistique du monde suivant laquelle tous les phénomènes physiques se réduisent en dernière analyse à la mécanique, nous admettons que, non seulement la mécanique, mais encore tout l'ensemble des lois de la physique, sont soumis au principe de relativité galiléo-newtonien, de telle façon qu'il est donc impossible de faire un choix plus étroit parmi les systèmes de coordonnées équivalents pour la mécanique, dont deux quelconques sont liés par les formules (III). Par suite de cela, la géométrie de l'univers quadridimensionnel est établie précisément dans le même sens où l'on entend que la géométrie euclidienne est établie dès que l'on connaît le groupe de transformations qui permet de passer d'un système cartésien à un autre système cartésien. Une relation entre deux points d'univers a un sens objectif dans le cas seul où elle s'exprime par des équations entre les coordonnées des points qui restent invariantes pour les transformations (III). On dit de l'espace qu'il est homogène en tous les points, et en chaque point dans toutes les directions ; ces propositions ne sont que des parties de l'énoncé complet du principe d'homogénéité suivant lequel tous les systèmes de coordonnées cartésiens sont équivalents. De la même manière, le principe de relativité indique dans quel sens précis il faut entendre la proposition suivante : l'univers est homogène (l'univers étant l 'espace-temps, considéré comme « forme » des phénomènes). Il est assez curieux de remarquer que deux phénomènes mécaniques, qui sont complètement équivalents au point de vue cinématique, peuvent être différents au point de vue de la dynamique, comme le montre l'opposition des deux principes de relativité exprimés par (II) et par (III) ; celui-là étant beaucoup plus étendu que celui-ci :

une sphère liquide en rotation ou un volant de machine qui tourne ne sont pas en soi différents d'une sphère en repos ou d'une roue en repos; néanmoins la sphère en rotation s'aplatit, celle qui est en repos garde sa forme, et le volant qui tourne est le siège de tensions internes qui peuvent le faire éclater si la vitesse est trop grande, tandis que le volant en repos ne présente rien de semblable. La cause de ces différences ne peut résider que dans « la métrique de l'univers » qui se manifeste comme une puissance agissante dans la force centrifuge. De ce point de vue, on peut faire jaillir quelque lumière sur les idées de Riemann : si, à la métrique (et ici il faut entendre la métrique d'univers et non pas la métrique spatiale) correspond quelque chose dont la réalité se manifeste par des forces agissant sur la matière comme par exemple le tenseur d'élasticité, il faut bien admettre qu'inversement la matière agit sur ce quelque chose. Ce n'est d'ailleurs que dans le Chapitre IV que nous développerons cette idée. Insistons tout d'abord sur le fait que les formules (III) sont linéaires ; cela veut dire que l'univers est un espace quadridimensionnel euclidien affine. Pour en faire une représentation géométrique systématique, nous utiliserons à côté des points d'univers, les vecteurs d'univers. Un déplacement d'univers, est une transformation qui fait correspondre à chaque point P un point P', de telle façon que les coordonnées de P'(x'0,x'i,t'z, x'3) s'expriment au moyen des coordonnées de P(x0, xït x2, xs) par les relations :

a-|=Xi + Oi (i = 0, 1, 2, 3)

(on a écrit x0 à la place de t), les a\ étant des constantes. Cette notion est indépendante du choix du système de coordonnées parmi ceux qui sont admissibles. Le déplacement qui conduit de P en P' sera désigné par PP' . Parmi les points et les vecteurs d'univers, les axiomes de la géométrie affine sont valables moyennant qu'on fasse égal à 4, le nombre n des dimensions. Le principe d'inertie galiléen est une loi affine ; il dit par quels mouvements les lignes droites de notre univers affine sont réalisées.

