VX-~~dx~k

de la force pondéromotrice, que l'électron exerce sur lui-même, ne sont plus nulles.

Supposons que l'électron soit absolument sans masse et soit p» la force tétrale (ou hyperforce) extérieure qui agit sur lui; les équations d'équilibre exigent que :

Décomposons suivant une direction d'univers fixe e en espace

et en temps :

u = h | hV p = (p*) = X | P

et intégrons (55) après avoir multiplié par dV = dV0^\ ua7

Puisque, par l'utilisation d'un système de coordonnées normal dans Re. on a :

j p*dV = I pdxjxïdxi — — - / li0dxidxidx3

(ou x=t est le temps), il vient alors :

-It&hH-fciï

Ces équations sont valables quand la force extérieure F (comparée

a — où a est le rayon de l'électron) n'est pas trop grande et que

sa densité dans le domaine de l'électron est essentiellement constante. Elles coïncident précisément avec les équations fondamentales de la mécanique si nous y remplaçons m par En En d'autres termes : l'inertie est une propriété de l'énergie. En mécanique, on attribue à chaque corps une masse invariable m, qui représente comme on sait l'inertie, la résistance de la matière aux forces accélératrices. La mécanique considère cette masse inerte comme une donnée pour laquelle elle ne prodigue pas les explications. Mais ici nous reconnaissons que l'énergie potentielle contenue dans un corps matériel est l'origine de celte inertie, et dans le système CGS où la vitesse de la lumière n'est pas 1 mais c, la masse m vaut :

Nous obtenons ainsi une nouvelle conception purement dynamique de la matière. (Kant déjà dans ses « Fondements métaphysiques aux sciences de la nature » montre que la matière ne remplit pas une portion d'espace grâce à sa seule existence, mais grâce à des forces répulsives de ses parties.) De même que nous nous sommes déjà libérés de la croyance à l'individualité d'un point de l'espace à des instants déterminés, de même nous pouvons affirmer qu'il n'y a pas de sens de parler de la a même » portion de matière à différents instants. L'électron que l'on se représentait auparavant comme un corps substantiel étranger, plongé dans un champ électromagnétique non substantiel, ne nous paraît maintenant plus comme la

mvssi: ET ÉNERGIE 177

région très petite, fort peu nettement délimitée, dans laquelle le champ et la densité électrique ont des valeurs très élevées. Un tel « nœud d'énergie » ne se propage pas autrement dans l'espace vide que ne se propage une onde à la surface d'un lac; il n'y a pas « une seule et même substance » dont se compose l'électron à chaque instant. Il n'existe que le seul tenseur potentiel; le tenseur cinétique de ['énergie et de l'impulsion n'existe pas à côté de celui-là. La décomposition en ces deux tenseurs, qui se présentent en mécanique, n'est que le signe de la distinction entre l'énergie dispersée dans le champ et celle qui est concentrée dans les nœuds d'énergie : les atonies et les électrons; la limite entre les deux est indistincte. C'est le devoir de la théorie du champ d'expliquer pourquoi le champ possède une telle structure granulaire et pourquoi ces nœuds d'énergie conservent dans leurs vicissitudes leur énergie et leur impulsion (à très peu près au moins) : c'est en cela que consiste le problème de la matière. La théorie de Maxwell-Lorentz ne peut le résoudre, car elle ne prévoit pas la force de cohésion qui fait que l'électron ne se disperse pas. Ce r/(/c nous appelons la matière est, dans son essence, atomique, car nous n'avons pas l'habitude de considérer l'énergie diffuse dans le champ comme un corps matériel. En fait, les atomes et les électrons ne sont pas les derniers éléments invariables sur lesquels les Gerces naturelles agissent extérieurement, les déplaçant de ci, de là; ils sont eux-mêmes étendus et continus, et dans leurs parties les plus ténues ils sont soumis à des changements rapides. Non seulement la matière engendre le champ, mais inversement aussi, la matière est une émanation du champ; les formules qui expriment les composantes du tenseur d'énergie T^ au moyen des grandeurs d'état du champ, montrent suivant quelles lois le champ est lié à l'énergie et à l'impulsion, c'est-à-dire à la matière. Puisqu'il n'y a pas de limites précises entre l'énergie diffuse dans le champ et celle qui forme les électrons et les atomes, nous devons concevoir la notion de matière, dans les cas où elle doit conserver un sens précis, comme auparavant : la matière est la chose réelle qui est représentée par le tenseur d'énergie et d'impulsion. Dans ce sens-là, le champ optique, par exemple est aussi lié à la matière. Comme là matière se confond avec le champ, la mécanique se confond avec la physique. Car la loi de conservation dé la matière :

