LA TIIKOHII-: DE MU

•hors de ce domaine, et faisant 8ç3 = 8çs = 8ç4 = o, nous voyons que (65) n'est pas vérifiée. 1) et 2) résultent de 3) et 4).

L'électràdynamiquê de Mie se réduit donc finalcmeid au simple principe d'action (65); il en est d'elle somme de la mécanique qui -(.us sa forme définitive est toute entière dominée par le principe d'action. Mais tandis qu'en mécanique, a tout système correspond une fonction h dépendant de sa constitution, nov.s n'avons plus ici à faire qu'à un seul système, l'univers. Le véritable problème de la matière, c'est dès lors, la détermination de l'action contenue dans l'univers, de la « fonction d'univers » L; mais devant ce problème, nous restons encore perplexes. Si nous choisissons arbitrairement mu fonction L, nous obtiendrons l'univers « possible » que régirait une action de cette forme, univers qui nous sera bien mieux connu que l'univers réel, si du moins les ressources de l'analyse mathématique ne nous font pas défaut. Mais tout revient naturellement à extraire, de tous les univers possibles, le seul qui existe, l'univers réel; d'après tout ce que nous savons des lois naturelles, la fonction qui lui correspond sera déterminée par des propriétés mathématiques simples. De nouveau la physique, cette fois comme physique du champ, tend à ramener à une seule loi, l'ensemble des phénomènes naturels. C'est un but qu'elle se crut près d'atteindre, une fois déjà, lorsqu'on célébrait le triomphe de la physique « dynamiste » fondée sur les principes de Newton. D'ailleurs aujourd'hui encore, il nous faut prendre garde de ne pas nous illusionner. Pour l'instant nous m savons pas encore si 1rs grandeurs sur lesquelles repose la théorie (li \li< suffisent à définir la matière, et si celle-ci est un fait de nature purement électrique. Et surtout, il y a les phénomènes dont nous rendons à peine compte par la théorie du quantum d'action, qui obscurcissent notre connaissance du monde et nous menacent don ne >ait quel nouveau bouleversement.

Voyons quel univers nous donnerait l'hypothèse suivante sur L

(67) L = -H F | 2 -4- io^— ï-,

(où w désigne une fonction d'une seule variable) qui paraît la plus simple après celle qui correspond à la théorie de Maxwell, (nous n'avons d'ailleurs aucune raison de supposer que la fonction d'univers ait effectivement cette forme).

Limitons-nous au cas statique, pour lequel :

N.ui^ avons :

e = grad ç di> d

d = e q — — w'iy)

l'accent indique la dérivation). Contrairement à ce qui a lieu dans

l'électrostatique habituelle, il se présente ici cette circonstance

remarquable que la densité q est une fonction universelle de la

pression électrique «p. « L'équation de Poisson » est ici :

(68) Aç + m>'(ç)=o.

Si iu(cp) n'es! pas une fonction paire de ç : cette équation ne se

186 RELATIVITÉ DB l.KSi'ACK ET ùl TEMPS

conserve pas lorsqu'on change q> en — 9: cela ferait comprendre la différence essentielle entre l'électricité positive et l'électricité négative. Il est vrai que, dans le cas de champs variables, il se présente des difficultés remarquables. Si, en effet, nous avons des charges des deux signes, le radical qui figure dans (67) devra être pris, en différentes régions du champ, avec des signes différents ; il doit donc y avoir des points du champ où çiç* s'annule. Dans leur voisinage, ?;?' prendrait alors des valeurs positives et des valeurs négatives (cetle conclusion ne vaut point pour le cas statique, puisque 0 est le minimum de la fonction f, de ©0). Les solutions de nos ('(|iial ions du champ deviendraient donc imaginaires dans ceilaines zones. Il est bien difficile de voir ce que signifie un champ de cette sorte, qui n'existe que dans les régions contenant des charges d'un certain signe et devient imaginaire dans les domaines intermédiaires. Une solution (nulle à l'infini) de l'équation (68) représente un état d'équilibre électrique possible, un corpuscule capable d'exister par lui-même dans l'univers que nous construisons actuellement. L'équilibre ne pourra être stable que si la solution possède la symétrie sphérique. Dans ce cas, l'équation (68) prend la forme :

(69) -4 4- (r* 4^ ) -+■ ^'Ofi = o.

v ; r* dr \ dr I K '

où ?• représente la distance à l'origine. Si nous voulons que (69) admette une solution régulière à l'infini, de la forme :

' r vl

nous trouvons, en substituant ce développement en série dans le premier membre de l'équation, que le développement de w'iy) commence par un terme en r~u ou par un terme de degré négatif encore plus haut ; de sorte que lorsque x tend vers zéro, w(x) est un infiniment petit du 3e ordre au moins. Sous ces hypothèses, léquation admet une simple infinité de solutions régulières pour r~o, et une simple infinité de solutions régulières pour r = <X>. On est en droit de penser que, en général, ces deux séries à une dimension (parmi l'ensemble bi-dimensionnel de toutes les solutions) auront en commun un nombre fini de solutions ou peut-être dans ( •( rtains cas. un ensemble discret. Elles représentent les différents corpuscules possibles (électrons ou éléments du noyau de l'atome ?). Il n'y a point, à la vérité, qu'un seul électron ou un seul noyau atomique dans l'univers; mais les distances qui les séparent sont. si grandes par rapport à eux, que leurs actions réciproques modifient fort peu l'allure du champ à l'intérieur d'un électron ou d'un noyau atomique. Soit <p la solution (70) de (69) représentant un tel corpuscule, sa charge totale sera :