Passons du point de vue de l'affinité au point de vue métrique. Sur notre représentation graphique qui (par la suppression d'une coordonnée) nous donnait une image affine de l'univers, nous voyons que sa structure métrique essentielle n'est pas autre chose que celle d'un espace euclidien; l'univers est « stratifié », les plans t = const. (x0 = const.) y ont une signification absolue. Après avoir fait choix d'une unité de mesuré pour le temps, deux points d'univers A et B déterminent une différence de temps, la composante temporelle du vecteur AB = x ; c'est une forme linéaire, t(x) du vecteur x, comme le sont, en général, les composantes d'un vecteur dans un espace affine. Le vecteur x est dirigé vers le passé ou vers l'avenir suivant que t(x) est négatif ou positif. De deux points d'univers A et B, l'un A, par exemple, est antérieur, simultané ou postérieur à l'autre B suivant que

t(AB)>o, =o, ou <o.

Dans chaque « couche » la géométrie euclidienne est valable ; elle repose sur une forme quadratique définie, qui n'a de sens que pour les vecteurs d'univers x, qui sont dans une couche, c'est-à-dire ceux pour lesquels t(x) = o (car la distance de deux positions simultanées de deux points matériels a seule un sens). La métrique euclidienne reposant sur l'existence d'une forme quadratique définie positive, la métrique galiléenne repose alors :

1) Sur l'existence d'une forme linéaire t(x) du vecteur quelconque X (la « durée » du déplacement x) ;

2) Sur l'existence d'une forme quadratique définie positive (x, x) (le carré de la longueur de x), cette existence ne se manifestant qu'à l'intérieur de la multiplicité linéaire tri-dimensionnelle formée des vecteurs x pour 'lesquels f(x) = o.

Pour la représentation intuitive des rapports physiques, nous ne pouvons pas nous priver de l'introduction d'un système de référence déterminé. Cette introduction dépend du choix d'un vecteur e arbitraire dans l'univers (celui suivant lequel est dirigé l'axe des temps dans la représentation graphique), et elle se trouve réalisée par le fait que tous les points d'univers qui se trouvent sur une même parallèle au vecteur e tombent tous au même point de l'espace. Il lie s'agit pas d'autre chose, géométriquement parlant, que d'une projection parallèle. Afin d'obtenir une formulation convenable, nous allons exposer quelques éclaircissements géométriques, relatifs à un espace affine, n- dimensionnel quelconque.

Attachons-nous, à cause de son intuitivité, au cas de n = 3. Soit dans l'espace une famille de droites parallèles à un vecteur e (=^o). Si quelqu'un regarde dans l'espace de façon que son rayon visuel suive une telle droite, il n'en verra qu'un point; il n'est par suite pas nécessaire de se donner un plan sur lequel on projette. Nous posons les définitions :

Soit e^o. De 2 points A et A1 tels que A A' soit un multiple de e nous disons qu'ils tombent dans un seul et même point A du sousespace déterminé par e. Nous pouvons représenter A par la droite parallèle à e, sur laquelle se trouvent tous ces points A, A' qui coïncident dans le sous-espace.

Puisque chaque déplacement x de l'espace transforme une droite parallèle à e en une droite qui est encore parallèle à e, c'est que x engendre un déplacement déterminé X du sous-espace ; mais deux déplacements X et x' coïncident dans le sous-espace si leur différence est un multiple de e.

Le passage au sous-espace ou la projection dans la direction de e sera désigné symboliquement par l'emploi de caractères gras pour les points et de capitales grasses pour les vecteurs. Par projection :

A.x, x + y, AB se transforment en XX, XY, AB ; c'est-à-dire que la projection conserve le caractère d'affinité, et que dans le sous-espace la géométrie affine est valable avec un nombre

de dimensions moindre d'une unité que le nombre des dimensions de l'espace complet.

Si l'espace est un espace métrique au sens euclidien, c'est-à-dire si la métrique y provient d'une forme quadratique Q(x) = (x,x) non dégénérée, que nous supposerons être définie positive pour nous en Unir au cas intuitif, sans d'ailleurs altérer la généralité de ce qui va suivre, nous pourrons prescrire une distance aux deux points du sous-espace, considéré comme les représentations en quelque manière de deux droites parallèles à e que l'on regarde de bout, cette distance étant évidemment égale à la longueur de la perpendiculaire commune aux deux droites. Formulons cela analyliquement. Supposons : (ee) = e=£0, chaque déplacement x peut être décomposé en deux parties :

(2) x = se + x\

dont la première est proportionnelle à e et dont la deuxième est orthogonale à e,

Nous appellerons % la hauteur du déplacement x (la différence des

hauteurs de A et B, si X = AB).