qui est l'équation fondamentale de la mécanique, représente une relation différentielle entre les grandeurs d'état du champ; par suite, elle provient bien des équations du champ. La matière est au sens large que nous adoptons maintenant, ce dont nous avons connaissance directement par nos sens. Si je prends dans la main un morceau de glace, au point de contact entre ce corps et mes organes des sens, je perçois le courant d'énergie comme un courant calorifique et le courant d'impulsion comme une pression; le courant d'énergie

W(yl. - Temps, Espace, Matière. 12

à la surface de ma rétine détermine mes perceptions optiques. Derrière la matière directement évidente à nos organes des sens, se cache le champ. Par la découverte des lois qui le régissent et de celles d'après lesquelles il détermine la matière, la théorie de Maxwell a fait un lumineux début; mais nous n'avons pas encore atteint le but de notre science.* D'après la formule (56) nous devons conférer à un corps matériel, pour en expliquer l'inertie, une énorme quantité d'énergie : dans 1 kg. d'eau se cachent 9.1023 ergs. Cette «'nergie est formée pour une faible part de l'énergie de cohésion du corps, puis de l'énergie chimique qui unit les atomes et les molécules et qu'on peut observer par une libération brusque due à une explosion (pour un corps solide, cette énergie chimique ne peul se distinguer de l'énergie de cohésion). Dans l'énergie chimique, il faut aussi comprendre l'énergie du champ électrique qui soude les parties constitutives de l'atome, les charges négatives de L'électron et les noyaux positifs; tous les phénomènes d'ionisation sont encore des manifestations de cette catégorie d'énergie. L'énergie du noyau atomique dont une partie est libérée dans les phénomènes radioactifs est beaucoup plus grande que tout cela. Mais ce qui dépasse de beaucoup celle-ci, c'est l'énergie propre des éléments de l'électron et du noyau; elle n'est connue que par on inertie, puisque nous n'avons pas encore trouvé le moyen — Dieu soit béni! — de la faire exploser. La masse inerte varie avec la quantité d'énergie : si l'on échauffe un corps, sa masse inerte augmente; si on le refroidit, elle diminue; mais ces effets sont trop faibles pour être mesurés directement. Les réflexions que nous venons de faire d'après Laue ,4) furent tout d'abord appliquées, sous des hypothèses particulières, à l'électron, avant la découverte d'Einstein ; on supposait que l'électron était une sphère uniformément chargée à su surface ou dans son intérieur, et soumise à des forces de cohésion antagonistes et uniformément réparties. La « masse électroma-

gnétique » — — qu'on lui attribuait était conforme à l'expérience

si l'on prescrivait à l'électron un rayon de l'ordre de 10-13. Il ne faut pas être étonné qu'avant la théorie de la relativité l'idée de l'inertie de l'électron pût germer; car dès l'instant où l'on opère avec les équations de Maxwell, on est implicitement en accord avec le principe de relativité. La connaissance de l'inertie de l'énergie est due à Einstein et à Planck 15); Planck s'appuyait pour développer la dynamique sur la théorie du rayonnement; des considérations de thermodynamique et non pas des hypothèses sur l'électron forment donc la base de ses idées. Dans les théories phénoménologiques où nous faisons abstraction de la structure atomique de la

* Nous modifierons plus loin (§ 32 et § 36) nos idées sur la matière, mais quoi qu'il en soit, la destruction de la représentation substantielle reste acquise.

matière, nous nous représentons l'énergie emmagasinée dans les atomes et dans les électrons, comme de l'énergie répartie dars la matière d'une façon continue : nous devons simplement faire en sorte d'introduire la densité de masse au repos a0 comme densité d'énergie dans le tenseur d'énergie et d'impulsion, rapporté à un système de coordonnées dans lequel la matière est au repos. En hydrodynamique, par exemple, en nous bornant aux phénomènes adiaba tiques, nous n'avons qu'à poser :

