rk Ôx

Ainsi les champs électriques et magnétiques sont réunis dans un

même tenseur linéaire du second ordre, le « champ ».

De (18), on tire les équations invariantes :

àFû âFu <)Flk 19) ~£i -h — -ii- -+- — -!=- = o.

oxl dxk ox,

qui constituent le premier système d'équations de Maxwell (12J Nous avons fait un détour en utilisant la solution de Lorentz au moyen des potentiels, mais c'est ce qui nous a conduits tout naturellement à passer des grandeurs à 3 aux grandeurs à 4 dimensions, vecteurs ou tenseurs.

Passons aux composantes coatfavariantes, on a :

le second système d'équations de Maxwell peut s'écrire maintenant sous forme tensorielle invariante, dans l'espace à 4 dimensions :

Introduisons l'hypervecteur de composantes covariantes : (21) Pi = Fus1*

et de composantes contravariantes

pi = Fihsk (nous omettrons maintenant le signe "V pour alléger l'écriture) ;

alors : p° est la densité de travail, ou le travail par unité de temps et de volume : p° = (se), (n'oublions pas que l'unité de temps doit correspondre à notre nouveau choix x0 = et) et p1, p2, p8 sont les composantes de la densité de force.

Le théorème de relativité de Lorentz est ainsi complètement démontré. Mais nous remarquons en même temps, que les lois obtenues s'expriment exactement comme celle du champ magnétique constant |~§ 9, (62)] par simple transposition de l'espace à 3, à l'espace à 4 dimensions. Sans nul doute, c'est dans les formules tensorielles de l'espace quadridimensionnel que se manifeste leur véritable harmonie mathématique, imparfaite auparavant. De là, résulte encore la possibilité d'obtenir pour l'hyperforce une expression semblable à celle de la force dans l'espace à 3 dimensions : l'hyperforce dépend comme suit d'un tenseur symétrique S à 4 dimensions : (la tension).

ds" âsik

(22') S!j = FirFto—- Sf | F 2.

I F I * = è FihFik est le carré (non nécessairement positif) du module du champ. Etablissons directement la formule (22), nous avons :

dxk dx/c dxk 2 dxi '

mais le premier terme du second membre est :

— F, y = — piy

le deuxième devient en écrivant d'une manière symétrique le coefficient de Fkr :

2 \ àxk dxr ) ajouté au 3e, il donne :

2 \ ôxi dxk dxr) ce qui est nul, en vertu de (19).

Weyl. — Temps, Espace, Matière. 10

| F |2 est égal à b2 — e2. Cherchons la signification des diverses composantes de Sik en distinguant, pour la décomposition en espace et en temps, l'indice o des indices 1, 2, 3. S00 représente la densité d'énergie W = % (e2 + b2), les Soi représente les composantes de S = [eb] (i=l, 2, 3) les Sik représentent les composantes du tenseur de Maxwell (i,k = 1, 2, 3) tenseur comprenant deux parties, l'une électrique, l'autre magnétique, que nous avons déterminées au § 9. L'équation (22), d'indice zéro, exprime la loi de conservation de l'énergie. Les autres ont une forme analogue. Désignons un instant

\ par G i G2, G3 les composantes du vecteur — S et désignons par t(*>

le vecteur aux composantes :

Six, S", S" nous aurons : •

(23) ^ = ^' + divta

La force exercée sur les électrons contenus dans un domaine V, détermine un accroissement de leur quantité de mouvement, égal par unité de temps à cette force même. Cet accroissement est compensé par une diminution correspondante de l'impulsion du champ,

S répartie avec la densité — et par le flux d'impulsion qui y pénètre

de l'extérieur. 1(0 représente le courant de la ie composante de l'impulsion; le flux d'impulsion lui-même n'est donc autre que le tenseur de Maxwell.

La loi de conservation de l'énergie n'est exprimée que par l'une des équations : la composante de temps d'une loi invariante vis-àvis de la transformation de Lorentz, les autres composantes donnent la conservation de l'impulsion.

L'énergie totale et l'impulsion totale se conservent; mais elles circulent, elles vont et viennent à travers le champ, passent de la forme d'énergie et d'impulsion du champ à celle d'énergie cinétique ou de quantité de mouvement de la matière, et vice-versa. Telle est la signification intuitive de la formule (22). Nous appellerons donc désormais le tenseur d'univers S : tenseur d'énergie et d'impulsion; où plus brièvement tenseur d'énergie. En raison de la symétrie de ce tenseur, la densité d'impulsion est égale au quotient par c2 du courant d'énergie; l'impulsion du champ est par suite très faible, mais on peut la constater comme pression de la lumière sur une surface réfléchissante.