L'on a :

(4) (xx) = cl2+ (x*x*).

x est donc complètement caractérisé par sa hauteur l et par le déplacement X que suscite x dans le sous-espace. Nous écrivons :

L'espace complet est décomposé en hauteur et sous-espace ; la différence de position (ou vecteur de jonction) x de deux points de l'espace complet est décomposé en la différence de hauteur | des deux points, et la « différence de position » X dans le sousespace ; non. seulement l'énoncé de la coïncidence de deux points dans l'espace a un sens, mais encore les deux propositions suivantes en ont un : deux points coïncident dans le sous-espace ; ou deux points se trouvent à la même hauteur. Chaque translation X du sous-espace est suscité par une, et par une seule translation x* de l'espace entier, perpendiculaire à e ; la relation entre x et x* est réciproque et univoque, elle est affine. Par l'équation de définition :

nous octroyons au sous-espace une métrique qui repose sur la forme fondamentale (XX); alors (4) se transforme en l'équation fondamentale de Pythagore

que l'on peut généraliser évidemment sans. autre explication en (5') (x,y) = e^ + (X,Y).

L'application de tous ces résultats géométriques à l'objet qui nous préoccupe est évidente : l'espace entier est l'univers quadri-

dimensionnel, e est un vecteur quelconque dirigé vers l'avenir; le sous-espace est ce que nous appelons généralement l'espace. Deux points d'univers qui sont sur une ligne d'univers parallèle à e tombent en un même point de l'espace ; ce point de l'espace peut être représenté graphiquement par une droite parallèle à e, ce serait alors la ligne d'univers d'un point matériel constamment au repos. Mais en ce qui concerne la métrique, celle-ci est d'une autre espèce que celle que nous avons admise conformément au principe de relativité de Galilée ; c'est pourquoi nous y apporterons quelques modifications. Chaque translation d'univers x a une durée déterminée t(x) = t (qui tient la place de la hauteur dans nos analyses géométriques) et engendre dans le sous-espace une translation X ; conformément à cela, on décompose en temps et en espace suivant le schéma :

x = t\ X En particulier, chaque translation X de l'espace est engendrée par une, et une seule, translation d'univers x* qui satisfait à t(x*) = o. Par la forme quadratique qui est définie au moyen de X*, soit (x*x*), on donne à l'espace sa métrique euclidienne

L'espace est dépendant de la direction de projection ; en réalité la direction de projection peut être donnée par n'importe quelle translation uniforme d'un point matériel (ou du centre de gravité d'un système matériel).

Nous avons analysé ces choses avec une précision quelque peu pédante, afin de pouvoir saisir rapidement le sens analytique du principe de relativité d'Einstein.

Nous revenons alors au domaine physique. Grâce à la découverte que la lumière a une vitesse de propagation finie, l'idée naïve que les choses sont simultanées avec la perception que nous en avons, devient insoutenable. Puisque nous n'avons pas un moyen de transport de l'heure plus rapide que la lumière elle-même (ou que la T. S. F.), il est naturellement impossible d'obtenir la vitese de la lumière par la mesure du temps qui s'écoule entre l'envoi d'un signal lumineux expédié d'une station A et sa réception à une autre station B. Rœmer (16757 la calcula grâce à une irrégularité apparente dans la révolution des satellites de Jupiter, irrégularité dont la période est précisément une année; il paraissait absurde d'admettre que cette irrégularité fût due à une action de la terre sur les satellites de Jupiter, cette action ne pouvant causer une perturbation aussi importante sur leurs mouvements.