Vf

p est la pression uniformément répartie ; le courant d'énergie est nul pour des phénomènes adiabatiques. Pour avoir les composantes de ce tenseur dans un système quelconque, posons: Ho = M* — p; on obtient alors les équations invariantes : 58 ï P>] = yPttiO* -H po';:

ou

Tjk = \>-*Uiiik + p.gik

La densité de masse au repos est :

T«u*ufc = n* — p=\i0 elle doit donc être considérée comme une constante (et non pas n*) pour un fluide incompressible. Si aucune force n'agit sur le fluide, les équations de l'hydrodynamique s'écrivent :

dTJ

dxh

De la même façon, on obtiendrait les lois de l'élasticité dans la théorie de la relativité 16). Il reste encore à ajouter à la théorie d'Einstein, la loi de la gravitation newtonienne qui dans sa forme habituelle se rattache au principe de Galilée. Mais elle porte en soi une énigme dont nous débrouillerons la solution dans le dernier chapitre.

§ 26. — La théorie de Mie.

À l'intérieur de l'électron, on ne peut plus appliquer la théorie de Max\vell-Lorentz ; dans la théorie électronique habituelle, on considère l'électron comme donné a priori, on l'envisage comme un corps d'épreuve dans un champ. Mais Mie a construit une électrodynamique bien plus générale fondée sur la possibilité de définir la matière à partir du champ17). Nous allons en exposer brièvement les principes, car elle nous offre l'exemple d'une théorie physique conforme aux idées modernes sur la matière. Elle nous

stra encore très utile dans la suite et nous permettra de poser d'une manière précise le problème de la matière.

Posons que l'état du milieu est défini par la connaissance des grandeurs suivantes :

1) Le vecteur courant à quatre dimensions s, que nous appellerons « l'électricité » ;

2) Le tenseur linéaire du second ordre F que nous appellerons « le champ ». Ces grandeurs sont soumises aux relations suivantes :

âxi ôik axl

Nous vérifierons les équations (2) en prenant pour F le rotationnel d'un vecteur <p :

Inversement, les équations (2) impliquent l'existence d'un vecteur ç satisfaisant à (3).

De même, nous vérifierons (1) en prenant pour s la divergence d'un tenseur symétrique gauche du second ordre H :

ÔHik

ex*

Inversement, (1) permet de déterminer un tenseur H qui vérifie (4). Les équations (4) sont de même forme que le second syslème de Maxwell. Lorentz admettait partout l'identité des tenseurs H et F, à l'intérieur des électrons comme dans l'éther. Nous ferons, d'après Mie, l'hypothèse plus générale que le tenseur H n'eet pas un pur symbole mathématique, mais qu'il a une signification physique et que ses composantes sont des fonctions universelles des grandeurs primitives s et F déterminant l'état du milieu. Par suite, nous devons faire pour cp une hypothèse analogue. Si donc nous formons le tableau :

. s | H la première ligne contient les grandeurs d'intensité qui sont liées par (3), la seconde les grandeurs d'extension * liées par (4). Opérons maintenant la décomposition de l'univers en espace et en temps, en reprenant les notations du paragraphe 20, et nous retombons sur les équations suivantes qui nous sonl bien connues :

1) — -hdivs = o,

2) — -l- rot e = o. (div b= o),

* Ou d'extensité comme l'on dit aussi parfois.

3) -j- -+■ grad o = e. (— rot f = b),

ôd

4) — ro1 n = — s» (divd = p).

Malgré que nous eussions l'habitude d'indiquer par des lettres majuscules grasses les translations d'espace relatives à des vecteurs d'univers, nous préférons ici reprendre les notations habituelles dans un espace ordinaire puisqu'il n'y a pas de confusion à craindre. Si nous connaissons les fonctions universelles donnant <p et H en fonction de s et F, les équations précédentes (abstraction faite de celles qui figurent entre parenthèses) nous donnent au total 10 « équations fondamentales » qui nous permettent de déterminer les dérivées par rapport au temps des 10 grandeurs définissant l'état du milieu, en fonction de ces grandeurs elles-mêmes et de leurs dérivées spatiales ; c'est là la forme des lois fondamentales telle que l'exige le principe de causalité. Mais le principe de relativité, qui semble ici en contradiction avec le premier, imposé l'adjonction au\ équations fondamentales de celles que nous avons mises entre parenthèses — où ne figure aucune dérivée par rapport au temps.

