OA

je

parce que les 2 angles en A1 sont égaux; le miroir réfléchissant doit être, comme dans le cas du repos, perpendiculaire à la ligne rigide OA, afin que le rayon lumineux puisse revenir en 0. Un calcul trigonom étriqué élémentaire donne pour la vitesse de propagation apparente dans la direction 8 :

t" */c2 — î>*sin28

Elle est donc fonction de l'angle 8; en la déterminant expérimentalement, on doit donc espérer pouvoir calculer la grandeur et la direction de v.

L'expérience célèbre qui fut conçue pour cela est l'expérience de

* On pourrait penser remédier à cela en transportant une montre d'un point à un autre. Pratiquement ce procédé n'a pas la précision qui est exigée ici. Théoriquement, il semble qu'un tel transport soit indépendant du chemin employé; mais la théorie de la relativité conduit précisément à la démonstration d'une telle dépendance : (voir § 22).

Michelson*). Soient deux miroirs A et A* liés rigidement à 0, à une distance l et I*, l'un dans la direction du mouvement, l'autre perpendiculaire à celle-ci. Tout l'appareil est mobile autour de 0. Au moyen d'un miroir semi-argenté placé suivant la bissectrice de l'angle droit AOA*, les rayons lumineux sont séparés en 2 parties dont l'une se dirige vers A et l'autre vers A*; en ces 2 points, chaque partie est réfléchie, et en 0 grâce à une réflexion nouvelle du rayon qui revient de A*, elles sont de nouveau unies. Comme l et l* sont très sensiblement égaux, il y aura interférence des rayons, car ils présentent à cause de (24) une différence de chemin optique :

2/ il*

1-7* ~/« ?" Si l'on tourne l'appareil entier de 90° de façon que OA* soit dans la direction du mouvement, la différence "~yr- i \* des chemins passe par continuité à la valeur :

Observateur

» Source dellumière . „ . ..... ,

ce qui fait une diminution sur la pre- F>g- » mière de

'<'- ^fe -;*=)-(< +<V)

Il doit donc y avoir un déplacement des franges d'interférence. Quoique les rapports numériques fussent tels que le centième du déplacement des franges fût encore observable au moyen de l'interféromètre de Michelson, l'expérience ne montra aucun déplacement.

Lorentz chercha à expliquer cet étrange résultat par une hypothèse hardie : un corps solide se déplaçant dans l'éther subirait une contraction dans la direction de son mouvement dans le rapport de 1 à n/T—q2. En effet, une telle hypothèse expliquerait le résultat négatif de l'expérience de Michelson. Car alors OA aurait la longueur li/î-^q2, OA* la longueur V, dans la première position ; dans la seconde OA = l et OA* = V s/\ — g2, la différence des che-

2 (/-/*) mins serait dans les deux cas : y -• D'après cela on

obtiendrait pour la vitesse apparente de la lumière dans toutes les directions la même valeur \/c2 — u2, indépendante de la direction. Il semblerait encore possible théoriquement, de constater le mouvement par la comparaison de c à \/ 'c2 — u2; mais si l'éther

raccourcit les étalons de longueurs dans le rapport r— -- — 2, il

doit encore ralentir la marche des montres dans le même rapport,

pour détruire aussi cet effet. En fait, ce n'est pas V expérience de Michelson seule, mais un grand nombre d'autres encore, qui ont donné un résultat négatif à la recherche d'une influence du mouvement de la Terre sur les phénomènes électromagnétiques et mécaniques combinés. 5) Ce serait donc la tâche de la mécanique de l'éther d'expliquer non seulement les équations de Maxwell, mais encore cette action curieuse sur la matière qui semble être une défense de l'éther contre l'indiscrétion des physiciens cherchant à en pénétrer la nature.

