O'A' = (XX
(XV)2 1 — u2
Utilisons dans Re un système cartésien xlf x2, x3 avec O comme origine; l'axe des x-l sera dirigée suivant la vitesse V, si xx, x2, x3 sont les coordonnées de A on a :
ÔÂ* = x\-\-x\ h- a?|,
-+- xi-hxi = xs -h av -h a-;
en posant :
(31) x, = , x2 s xs, x3 = j-3,
En faisant correspondre dans iîe à chaque point (xl; x2, x3), le point (x'lt xf2, x'z) on obtient une dilatation de l'empreinte dans la direction du mouvement du corps dans le rapport 1 : *j\ — v2. Nos formules expriment que l'empreinte se transforme en une figure congruente à la figure au repos du corps : c'est la contraction de Lorentz. En particulier il y a entre le volume V que le corps C occupe à un moment donné dansRP, et son volume au repos V0 la
relation :
V =V0 VI — v2
Toutes les mesures optiques d'angles au moyen de viseurs donnent l'angle que font deux rayons lumineux dans l'espace de référence où l'appareil de mesure (formé de corps solide) est en repos. Ces angles sont aussi ceux que perçoit l'œil si on le met à la place de l'appareil de mesure; ils donnent l'aspect perçu par un observateur des objets qui sont dans son champ visuel. Pour développer les rapports entre la géométrie et l'observation des grandeurs géométriques, nous devons faire quelques incursions dans l'optique.
Les solutions des équations de Maxwell qui correspondent à un rayon lumineux aussi bien pour l'éther que pour un milieu homogène en repos, ont une forme, telle que les composantes des grandeurs d'état sont toutes (avec la notation complexe) égales à :
const. e2ri^P)
où e = e(/>) « la phase » est une fonction du point d'univers P définie comme on le voit à une constante additive près. Après n'importe quelle transformation linéaire des coordonnées d'univers, les composantes dans le nouveau système possèdent le même aspect avec la même fonction 8. La phase est donc un invariant. C'est une fonction linéaire pour une onde plane, et si nous excluons les milieux absorhants, c'est une fonction réelle des coordonnées d'univers de P; la différence de phase en deux points A et B : 8 (B) — 8 (A) est par suite une fonction linéaire du vecteur x = AB, c'est donc un vecteur d'univers covariant. Représentons-le alors par la translation correspondante 1 (nous parlerons dorénavant du rayon lumineux 1); on a : e(B) — 8(4) = (lx)
Décomposons en espace et en temps, suivant le vecteur temporel e; et posons :
I 9 de manière que le vecteur A dans Re ait la longueur 1 , de plus :
X = M | X la différence de phase est alors :
on voit alors que v est la fréquence, q la vitesse de propagation et A la direction du rayon lumineux dans Re. Dans l'éther, on a comme le montrent les équations de Maxwell, q — 1, c'est-à-dire :
Si l'on décompose l'univers en espace et en temps de 2 manières, une fois d'après e, une autre fois d'après e' et si l'on distingue les résultats obtenus pour la seconde par un accent, l'on a :
Imaginons 2 rayons lumineux lx et 12, aux fréquences vx et v3 dont les vitesses de propagation sont q1 et q2, alors :
( li'U )
s'ils forment l'angle o> entre eux, on a :
/ <7»<?* ) ( <li9i
Pour l'éther, où q1 — q[ = 1, q2 = q'2 = 1, ces équations montrent que :
(3o) vlV2 sin»— = vtv'2 sin2 — •
Enfin pour obtenir la relation entre les fréquences v et v', imaginons un corps en repos dans Re ; il a dans l'espace Re la vitesse V, de sorte qu'on doit poser comme plus haut :
(26) e' = h | hVdans Re.