La contradiction s'évanouit parce que les conditions supplémentaires sont superflues. De (2) et de (3) nous tirons, en effet

: b -h rot f ) = o,

et de (1) et de (4) :

dt

-— = — - (div d). dt dt '

Il nous sera très instructif de comparer les équations fondamentales de Mie et celles de la théorie électronique de Lorentz. Lorentz prend les équations (1), (2) et (4), et déduit le tenseur // des grandeurs initiales en posant simplement : d<=e. h = b. Au contraire, les grandeurs ç et f sont définies mathématiquement par (3), et il manque une loi donnant leur expression en fonction des grandeurs initiales, le tenseur champ el le vecteur électricité. A sa place, nous avons une foi nulle pour la densité de la force pondéromotrice et la loi fondamentale de la mécanique pour obtenir le mouvement de l'électron sous l'influence de cette force. Mais dans notre conception actuelle, la loi mécanique doit se tirer des équations du champ, — d'où la nécessité d'une généralisation physique, au sens donné plus haut. A la force pondéromotrice, nous opposons la force « électrique » e. Dans le cas du champ constant, (3) nous donne : (59) e — <grad <p = o.

La force électrique e est alors équilibrée par une « pression électrique » tp dans l'éther. Dans le cas général, nous avons une force électrique totale donnée par les équations (3), où les f figurent comme « impulsion électrique ». Il est extrêmement remarquable de voir

comment, dans la théorie de Mie, l'équation fondamentale de l'électrostatique (59), que l'on rencontre tout au début de l'étude de l'électricité, acquiert une signification tout à fait intuitive, le potentiel étant considéré comme une pression électrique ; c'est la pression de cohésion cherchée, qui maintient l'électron.

Jusqu'ici, nous n'avons qu'un schéma vide ; pour le remplir, il nous faut connaître les fonctions universelles encore inconnues exprimant les grandeurs d'extension au moyen de celles d'intensité. Jusqu'à un certain point, nous pouvons les obtenir d'une manière purement théorique en admettant la validité du théorème de conservation, c'est-à-dire en admettant que le tenseur T& d'énergie et d'impulsion satisfait aux équations (57).

C'est sans doute, en effet, une condition nécessaire pour que l'on puisse accorder d'une manière générale la théorie et l'expérience. La conservation de l'énergie devra s'exprimer sous la forme suivante :

; h dlV S = O

ât

où W est la densité d'énergie et S le courant d'énergie. On obtient cette équation dans la théorie de Maxwell en multipliant (2) par h, (4) par e et ajoutant : , •

(60) h 4— -4- e -^- -h div [eh] = -(es).

Au second membre de cette relation, figure le travail employé à accroître l'énergie cinétique des électrons, ou, suivant nos idées actuelles, à accroître l'énergie potentielle du champ dans le domaine de ces électrons. Ce terme devra lui-même se décomposer en deux, l'un étant une dérivée par rapport au temps, l'autre une divergence. Nous n'avons qu'à opérer sur (1) et (3), comme nous venons de le faire sur (2) et (4), c'est-à-dire à multiplier (1) par <p et (3) scalairement par s, pour obtenir après addition :

àp df ,.'■.', . .

(61) * 1/ 8 7;7 "*" dlv (t?s) = (es)-

Ajoutant (60) et (61) nous obtiendrons la loi de l'énergie ; le courant d'énergie sera donc nécessairement :

S = [eh]+?s et la différentielle totale de la densité d'énergie :

8 W = ?Sp + sSf + hSb + e8d.

Le fait que, dans le courant d'énergie, il faut ajouter au terme [eh] existant seul dans l'éther, un autre terme <ps proportionnel à <p, s'explique immédiatement, car l'électron en mouvement, qui produit le courant de convection s, entraîne avec lui l'énergie qu'il contient. Dans l'éther, c'est le terme [eh] qui est prépondérant, tandis que dans l'électron, c'est le second 9s qui domine de beaucoup. Dans l'expression de la différentielle totale de la densité d'énergie,

nous avons comme variables indépendantes p, f, b et d. Pour la symétrie, nous prendrons comme variables indépendantes l'ensemble dos grandeurs d'intensité. Formons :

(62) L -= W — ed— ?<p;

d'où

5L = (hSb— d$e) + (s8i- -p5cp)

Si l'on connaît h en fonction des grandeurs d'intensité, cette équation détermine les grandeurs d'extension en fonction des premières. A la place des dix fonctions universelles inconnues, nous n'en avons plus qu'une : L; tel est le résultat que nous donne le principe de conservation de l'énergie.