Mais la seule réponse raisonnable faite à la question : Comment se fait-il qu'une translation dans l'éther ne puisse pas se distinguer du repos? a été donnée par Einstein : parce que l'éther n'existe pas. (L'éther est toujours resté une hypothèse- vague qui d'ailleurs a fait ses preuves aussi mal que possible) . La question se présente alors de la manière suivante : on a deux principes de relativité, l'un de Galilée, pour la mécanique, l'autre, celui de Lorentz, pour l'électrodynamique. S'ils sont vrais tous deux, ils déterminent un système de référence dans lequel la dynamique est newtonienne, et où lefe lois de l'électrodynamique prennent la forme des équations de Maxwell. La difficulté est alors vaincue qui consiste à expliquer l'échec des expériences qui devaient distinguer la translation du repos ; il suffit d'admettre que toutes les lois de la nature sont soumises à l'un des deux principes de relativité. Celui de Galilée n'est pas en cause pour l'électrodynamique ; il exigerait que dans les équations de Maxwell, les termes qui permettent de distinguer les champs variables des champs stationnaires, disparussent ; il n'y aurait aucune induction, aucune lumière, et la T. S. F. serait impossible. Au contraire, l'hypothèse de Lorentz sur la contraction laisse présumer que la mécanique newtonienne pourra être modifiée de façon à satisfaire au théorème de relativité d'Einstein-Lorentz puisque les écarts qu'elle présente avec ce théorème ne sont que de

l'ordre de ( — ) ; ces écarts sont hors des limites de l'observation

pour toutes les vitesses v terrestres ou planétaires. Voici donc la théorie d'Einstein G) qui d'un seul coup supprime toutes les difficultés : l'univers est un espace affine à quatre dimensions, dont la détermination métrique repose sur une forme quadratique

Q(x)=(x,x) indéfinie, à trois dimensions positives et à une dimension négative. Toutes les grandeurs physiques sont des scalaires et des tenseurs de cet univers quadridimensionnel; les lois naturelles s'expriment alors par des relations invariantes entre elles. La signification concrète de la forme Q(x) est la suivante : un signal lumineux parti du point d'univers 0 ne peut atteindre les points d'univers A pour lesquels OA =x que si ceux-ci sont sur l'une des nappes du cône déterminé par l'équation Q(x) = o (comp. § 4). Par là, on distingue d'une manière objective le a cône ouvert sur l'avenir » de celui qui est

ouvert sur le passé, ils satisfont tous deux à Q(X)<o. On peut faire en sorte que Q(X) s'écrive, après introduction d'un système d© coordonnées « normal », de la manière suivante :

(OA, OA) = — x\ H- x'\ -h x\ -+- x\ les Xi étant les coordonnées de A; des 4 vecteurs fondamentaux e», le vecteur e0 doit appartenir au cône de l'avenir. Parmi ces systèmes normaux, on ne peut faire un choix plus restrictif basé sur des raisons objectives; ils sont tous équivalents. Considérons l'un d'entre eux; x0 est le temps, xv x2, x3 des coordonnées cartésiennes spatiales ; toutes les expressions relatives à l'espace et au temps ont dans ce système de référence le même usage qu'auparavant. La formulation mathématique adéquate de la théorie d'Einstein est due à Minkowski 7); nous lui devons la représentation de la géométrie quadridiiiK nsionnelle de l'univers, que nous avons prise comme base dès l'abord.