Fizeau confirma la découverte par des mesures terrestres ; sa méthode repose sur l'idée fort simple de faire coïncider la station réceptrice B avec la station expéditrice A, grâce à la réflexion d'un rayon lumineux issu de A sur un miroir perpendiculaire à sa direction. D'après ces mesures, nous devons admettre que la lumière se propage avec une vitese constante c autour du centre d'émission sui-

vant des sphères concentriques. Dans notre représentation graphique (toujours en supprimant une coordonnée), la propagation d'un signal lumineux issu de 0 est représentée par le cône circulaire droit (fig. 7) :

Chaque plan t = const. coupe le cône suivant un cercle dont la circonférence est le lieu des points atteints par le signal à l'instant t ; l'équation (6) est satisfaite par tous les points d'univers qui sont atteints par le signal (on doit bien entendu supposer £>o dans l'équation [6]). De nouveau la question se pose de savoir quel système de référence est à la base de cette description du phénomène.

L'aberration des étoiles fixes, montre que la Terre se meut relativement à chaque étoile conformément aux lois de Newton, ce qui veut dire que chaque étoile peut être considérée comme un système de référence propre au sens de la mécanique newtonienne. Mais d'autre part, la propagation par sphères concentriques n'est certainement pas invariante vis^à-vis des transformations galiléennes (III) car un axe des V incliné coupe dans la figure 7, les plans t = const en des points qui sont excentriques aux cercles de propagation Malgré tout, cela n'est pas une objection contre le principe de relati vite galiléen, si l'on admet la représentation habituelle delà physique suivant laquelle la lumière se propagerait dans un milieu : Véther lumineux, dont les particules sont mobiles les unes par rapport aux autres. Il se comporte alors vis-à-vis de la lumière comme la surface de l'eau sur laquelle une pierre qui la frappe engendre des ondes concentriques ; de ce phénomène on ne peut certes pas conclure que les équations de l'hydrodynamique contredisent le principe de relativité galiléen. Car le milieu même, l'eau ou l'éther, dont les particules, abstraction faite de petites oscillations, sont en repos les unes par rapport aux autres, fait l'office de système de référence pour lequel l'affirmation de la propagation concentrique est vérifiée.

Pour une discussion plus approfondie de cette question, nous développerons tout d'abord une théorie à laquelle l'optique est indissolublement liée depuis Maxwell : la théorie des champs électromagnétiques variables.

§ 20. — Electrodynamique des champs variables avec le temps. Théorème de relativité de Lorentz.

Le passage des champs électromagnétiques stationnaires aux champs variables a appris ce qui suit :

1) Ce que nous appelons courant électrique est bien un déplacement d'électricité; si nous faisons tourner un fil circulaire chargé, il engendre un champ magnétique, suivant la loi de Biot et Savait ;

p étant la densité de la charge, v la vitesse; la densité de ce courant de convection s est bien égale à?v; cependant pour conserver la loi de Biot et Savait sous son ancienne forme, il nous faudra changer d'unité; nous poserons donc s= — , où c est une constante

uriverselle ayant les dimensions d'une vitesse. L'expériein e réalisée déjà par Weber et Kohlrausch, puis reprise plus tard par Rowland et Eichenwald, a fourni pour c une valeur qui. aux erreurs d'observation près, coïncide avec la vitesse de la lu-

mière 2). On prend - = p' comme mesure électromagnétique de la

densité de charge, et, pour donner aussi en unités électromagnétiques à la densité de force électrique la valeur p'e, on prendra e' = ce comme mesure électromagnétique du champ.

2) Un champ magnétique variable induit un courant dans un fil homogène : on peut le déterminer grâce à la loi matérielle s = oe et à la loi de Faraday sur l'induction qui s'énonce ainsi : la force électromotrice induite est égale, au signe près, à la dérivée par rapport au temps du flux d'induction magnétique embrassé par le conducteur, soit

(7) f<*=-^fb.

