II. Points et vecteurs

1) Deux points quelconques A et B déterminent un, vecteur a; AB ~ a. Si A est un point quelconque, a un vecteur, il y a un point B et un seul, pour lequel AB = a.

2) Si AB = a, ~BC = b, on a ÂC = a + b.

Dans ces axiomes entrent deux catégories d'objets : les points et les vecteurs; trois relations fondamentales : (1) a + b=c, b=Xa, AB = a

Tous les concepts que l'on tire de ces relations par des considérations purement logiques ressortissent à la géométrie affine; l'ensemble des théorèmes que l'on en tire et qui forment la dite géométrie, est ainsi établi sur une base axiomatique. Du reste, nos axiomes ne sont pas logiquement indépendants les uns des autres; au contraire, les axiomes (la, 2 et 3) peuvent être tirés des axiomes (II). Mais nous voyons pourtant que les axiomes (I) relatifs aux vecteurs se suffisent à eux-mêmes pour tout ce qui concerne les relations où n'entrent que des vecteurs, sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours aux axiomes II.

(la) exprime qu'il existe un seul vecteur o; tel que pour tous les a, on ait a + o = a; de II, on tire que si AB est ce vecteur o, c'est que forcément A = B. Si O est un point ex un vecteur différent de zéro, les extrémités P de tous les vecteurs OP = %ex (% réel quelconque) forment une droite. La définition de la droite au moyen d'une translation est ainsi rattachée aux axiomes de la géométrie affine. Les points P pour lesquels % est positif, forment une demi-droite; si £<o, les points P forment l'autre demi-droite. % est dite l'abscisse

LES BASES DE LA GEOMETRIE Mil M'. 15

de P sur la droite, relativement à l'origine 0. Soit maintenant ea un autre vecteur qui ne soit pas exprimable sous la forme ^e^ les points P tels que OP soit de la forme l1e1+S2e2 forment un plan. (Construction du plan par translation d'une droite le long d'une autre). Si nous déplaçons le plan E le long d'une droite issue de 0 et non située dans E, nous balayons tout l'espace. Donc si es est un vecteur qui ne soit pas de la forme Ç].e + ^2e2, tout vecteur peut être mis d'une seule manière sous la forme :

combinaison linéaire des 3 vecteurs e,, e2, e3.Nous pouvons généraliser.

Des vecteurs e,, e2 e* en nombre fini h, sont dits linéairement

indépendants, si

(2) lie1+|,ea+-+l»e»

n'est nul que lorsque ^1 = |2 = ...HA = 0, c'est-à-dire seulement si tous les % sont nuls. Sous cette hypothèse, l'ensemble des vecteurs de k forme (2) constitue une multiplicité vectorielle linéaire à h dimensions, construite ou déployée sur les vecteurs elt ... e^. Une multiplicité vectorielle linéaire à h dimensions M, peut être définie de la manière suivante, indépendante de la « base » e» :

1) Les deux opérations : addition de deux vecteurs et multiplication d'un vecteur par un nombre ne font pas sortir de la multiplicité ; c'est-à-dire que la somme de deux vecteurs de M, comme le produit d'un vecteur de M par un nombre réel, sont des vecteurs de M.

2) Il existe dans M, h vecteurs linéairement indépendants, mais /i + l vecteurs quelconques de M sont toujours linéairement dépendants.

De cette deuxième propriété, qui provient de la définition et de théorèmes élémentaires sur les équations linéaires, nous tirons cette conséquence que le nombre de dimensions h pour la multiplicité est caractéristique de celle-ci et ne dépend en rien de la « base » particulière sur laquelle nous l'avons construite. L'axiome dimensionnel que nous avons laissé de côté plus haut se formulera ainsi :

Il y aîi vecteurs linéairement indépendants, mais n + 1 sont linéairement dépendants.

Ou encore : les vecteurs forment une multiplicité linéaire à n dimensions. Cela conduit pour n- = 3 à une géométrie affine spatiale, pour n = 2 à une géométrie plane, pour n=l à la géométrie de la droite. Il sera utile pour avoir une géométrie affine générale de laisser n indéterminé, car on voit ici — comme nous le verrons plus loin encore pour la géométrie complète — que dans la structure mathématique de l'espace, rien ne nous oblige logiquement à nous en tenir au nombre n = 3. Dans le système d'axiomes, ce nombre n = 3 n'a pas une signification essentielle et nous devons passer sur elle dans une théorie déductive systématique. Nous reviendrons dans le prochain paragraphe sur la question d'une géométrie dans