L'échec de l'expérience de Michelson est maintenant compréhensible. Car si les actions des forces de cohésion de la matière, de même que la propagation de la lumière, satisfont au principe de relativité d'Einstein, les étalons de mesure doivent se comporter de telle manière que rien ne puisse rendre compte d'une différence objective entre le mouvement de translation uniforme et le repos. Puisque les équations de Maxwell satisfont au principe d'Einstein comme Lorentz l'avait déjà vu, l'expérience de Michelson est une preuve que la mécanique des corps solides doit être rigoureusement conforme au principe d'Einstein et non pas au principe de Galilée. Mathématiquement, le principe d'Einstein est d'une plus grande simplicité et beaucoup plus pénétrant que l'autre ; la géométrie de l'univers a été rapprochée de la géométrie euclidienne par Einstein et Minkowski. Du reste, on peut montrer que la géométrie de Galilée est un cas-limite de la géométrie de l'univers, celui qu'on obtient en faisant croître c au delà de toutes limites. La théorie d'Einstein détruit la croyance à l'objectivité de la simultanéité ; c'est dans la suppression de ce dogme que réside ta grande conquête d'Einstein pour la théorie de la connaissance ; c'est pourquoi son nom doit être placé à côté de celui de Copernic. La représentation graphique donnée à la fin du paragraphe précédent montre sans autre que les plans x',, =s const. ne coïncident pas avec les plans x0 = const. Chaque plan xn = const. porte une détermination métrique qui dérive de la métrique d'univers par la forme Q(x), de telle manière que l'ellipse qu'il donne par son intersection avec le a cône de lumière » soit un cercle ; dans ce plan la géométrie euclidienne est valable. Son point d'intersection avec l'axe des xô est le centre de l'ellipse. C'est ainsi que dans le système de référence aux coordonnées accentuées, la lumière se propage encore suivant des cercles concentriques.

Cherchons maintenant à élucider les difficultés qui paraissent naître de ce bouleversement de la notion du temps pour l'intuition

habituelle que nous avons du temps et de l'espace. D'après notre manière de penser habituelle, on sait que si l'on tire d'un point dans toutes les directions et avec toutes les vitesses, on atteindra tous les points d'univers qui sont ultérieurs à 0; on ne peut pas tirer dans le passé. Si 0 représente un événement, il ne peut avoir d'influence que sur les points d'univers ultérieurs, alors que dans le passé « rien ne peut plus être changé », l'extrême limite pour une influence est atteinte par la gravitation ; d'après la loi d'attraction newtonienne, si j'agite mes bras, au même moment une action sur les trajectoires des planètes se fait sentir qui les modifie quelque peu. En supprimant de nouveau un axe de coordonnées spatial, et en utilisant la représentation graphique, le plan t = o qui passe par 0 et qui sépare les points d'univers qui peuvent subir une influence due à 0, de ceux qui ne peuvent plus en subir, en d'autres termes, le plan qui sépare les points de l'avenir de ceux du passé, a un sens absolu. D'après le principe de relativité d'Einstein, à la place de ce plan f = o, il faut mettre pour réaliser cette séparation absolue, le cône lumineux :

x\ -+- a? — : Citi s= o (qui d'ailleurs dégénère pour c — Oo en le plan £ = o); les choses se présentent alors comme suit : les directions de toutes les lignes d'univers des corps dont la vitesse est faible et qui partent de 0, se trouvent dans le cône ouvert sur l'avenir (par exemple la direction de la ligne d'univers de mon corps, ma « ligne d'univers » si je me trouve en 0), ce n'est que sur les événements représentés par des points d'univers de cette portion du cône que ce qui se passe en 0 peut avoir une influence ; la limite est donnée par les points qui sont atteints par la lumière qui se propage dans l'espace vide*. Si je me trouve en 0, ma ligne d'univers est partagée en 0 en deux parties : le passé et l'avenir; là, rien n'est changé. Mais pour ce qui concerne mes rapports avec l'univers, le cône ultérieur renferme tous les points sur lesquels mes faits et gestes en 0 peuvent avoir une influence; en dehors de celui-ci se trouvent tous les événements isolés derrière moi, auxquels « il n'est plus possible de rien changer », la nappe du cône d'avenir sépare mon avenir actif de mon passé actif. Au contraire, à l'intérieur du cône postérieur se trouvent localisés tous les événements que j'ai vécu ou bien desquels j'ai pu avoir une connaissance quelconque; ce ne sont que des événements qui ont eu ou auraient pu avoir une influence sur moi, à l'extérieur de ce cône se trouvent des événements que je n'ai ni vécu, et auxquels je ne pourrais ni assister même si la durée de ma vie était illimitée, et si mon regard pouvait scruter toute l'étendue : la nappe du, cône postérieur sépare mon passé actif de mon avenir passif.