(le premier membre est l'intégrale de la force électromotrice prise suivant une courbe fermée, le second membre est l'intégrale de surface de la composante normale de l'induction magnétique, étendue à une surface limitée par la courbe). Le flux d'induction est parfaitement déterminé, sans ambiguité, par le seul contour, al tendu qu'il n'existe pas de magnétisme vrai, c'est-à-dire attendu que :

(80 div b = o

Le théorème de Stockes nous permet de tirer de (7) la loi différentielle :

8 rot e h — = o.

c ot

L'équation de l'électrostatique : rot e = o est complétée ici par l'addition à son premier membre d'un terme résultant d'une dérivation

par rapport au temps: -.Toute l 'électrotechnique repose sur

cette équation, et la nécessité de l'introduction du dernier terme est complètement justifiée par l'expérience.

3) Au contraire, au temps de Maxwell, le terme par lequel se complétait l'équation fondamentale du magnétisme

rot h = s était douteux. Dans un champ variable, par exemple, pendant la décharge d'un condensateur, on n'a plus :

div s = o

ELECTR01>Y\ WIHjl B DES 0HAMP8 VARIABLES AVEC LE TEMPS 141

mais bien plutôt « l'équation de continuité » :

(10) --l-div s = o

c ut

exprimant le fait que le courant est un mouvement d'électricité.

\ dd

Comme p — divd, -ce n'est plus s, mais s+— -y-dont la divergence

c si nulle, el l'on est amené à substituer, pour des champs variables

à l'équation (9), l'équation :

,.., I Jd

(il roth s s.

c ut

A côté de (11) nous avons toujours comme auparavant :

(11') divd = o

Inversement (11) et (11') entraînent l'équation de continuité (10).

ldd

C est I introduction du ternie différencié par rapport au temps - —

(du courant de déplacement de Maxwell) qui entraîne la propagation des perturbations électromagnétiques dans l'éther avec la vitesse finie c ; ce terme est à la base de la théorie électromagnétique de la lumière, qui a pu si merveilleusement expliquer les phénomènes optiques et qui trouve une confirmation expérimentale directe et une utilité technique, dans les recherches classiques de Hertz et la radiotélégraphie actuelle.

D'après cela il est manifeste que ces lois s'appliquent aux systèmes de référence dans lesquels la propagation de la lumière se fait par ondes spliériques, soit à l'éther lumineux « au repos ».

Aux équations du champ de Maxwell (8) et (87), (H) et (11')» il faut adjoindre les lois relatives à la matière. Mais ici nous nous limitons à l'étude des états de l'éther; alors :

d=e; h=b et les équations de Maxwell se formulent ainsi :

(12,) roi en — = o, divb = o;

c ut

(12,) rotb r—— = s, dive = p.

v -' c ôt

Dans la théorie électronique, on considère ces équations comme

sv absolument générales et rigoureuses ; on pose en outre s= — , où v

est la vitesse de la matière à laquelle adhère la charge électrique.

La force agissante sur les masses est due aux champs électrique et magnétique ; sa densité est :

(13) p = pe + fsb]

Comme s est parallèle à v, le travail effectué par les électrons dans l'unité de temps et dans l'unité de volume est : pv =b pe.v = c(se) = s.e'

Ce travail sert à accroître l'énergie cinétique des électrons, énergie qui est transmise partiellement, en vertu des chocs, aux molécules neutres. Cet accroissement d'énergie moléculaire se manifeste dans l'intérieur des conducteurs sous forme de chaleur de Joule. En fait, l'observation montre bien que s-e' est la quantité de chaleur engendrée par le courant, dans l'unité de temps et pour l'unité de volume; cette énergie consommée est évidemment fournie par la génératrice de courant. Multiplions (12J par — b,(12a) par e, et ajoutons; il vient :

— cdiv [eb] — jt (£e2 + £b2) = c(se).

Posons ♦

[eb] = S £e2 + \h2 = W

et intégrons dans un volume V quelconque :

A ÇwdV-^c Csndo = Cc(se)d V ;

le deuxième terme du premier membre représente l'intégrale prise sur la surface limitant V, de la composante Sn suivant la normale intérieure. Au second membre figure le travail exécuté dans le volume V, pendant l'unité de temps ; il est compensé par la diminution de l'énergie du champ contenue dans V et par l'énergie qui y pénètre de l'extérieur. Notre équation traduit donc la loi de l'énergie : elle confirme définitivement l'expression donnée précédemment pour l'énergie du champ et nous montre de plus que cS, qu'on appelle le vecteur de Poynting, représente le courant d'énergie.

