ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORP8 ES MOUVEMENT

que le temps t. La vie d'un homme peut très bien être comparée à une horloge. De 2 jumeaux qui se séparent en A, l'un reste au pays, (c'est-à-dire ne bouge pas dans son système de référence), l'autre entreprend des voyages avec une vitesse (relative à sa patrie) voisine de celle de la lumière; lorsque celui-ci revient au pays, il est appréciablement plus jeune que son frère sédentaire.

Un élément matériel dm (d'un corps continu) qui se meut avec une vitesse v, a un volume à un instant qui vaut dV; celui-ci est donné en fonction du volume au repos dV0 par :

dV = dV0 »/l—v3

. , dm ■> * • , dm

pour la densité = ^ et la densité au repos -.— = no on a

encore l'équation :

^„ est un invariant; fi0u, est donc un vecteur aux composantes contravariantes {i0u* : le flux matériel, déterminé par le mouvement de la masse d'une manière indépendante du système de coordonnées. Il satisfait à l'équation de continuité :

V «*(f*ouf)

ex.

On peut faire les mêmes remarques à propos de l'électricité : si de est la charge de l'élément dm, on a entre la densité au repos

de de

j», = -vrr et la densité p == -7-^ la relation :

?, = pv/4 — v* et

Si = o0u{

sont les composantes contra variantes du « courant électrique »; cela correspond précisément au théorème du § 20. Dans la théorie électrique de Maxwell, le mouvement caché des électrons n'a rien à voir avec le mouvement de la matière, l'électricité n'est pas attachée à la matière. La charge correspondant à une portion de matière ne peut être considérée autrement que comme la charge qui, au moment en question, occupe la même portion de l'espace que cette matière; il s'ensuit que la charge n'est pas comme dans la théorie électronique un invariant déterminé par la portion de matière, mais elle dépend de la décomposition de l'univers en espace et en temps.

§ 23. — Electrodynamique des corps en mouvement.

La décomposition de l'univers en espace et temps entraîne la décomposition de tous les tenseurs. Nous allons d'abord l'étudier au point de vue mathématique pour en déduire les équations fonda-

mentales de l 'électrodynamique des corps en mouvement. Soit un espace à n dimensions que nous prendrons pour « univers » dont la métrique est déûnie par la forme (xx). Soit e un vecteur de cet univers tel que (ee) = ez£ o, décomposons l'univers suivant ce vecteur, de la manière connue, en temps et en espace Re. Nous désignerons par E„ E2, ... Ert-i un système quelconque de coordonnées dans l'espace Re, et par e^ e2 ... 6*-i les vecteurs d'univers orthogonaux à e = e0, qui ont donné naissance, dans Re à e^ e2)... e„,.

Dans le système de coordonnées e» (1=0, 1, ..., n — 1) déterminé par Re. les composantes covariantes du tenseur définissant la métrique de l'univers sont représentées par un tableau de la forme suivante :

</lt

Prenons comme exemple un tenseur du second ordre, dont les composantes sont Ta dans ce système. La décomposition de l'univers définie par e le met, comme nous allons l'établir sous la forme suivante :

le décomposant en un scalaire, deux vecteurs et un tenseur du second ordre dans Rc caractérisés ici par leurs composantes dans le système Ei (i = l, 2 ... n — 1).

Soit en effet :

la décomposition suivant e du vecteur d'univers quelconque X et

x = lje + x* sa division en un vecteur parallèle et un vecteur orthogonal à e; nous aurons, en appelant l* les composantes de x :

Sans utiliser de systèmes de coordonnées, la décomposition du tenseur pourra donc se représenter comme suit :

Prenons deux vecteurs d'univers quelconques x et y et posons (38) x = *e + x*, y = ^e + y*

où x* et y* sont orthogonaux à e.

La forme bilinéaire correspondant au tenseur du second ordre deviendra :

T(xy) = ^T(ee) + T,T(x*e) + |T(ey*) + T(x*y*).