* Dans l'espace vide, la gravitation doit aussi se propager, d'après la théorie de la relativité, avec la vitesse de la lumière; la loi pour le potentiel de gravitation doit se modifier d'une manière analogue à celle qui a permis de passer du cas des champs électrostatiques au cas des champs variables.

Rg. tu

Sur la nappe se trouve ce que je vois ou ce que je puis voir instantanément ; c'est proprement l'image des frontières de mon univers.

Cette distinction entre le passé et J 'avenir actif et passif, est la signification profonde et essentielle de la découverte de Roemer sur la vitesse finie de la propagation de la lumière. Le plan t = o qui passe par 0 dans un système de référence convenable, doit être situé de telle manière que le cône lumineux Q(x)=o, ne le coupe qu'en 0; il sépare donc le cône de l'avenir actif du cône du passé passif.

A un corps qui se meut en translation uniforme, on peut toujours attacher un système de référence convenable (un système de coordonnées normal) par rapport auquel il est en repos. Dans ce système de référence, les points particuliers du corps possèdent des distances déterminées, les lignes droites qui les joignent forment des angles déterminés, etc., toutes grandeurs qui sont à calculer au moyen des formules de la géométrie analytique, dans un espace à trois coordonnées xlf x2, x3 : le système de référence en question. Les nombres obtenus seront dits les mesures au repos du corps (on voit en particulier le sens qu'il faut donner à l'expression : longueur au repos d'une règle). Si ce corps est une horloge, où se déroule un phénomène périodique, on pourra faire correspondre dans notre système de référence à une de ces périodes un accroissement de la coordonnée x0; on aura ainsi une durée déterminée qui est dite : « le temps propre » de l'horloge. Poussons le corps en repos en quelques-uns de ces points au même moment ; ces points isolés vont se mettre en mouvement ; mais puisque notre impulsion ne peut se propager qu'avec une vitesse moindre que celle de la lumière, ou tout au plus égale à celle-ci, le mouvement s'étendra peu à peu à tout le corps et non pas instantanément. Aussi longtemps que les sphères de propagation de l'impulsion autour des points de choc ne se seront pas recouvertes, les mouvements dés voisinages de ces points se déplaceront indépendamment les uns des autres. On se rend donc bien compte par là qu'il ne peut y avoir de corps solide au sens qu'on donne habituellement à ce mot ; c'est-à-dire qu'il n'y a pas de corps qui, pour toutes les actions auxquelles ils sont soumis, restent objectivement identiques à eux-mêmes. Comment alors, malgré cela, pouvons-nous employer une règle pour faire des mesures spatiales ? Prenons une image. Soit un gaz en équilibre dans un récipient fermé ; en quelques-uns de ses points, élevons simultanément sa température au moyen de petites flammes, et isolons le tout adiabatiquement; il y aura alors tout d'abord une suite d'états compliqués qui ne satisfont pas aux théorèmes d'équilibre de la thermodynamique. Enfin il arrivera un instant où le gaz