De (26) et (32) on tire :
v' = — (le ) = v/j l \ —
Si l'on appelle 8 l'angle entre la direction du rayon lumineux
dans He avec la vitesse du corps, on a :
v cos 8
J\ - v* L'équation (36) exprime le principe de Doppler-Fizeau. Considérons par exemple un atome de sodium, au repos dans un système de référence, il reste toujours identique à lui-même, la relation entre la fréquence observée v' au moyen d'un spectroscope en repos et la fréquence v d'un atome qui se meut avec une vitesse v est donnée précisément par (36), où 6 est l'angle que fait la direction du mouvement de l'atome avec le rayon lumineux qui entre dans le
spectroscope. Portons la valeur de —, de (36) dans (33), on obtient
une équation entre q et q1 : elle permettra de calculer la vitesse de propagation q de la lumière dans un milieu en mouvement, connaissant la vitesse de propagation q' dans le même milieu en repos : v est la vitesse du milieu, 6 l'angle du rayon lumineux avec la vi'esse du milieu. Supposons que 0 = o, et négligeons les puissances de v supérieures à l'unité (v est en effet très petit), on trouve :
q = q' + v (1 — q'2) c'est-à-dire que q n'est pas égal à q' plus la vitesse entière v, comme si les ondes étaient entraînées totalement, mais bien plutôt le fac-
teur 1 -qui multiplie v est inférieur à l'unité (n -indice
de réfraction du milieu). Ce coefficient d'entraînement 1 —
avait déjà été obtenu expérimentalement par Fizeau; ce physicien faisait interférer deux rayons issus d'une même source, l'un traversant de l'eau au repos, l'autre traversant de l'eau courante9). Puisque la théorie de la relativité explique ce curieux résultat, c'est qu'elle est valable pour l'étude de l'optique et de l'électrodynamique des corps en mouvement (il n'est pas nécessaire pour ce faire de poser un nouveau principe de relativité, obtenu à partir de celui d'Einstein en remplaçant c par q, comme on pourrait le présumer d'après l'équation des ondes dans ce milieu). La formule (34) que nous voulons appliquer à l'éther où q = q' = 1, nous donne :
(1 — v cos f*i) 1 — v cos 02* *»'
2 " ï^ s,nV
Si l'espace de référence Re est celui auquel on rapporte les mouvements planétaires (celui où le centre de gravité du système solaire
Weyl. — Temps, Efface, Alutiire \
sin* -- =
est en repos), si v est la vitesse dans R, de la Terre (où les instruments se trouvent) , o> l 'angle dans Re que forment les rayons issus de 2 étoiles infiniment éloignées, 6i et 02 les angles que ces rayons forment avec la direction du mouvement de la Terre, l'angle w' sous lequel on voit de la Terre les deux étoiles se détermine par la formule précédente, co ne peut évidemment être mesuré, mais nous observons les variations de o>' liées aux variations de 0! et 62 dans le cours d'une année (aberration) .
Les formules qui donnent la dépendance entre le temps et le temps propre, les volumes et lés volumes au repos sont aussi valables pour les mouvements variés. Si dx est le déplacement d'univers infiniment petit que subit un point matériel mobile dans un temps infiniment petit, on obtient par :
dx = ds.u, (uu) = — 1, ds>o
le temps propre ds et la direction d'univers u de cette translation. L'intégrale étendue à une portion de la ligne d'univers :
fds = /V — i^x, rfx) est le temps propre écoulé pendant cette partie du mouvement qui est précisément représentée par la portion de ligne d'univers en question; cette intégrale est indépendante des décompositions en espace et en temps que l'on peut effectuer; sa valeur est donnée par une horloge liée au point matériel pourvu que l'accélération ne soit pas trop grande. Si nous utilisons des coordonnées linéaires dans l'univers et si nous prenons le temps propre s comme paramètre de la représentation analytique de la ligne d'univers (comme on prend l'arc comme paramètre en géométrie classique), alors :
dX:
ds sont les composantes contravariantes de u, et l'on a XjUjtt* = — 1.
Décomposons l'univers en espace et en temps suivant e, on a :
1 I ■ V u = ■"• ' , ' '■ j. ,'.>■■' dans R(,
Jl — V* I y/i — V2
où V est la vitesse du point matériel; entre le temps dt écoulé dans
Re et le temps propre, on a :
(37) ds = dt v/1— v*.
Si 2 points d'univers A et B sont tels que AB soit un vecteur temporel dirigé vers l'avenir, A et B peuvent être reliés par des lignes d'univers de points matériels allant de A en B. Le temps propre pour chacun de ces mouvements dépend de la ligne d'univers, il est maximum pour un point matériel qui va de A en B suivant une translation uniforme. Car si l'on décompose l'univers de manière que A et B tombent au même point de l'espace, la translation d'univers est ici le repos, et la démonstration de notre affirmation découle de la formule (37) qui nous montre que le temps propre s est moindre