Revenons maintenant aux notations de l'univers à 4 dimensions; nous aurons :

(63) SL=4//'*SFlfc + siScpI-.

De là, il résulte que 8L est un invariant, par suile L, la « fonction bamiltonienne » en est aussi un.

Les invariants les plus simples que l'on puisse former avec un vecteur de composantes ci et un tenseur linéaire du second ordre de composantes Fn-. sont les carrés des modules : du vecteur cpi 9,?'. du tenseur Fa '■ '2L° = ^FikFik, du tenseur linéaire du 4e ordre

de composantes V ± FikFim (la sommation s'étend aux 24 permutations des indices i, h, /, m; le signe + convient aux permutations paires, le signe — aux impaires) et enfin du vecteur Fay*.

De même que dans la géométrie à 3 dimensions, le théorème fondamental sur la congruence nous apprend que l'ensemble de a et b est complètement défini à un déplacement près par les invariants a2, ab. b2, de même, dans la géométrie à 4 dimensions, on peut facilement établir que les invariants précédents déterminent parfaitement, au point de vue de la congruence, la figure constituée par un vecteur et un tenseur linéaire du second ordre. Tout invariant, en particulier la fonction hamiltonienne, pourra s'exprimer algébriquement au moyen des quatre que nous avons indiqués. C'est à la détermination de cette expression que la théorie de Mie réduit le problème de la matière. La théorie de l'éther de Maxwell, qui exclut l'existence des électrons rentre dans la précédente : on n'a qu'à prendre L — V. ■

Si l'on écrit W et les composantes de S. en employant les notations de l'espace à 4 dimensions, on reconnaît qu'elles constituent la ligne d'indice zéro (correspondant à la dimension négative) du tableau :

(64) tf = FirBv + ï^-L • 8*.

Les Tf sont donc les composantes mixtes du tenseur d'énergie et d'impulsion qui, d'après nos calculs, satisfait à la loi de conservation pour i = o et par suite au="si pour i~l, 2, 3. Nous établirons, dans le chapitre suivant, la symétrie de ses composantes cova-

riantes; Tki = Tik- Les lois du champ peuvent se ramener dans leur ensemble à un principe de variation simple « le principe d' H amilton ». Nous allons considérer maintenant, comme variables indépendantes, les seules composantes ©* du potentiel et définir le champ par l'équation :

ik àxk dr, '

Dans les lois, figure la fonction invariante hamiltonienne L qui dépend du potentiel et du champ. Nous définissons par (63) le vecteur courant s et le tenseur symétrique gauche H. Soit dans un système linéaire quelconque de coordonnées :

dco = s/ gdx^dxydx^dx^ « l'élément de volume » de l'univers ( — g étant le déterminant de la forme métrique fondamentale); l'intégrale fLdta étendue à un domaine quelconque d'univers sera invariante; nous l'appellerons la quantité d'action ou mieux l'action contenue dans ce domaine. Le principe hamiltonien s'énonce ainsi :

L'action est station naire pour toute variation infinitésimale du champ, s 'annulant en dehors d'un domaine fini :

(65) o/Ldû)=/oLd(o = o .

L'intégrale est ici étendue à tout l'univers, ou, ce qui revient au même, au domaine fini hors duquel la variation d'action est nulle. Cette variation est déterminée par les accroissements infinitésimaux âifci des composantes du potentiel et ceux qui en résultent pour le champ d'après :

d(SV d(SoA.ï

Orh ÔXj

les 8çj étant des fonctions d'univers n'existant que dans un domaine fini. Reprenons la valeur de 8L donné par (63); il vient :

1 àxk La méthode d'intégration par parties (voir p. 96) nous donne :

Cul- <*'°><) A CÔHih * a

J àxk J dxk

et par suite :

^ fi dHik)

(66) o / Ld«> = J s' - — jSo^u).

Taudis que nous avons posé les équations (3) ccmnie équations de définition, le principe hamiltonien nous fournit maintenant le

àJJlk . ., système (4). Supposons en effet qu en un point, s1 — — v — soit différent de zéro, positif par exemple ; nous pouvons délimiter autour de ce point un domaine où cette différence soit constamment positive. Prenant alors pour Sçjj, une fonction non négative s 'annulant