reprendra un état d'équilibre différent de l'état initial par une quantité d'énergie supplémentaire due à la chaleur communiquée. D'un7 corps employé pour l'aire des mesures (une règle par exemple) nous exigeons qu'il possède toujours la même mesure au repos, c'est-àdire la même mesure dans tout système de référence où il est au repos; et d'une horloge, nous exigeons qu'elle ait toujours le même temps propre quel que soit le système de réjêrence dans lequel elle repose. Nous admettons que les règles et les horloges que nous employons satisfont avec une approximation suffisante à ces conditions. Reprenons notre gaz alors, si nous réchauffons infiniment lentement, il parcourra une suite d'états d'équilibre que la thermodynamique peut étudier cette fois ; de même alors si nous déplaçons nos règles et nos horloges avec une lenteur suffisante, elles conservent à chaque instant leur longueur au repos et leur temps propre. En fait, les limites d'accélération, à l'intérieur desquelles cette hypothèse peut être faite sans erreur appréciable, sont très éloignées. Une dynamique basée sur les lois physiques et mécaniques ordinaires est donc valable et exacte dans la grande majorité des cas. Pour comprendre intuitivement la contraction de Lorentz du point de vue de la relativité einsteinienne, imaginons le phénomène-plan suivant. Dans un système de référence convenable (aux coordonnées t, xlf x2 avec suppression d'une coordonnée spatiale) par rapport auquel nous rapporterons les expressions spatiales et temporelles employées dans la suite, imaginons une feuille plane de papier sur laquelle est dessinée une courbe C. Soit un autre disque circulaire, au centre duquel est fixée une aiguille qui peut tourner ; en la tournant lentement, son extrémité décrit le bord du disque, ce qui indique bien qu'il est circulaire. Déplaçons alors le disque sur la feuille de papier par une translation uniforme ; si l'aiguille tourne lentement pendant ce temps, son extrémité décrira toujours le bord du disque ; celui-ci reste donc circulaire durant la translation. A un moment déterminé le bord du disque coïncide avec la courbe C. En mesurant C au moyen d'une règle au repos, nous trouvons que ce n'est pas un cercle, mais une ellipse. La figure 11 nous représente graphiquement ce phénomène. On y a ajouté le système /'/v/', dans

lequel le disque est au repos.

La section d'un plan t =const avec le cône lumineux est dans le système un « cercle instantané »; le cylindre dont ce cercle est la directrice et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des t1 représente dans le système accentué un cercle en repos. La section de ce cylindre par le plan t = o n'est pas un cercle mais une Fis " ellipse; le cylindre construit

avec cette ellipse comme directrice et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des t représente la courbe dessinée sur la feuille de papier à chaque instant. Si nous nous demandons de quelles lois physiques nous avons besoin pour distinguer les systèmes de coordonnées normaux de tous les autres (au sens général de Riemann) nous reconnaîtrons qu'il suffît d'exiger le principe d'inertie galiléen et la loi de la propagation de la lumière; au moyen de signaux lumineux et de points matériels libres de toute force, nous sommes en état de fixer un tel système de coordonnées. Pour le voir, ajoutons encore un complément au principe d'inertie. Si l'on fait participer une horloge au mouvement d'un point matériel libre, le temps qu'elle mesurera sera le « temps propre » s du point. La ligne d'univers du point est une droite, d'après le principe de Galilée; les positions du point aux instants s — 0, 1, 2, 3, ... (ou pour des valeurs de s formant n'importe quelle progression arithmétique) forment sur cette droite une suite, de points équidistants. D'après cela, si nous introduisons le paramètre du temps propre pour distinguer les différents stades du mouvement, nous obtenons, non seulement une ligne dans l'univers quadridimensionnel, mais un « mouvement » dans l'univers (voir définition p. 91) et ce mouvement, d'après Galilée, est une translation. Les points d'univers forment une multiplicité quadridimensionnelle; c'est là peut-être le point le plus sûr de notre science. Un système de quatre coordonnées Xi (i = 0, 1, 2\ 3) représentant les points d'un certain domaine d'univers sera dit un système de coordonnées linéaire, si le mouvement d'un point matériel libre se représente paramétriquement au moyen du temps propre s par des fonctions xi linéaires en s. Qu'il y ait de tels systèmes de coordonnées, c'est là une affirmation qui est la vraie signification du principe d'inertie. Par ces conditions sur la nature linéaire de ces fonctions, le système de coordonnées est déterminé à une transformation linéaire près ; c'est-à-dire si les arj sont les coordonnées dans celui qui nous occupe, les *î sont fonctions linéaires des x>. Si nous prenons les Xi comme coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien à quatre dimensions, nous pouvons dire qu'un système de coordonnées nous donne toujours une représentation de l'univers (ou de la portion d'univers où les Xi existent) sur un