Une transformation de Lorentz est linéaire; elle revient donc (si nous retournons par suppression d'une coordonnée, comme auparavant, à l'espace à 3 dimensions, (§ 19) à l'introduction d'un autre système de coordonnées affine. Voyons comment les vecteurs fondamentaux e„, e',, e'2 du nouveau système sont situés par rapport aux vecteurs e0, e„ e2 de l'ancien, c'est-à-dire par rapport aux vecteurs-unités portés sur les axes des x0 (t), xlt x2, Si :

X =: X0Q0 -f- ^jCj -f- X2G2 = >^u®û "T" *^"i®i i- *i"s'

on doit avoir

— X1, -h x\ -+- a:* = — a-;,2 -+- x',s -+- *;*[aà Ç(x)l et par suite :

Le vecteur e„ mené par 0, c'est-à-dire l'axe des V se trouve à l'intérieur du cône de propagation de la lumière; les plans parallèles V = const, sont situés de telle manière qu'ils décomposent sur le cône des ellipses dont le centre est sur l'axe des f (voir fig. 7) ; les axes des x\ et des x'.> sont des directions conjuguées de sorte que l'équation de ces sections a la forme :

*',* -+- jc'22 as const.

Tant que l'on s'en tient à l'hypothèse d'un éther réel capable de vibrer, on ne peut voir dans le théorème de relativité de Lorentz qu'une remarquable propriété mathématique sur la transformation des équations de Maxwell; le véritable théorème de la relativité reste encore celui de Galilée-Newton. Mais le problème se pose alors de rendre compte, non seulement des phénomènes optiques, mais de toute l 'électrodynamique, à l'aide d'une mécanique de l 'éther satisfaisant à la relativité galiléenne, et qui lie les grandeurs du champ à la densité et à la vitesse de cet éther. Avant la théorie électromagnétique de la lumière de Maxwell, on avait cherché à résoudre ce problème pour l'optique, mais le succès ne fut que partiel; dans le domaine plus vaste où Maxwell a fait entrer l'optique, on n'a plus fait aucune tentative de ce genre.3) Bien plus, on en venait peu à peu à l'hypothèse d'un champ existant dans l'espace vide, sans support matériel; déjà Faraday avait exprimé clairement l'hypothèse que le champ ne postule pas la matière, mais qu'au contraire la matière se réduisait à des singularités du champ.

§ 21. — Le principe de relativité d'Einstein.

Attachons-nous encore à la théorie de l 'éther. Il doit être possible de déceler le mouvement d'un corps, par exemple, la Terre, par rapport à l'éther au repos. L'aberration ne le permet pas ; elle ne prouve qu'une chose, c'est que le mouvement relatif change au cours d'une année. Soient 4,, 0, A2, 3 points fixes de la Terre, qui participent donc à son mouvement; imaginons qu'ils soient sur une ligne droite dirigée suivant la direction du mouvement terrestre, et qu'ils soient équidistants : Afi = 0A2 = l ; si v est la vitesse de

translation de la Terre par rapport à l'éther, le rapport — = q est

vraisemblablement très petit. Un signal parti de 0 arrive en A%

l l après un temps égal à , et en A, après secondes*

Malheureusement on ne peut pas constater la différence de ces 2 temps, car on n'a pas de moyen de signalisation plus rapide que la lumière, qui nous permette de nous rendre compte de l'heure en un autre lieu *. Nous appliquons alors les idées de Fizeau : mettons un miroir en A1 et en A2 et faisons-y se réfléchir les 2 signaux lumineux de façon à les renvoyer en 0. Si le signal est expédié de 0 à l'instant zéro, il reviendra en 0, après réflexion en A2 au bout du temps :

et celui qui parti en même temps de 0, se réfléchit en Alt reviendra en 0 après un intervalle égal à :

Il n'y a donc pas de différence. Concevons alors un troisième point A participant au mouvement de la Terre dans l'éther, tel que OA = l, mais tel aussi que la direction OA fasse un angle 6 avec la direction du mouvement. Dans la figure 0, 0', 0" sont les positions successives du point 0, d'abord à l'instant zéro de l'envoi du signal, puis à l'instant V de la réflexion sur le miroir au lieu A' qu'il occupe à cet instant, et enfin au temps t' + t" où le signal atteint de nouveau 0. La figure montre que :