Lorentz a intégré comme suit les équations (12), en supposant connue la distribution des charges et des courants.

On satisfait à l'équation : div b = o en posant :

(H) — b = rot f

( — f= potentiel vecteur). Portant cette valeur dans la première

i ()f équation, on trouve que le tourbillon de e - — est nul ; on peut

donc écrire :

(15) e--— = grade?

( — f est le potentiel scalaire). L'arbitraire qui existe dans la détermination de f nous permet d'imposer la condition supplémentaire •.

hdiv f = o

c àt

qui nous paraît la plus indiquée (puisque dans un champ constant div f = o). Introduisons les potentiels dans les équations (12x et 123). il vient immédiatement :

Une équation de la forme (16) représente une propagation d'ondes avec la vitesse c. En effet, de même que l'équation de Poisson A<p = o a pour solution

l'équation (16) est vérifiée par :

au premier membre figure la valeur de 9 en un point 0 au temps t,

r est la distance à 0 du point-source P par rapport auquel on intègre,

et la valeur entrant dans l'intégrale est celle de la densité p en P

r au temps / De même la solution de (16') est :

« fM

Le champ en un point 0 ne dépend donc pas de la distribution au même instant des charges et des courants ; l'instant qui intervient

r dans l'action d'un point P quelconque 'est antérieur de — , c'est-àdire du temps que met une action émanant de P, et dont la vitesse de propagation est c, à atteindre 0.

De même que (en coordonnées cartésiennes) le laplacien

d2<? d*o ^2<p àx\ àx\ ôx\

reste invariant pour toutes les transformations linéaires effectuées sur les variables xlt x2, x3, qui conservent la forme quadratique

x? -+- x\ -+- x'I, de même en passant du champ constant au champ variable nous rencontrons l'expression : (le dalembertien Q <p) 1 d*y 0*0 d2<ï ()-'i "c1 ~ôF '"* HxJ + "^rf ~*~~àxj

qui reste invariante pour toutes les transformations linéaires effectuées sur les quatre coordonnées t, x1, x2, x3 (transformation de Lorentz), qui conservent la forme quadratique indéfinie : (17) — cs/2 -h x? + .r; -h j-|.

Lorentz et Einstein ont reconnu que, non seulement l'équation (16), mats tout le système des lois électromagnétiques dans Véther possède cette propriété d'invariance, ces lois 9' exprimant pur des relations tensorielles invariantes dans un espace affine à quatre dimen-

sions de coordonnées t, xx, x2,x3 dont la forme indéfinie (17) fixe la métrique : c'est le théorème de relativité de Lorentz- Einstein.

Dans la démonstration, nous changerons d'unité de temps en posant : ct = x0 ; les coefficients de la forme métrique fondamentale sont alors :

Qik = o (i 4: k) ; ga = £i, où e0 = — 1, e1=£2 = e3=+l. Si l'on veut transformer les composantes covariantes d'un tenseur en ses composantes contra variantes, il suffira de multiplier la ime par ej, par exemple :

donc :

Ti = eiTi puisque — =ej.

L'équation de continuité (10) prend la forme invariante cherchée :

si l'on fait :

s0 = p; S1, s2, s3 égales aux composantes du courant ; le vecteur ainsi obtenu (à 4 dimensions) est dit « l'hypercourant ».

De la même manière (cp. 16 et 16'), nous devons réunir les potentiels scalaires et vecteurs pour en faire les composantes contra va riantes d'un hypervecteur que nous appellerons le potentiel électromagnétique

„o . „l „2 ..S f I fî f3 .

9 = >?•?•?' ? =**).»»* • les composantes covariantes seront les mêmes pour les indices 1, 2, 3, mais <?0 = — <?.

Les équations (14) et (15) exprimant les champs b et e en fonction des potentiels se mettent dès lors sous la forme invariante :

(18) MZ«>JFl,.