espace euclidien image. Notre afmation peut alors se formuler de la manière suivante : une correspondance entre deux espaces euclidiens telle que les droites de l'un correspondent aux droites de l'.i utre, et qu'une série de points équidistants sur une droite cor- Pi- ,j responde à une série de points équidistants sur une droite corcorrespondante est nécessairement une correspondance affine. Vrai-

semblablement la figure ci-contre qui met en évidence la « construction du réseau de Mobius 8) donnera immédiatement au lecteur la démonstration de ce théorème. La construction du réseau peut évidemment être dirigée de telle manière que les trois directions des droites employées soient empruntées à un cône directeur étroit donné d'avance ; de telle sorte que ce théorème géométrique reste vrai, si l'on sait que les droites dont les directions appartiennent à ce cône correspondent à des droites. ^

Le principe d'inertie de Galilée prouve à' lui seul complètement que l'univers est affine ; on n'en tire d'ailleurs rien de plus. La forme métrique fondamentale (x, x) de l'univers s'explicite en utilisant la loi de propagation de la lumière ; un signal lumineux issu de 0 atteint A, si x = OA satisfait à l'équation (x,x)=o qui est celle d'un cône. La forme quadratique est déterminée par là à un facteur constant près; pour le fixer il faut choisir une unité de mesure particulière. (Voir Appendice 1).

§ 22. — Géométrie, cinématique et optique de la relativité.

Un vecteur d'univers x sera dit un vecteur spatial ou un vecteur temporel suivant que (x,x) est positif ou négatif. Les vecteurs temporels sont dirigés soit dans le passé, soit dans V avenir. L'invariant :

(25) As=V— (x,x)

est le temps propre d'un vecteur temporel x, dirigé vers l'avenir. Posons :

x=Ase

e est la « direction » de la translation temporelle ; c'est un vecteur temporel dirigé vers l'avenir et tel que (e-e)= — 1.

Comme dans la géométrie galiléenne, nous pouvons faire dans la géométrie de l'univers einsteinien, une décomposition de l'univers en espace et en temps, par projection dans la direction d'un vecteur temporel dirigé vers l'avenir, que nous supposerons norme par la condition : (e,e) = — 1. Le procédé a été exposé au paragraphe 19 ; .les équations (3), (5) et (5') sont valables ici avec e = — 1*. Des points d'univers situés sur une droite parallèle à e, tombent au même point de l'espace (sous-espace) ; nous pouvons le matérialiser par une masse ponctuelle au repos, et, graphiquement, il est représenté par une droite d'univers. L'espace tridimensionnel Re qu'on obtient par cette projection porte une métrique eucli-

* Les unités de longueur et de temps sont choisies de manière que la vitesse de la lumière dans le vide soit égale à 1. Pour revenir au système C.G.S, il faut remplacer l'égalité (e, e) = — 1 par (e, e) = c2 — et faire e = — c2.

dienne, puisque pour chaque vecteur x*, orthogonal à e, c'est-à-dire pour chaque vecteur x* tel que (x*e) = o, (x*X*) est positif (sauf si x* = o; (voir § 14). Chaque vecteur x de l'univers se décompose suivant la formule :

M est la durée (ce que nous avons appelé la « hauteur » au § 19), X est la translation engendrée par x dans l'espace Re. Si E^Ei,E3 forment un système de coordonnées dans Re, alors les vecteurs e = e0 engendrant les translations d'espace indiquées forment avec elf e,, e3 qui représentent les translations d'univers orthogonales à e0 « un système de coordonnées appartenant à Re » pour tous les points d'univers. Il est normal, si les trois vecteurs f>, dans Re forment un système cartésien ; dans chaque cas le système de coefficients de la forme métrique fondamentale a l'aspect suivant :

Le temps propre As d'un vecteur temporel d'avenir x (x = As.e) est égal à la durée de x dans l'espace Re où x n'engendre aucune translation spatiale. Nous aurons à considérer dans la suite, plusieurs décompositions d'après les vecteurs e, e', ...; toujours un e sans indice représentera un vecteur d'univers, temporel, dirigé vers l'avenir et tel que (ee)= — 1.

