Un scalaire T (ee) = J = J

2. Deux formes linéaires (vecteurs) dans l'espace JRe définies par :

L(X = T(x*e), L'(X) = T(ex*)

3. Une forme bilinéaire (tenseur) dans l'espace R,, définie par :

T(XY) = T (x*y*) Si X, y sont des déplacements d'univers arbitraires déterminant X et Y dans Re on peut, dans les équations précédentes, remplacer X* et y* par leurs valeurs tirées de (38) x — le, y — ^e, où :

J = — (xe), 7)=— (ye^.

Posons encore :

T(xe) = L(x), T(ex) = L'(x)

et nous obtenons

L(X) = Aai--(xe); L'(X) = /„'(x) (xé)

T(XY) = 7\xy; -T(ye)/.(x) -- --(xe)A'(y) -h ~(xe)(ye).

Dans le cas précédent, par exemple, le tenseur

T' It ■* 12 — T T

I ' Jl '22 I

sera représenté par le tenseur d'univers

o o o o 7',, 7ti o 7'21 /',,

On voit de suite que dans tous les calculs, on peut remplacer les tenseurs d'espace par les tenseurs d'univers qui les représentent; nous n'utiliserons d'ailleurs que la propriété suivante :

Si deux tenseurs d'espace sont dans le rapport \, il en est de même des tenseurs d'univers qui les représentent.

Prenons pour développer le calcul un système quelconque de coordonnées dans lequel

e = (c°, e\ .... e*-1), alors les invariants J et e sont donnés par les équations :

J=Tite*c* et

e = e4ei.

Les deux vecteurs et le tenseur dans Rn sont d'après (39) représentés dans l'univers par les deux vecteurs et le tenseur dont les composantes sont :