Soit C un corps reposant dans Re ; C un corps reposant dans Rf ; C est en translation uniforme relativement à Re. Si l'on décompose e', relativement à Re, et qu'on ait :

(26) e = h\KV

C subit dans Re pendant le temps h, la translation spatiale hV ; V est donc la vitesse de C dans Re, ou la vitesse relative de C par rapport à C. Sa grandeur v est telle que v2 = (W). D'après (3), l'on a :

(27) h=— (e'e) D'autre part, d'après (5) :

1 = (e'e') = h2— h2(W) = h\l—v2) donc :

Si C , entre deux instants de son mouvement, subit la translation d'univers As.e', (26) montre que hAs = M est la durée de cette translation dans Re ; entre le temps propre As et la durée Ai de la translation dans JRe, on a :

(29) As = A« v/1 — v2.

Puisque (27) est symétrique en e et en e', (28) nous apprend que la grandeur de la vitesse relative de C par rapport à C est la même que

celle de C par rapport à C ; les vitesses relatives au point de vue vectoriel ne se peuvent comparer, puisque l'une est dans l'espace Re et l'autre dans Re,.

Considérons trois décompositions, d'après e,e1,e2. Soient Cx et C2 deux corps, qui sont au repos respectivement dans Rci et dans Re2. Dans R„ soit :

e = ht | hiVi ; hx =

e = ht | AîV2 ; h2 =

fi - v\ \

par suite :

Les deux vitesses Vx et V2, de C1 et C2 dans Re dont les grandeurs sont vlt v2, forment un angle 6 ; les deux grandeurs w« et vn des vitesses relatives de C1 pour C2, et de C2 pour C1 sont égales ; on a donc la formule :

4 — vtVo cos 0 i ■

s]\ — v]s/\—vl y/1— u?2

qui donne la vitesse relative de deux corps dont on connaît les vitesses par rapport à un troisième. Posons pour chaque grandeur de vitesse u«l) :

v = th u (th = tangente hyperbolique)

on trouve :

ch ux ch u2 — sh ut sh i^ cos 6 = ch u13

Cette formule ne serait autre chose que l'une des formules, fondamentales de la trigonométrie sphérique, si les fonctions hyperboliques étaient remplacées par les fonctions trigonométriques correspondantes; donc u12 est le côté opposé à l'angle 6 dans un triangle du plan de Bolyai-Lobatschefsky dont u2 et u^ sont les autres côtés. A côté de la relation (29) entre le temps et le temps propre, il en existe une, entre la longueur et la longueur au repos. Prenons l'espace de référence JRe. A un instant déterminé, les points matériels du corps se trouvent aux points d'univers 0,A...; les points de l'espace 0 A,., de Rc en lesquels ils sont, forment une figure dans R? à laquelle nous pourrions conférer une durée, si le corps C laissait une « eûipreinte » dans Re, comme l'image développée à la fin du paragraphe précédent nous en donnait un exemple intuitif. Si, d'autre part, les points d'univers 0,Alt... coïncident dans l'espace Rc, où C repose, avec les points 0', A',..., alors O'.A',... donnent « l'aspect au repos » de C (voir la figure, où les directions d'univers « orthogonales » sont représentées perpendiculaires entre elles.) Entre la partie -Re qui subit l'empreinte, et la forme au repos du corps dans Re' il existe une correspondance de point A à point A'; elle est évidemment affine (ce n'est pas autre chose en effet qu'une

projection orthogonale). Puisque les points 0,A, sont simultanés

pour la décomposition suivant e, on a :

ÔÂ = x = o | X dans Re ; X = OA

D'après (5) :

O» = (XX) = (xx)

O'A" =s (xx)+(xe')'

Déterminons d'après (5') (xe') dans Re

(xe') = h (XV)

donc