= — 4r I iv'('i)r*dr = — ir. ■ r2 — M = foe0, b

LA TIIKOK1K I>L MIK 187

Sa masse se calculera comme l'intégrale de la densité d'énergie résultant de (62) :

JE

Masse — 4t. t hfgrad <p)2 -f- »n <p) - ï/i-'(?)\r2dr ô

= 4tt I wc(o) — àçw'(«?) r2rfr

'o Nous pouvons ainsi déduire des lois de la nature la masse et la charge tir l'électron, le poids et la charge de l'atome des seuls éléments qui existent, tandis que. jusqu'ici, nous avions considéré les éléments ultimes de la matière comme donnés a priori, avec leurs propriétés numériques. A la vérité, ce n'est pour l'instant qu'un programme, tant que nous ignorons la forme de la fonction d'univers L ; l'hypothèse (67) que nous avons mise à la base de l'étude précédente, ne nous a servi qu'à montrer quelle intelligence complète et profonde nous aurions des lois de la matière et de son organisation, par la connaissance de l'action L. Du reste, la discussion d'hypothèses arbitraires ne peut nous mener plus loin, mais il nous faut des conceptions physiques et des principes nouveaux qui nous donnent une méthode sûre pour déterminer la fonction hamiltonienne.

Pour préciser ex contrario, la nature de la force physique du champ, développée de la manière la plus générale par Mie en ce qui concerne l 'électrodynamique, nous allons mettre en face du principe d'action (65) qui la régit, celui qui domine toute la théorie de \l .i\well-I.urentz et qui pose l'existence, à côté du champ électromagnétique, d'une « substance » qui se meut. Cette substance est un coritinuum à trois dimensions : nous pouvons donc en déterminer les positions d'une manière continue, au moyen d'un système de coordonnées afh'- Imaginons la substance divisée en éléments infiniments petits: à chaque élément de substance, fixons une masse positive invariable dm et une charge électrique invariable de; l'histoire de cet élément est exprimée par une ligne de l'univers à quatre dimensions qui précise la manière dont il décrit sa trajectoire, ou mieux encore par un « tube d'univers » infiniment délié. Partageons ce tube en sections élémentaires et soit :

d*=V — gikdxidxk la grandeur du temps propre d'une telle section ; dœ son hypervolume ; nous définissons la fonction d'univers \i0. densité de masse au repos par l'équation invariante :

(71) dmds = n0dw.

Nous appellerons « action substantielle de la masse », l'intégrale

étendue à un domaine d'univers X :

fli0do> = fdmds =f(dm J\ — gikdxidxk).

Dans la dernière intégrale, l'intégration intérieure s'étend à la

188 RELATIVITÉ DE l'eSPAGE ET DU TEMPS

portion de ligne d'univers décrite dans le domaine X, par l'élément de masse dm ; l'intégration extérieure s'applique à tous les éléments de substance. Ce passage du temps propre de la substance aux intégrales habituelles d'univers s'effectue mathématiquement comme suit :

Introduisons d'abord la a densité de substance » v de la masse par l'équation

dm = vdadpdy (relativement à toute transformation des coordonnées a($y de la substance, v se comporte comme une densité scalaire). Sur la ligne d'univers relative à un élément quelconque de substance (a, 0, y) nous comptons le temps propre s à partir d'une origine déterminée (qui naturellement variera d'une manière continue avec l'élément de substance). Les coordonnées x, du point d'univers qu'occupe le point (<*Py) de la substance à l'instant s de son mouvement (c'est-àdire après écoulement du temps propre s), sont alors des fonctions continues de «fos, dont le jacobien

â(*fas)

a une valeur absolue A. L'équation (71) nous donne alors :

Nous introduisons de même la densité ?0 de charge électrique au repos! Prenons pour « l'action substantielle de l'électricité » l'expulsion : /(defçid-Xi)

où l'intégrale extérieure s'étend encore à tous les éléments de substance, l'intérieure à la portion de ligne d'univers décrite dans X par l'élément de substance de charge de. Nous pouvons encore l'écrire : fdeds-vjii' = /'p0uV,dco = fs^^idm

dxi où les iV = — sont les composantes de la direction d'univers et

les .s' = p0u', les composantes de l'hypeivourant (courant de convention). Enfin il existe encore à côté de « l'action de la substance » une « action du champ électrique » que la théorie de Maxwell prend simplement égale à

ijV,,,^ (4-^-fe)

Le principe hamiltonien qui condense toutes les lois de Maxwell- Lorentz peut s'énoncer alors ainsi :

L'action totale, composée de l'action du. champ électrique, de l'action substantielle de l'électricité et de l'action substantielle de la masse n'éprouve aucune altération podr toutes variations : des composantes cp, de l'état du champ, des lignes d'univers décrites par les divers éléments de substance, Ces variations s' annulant hors d'un domaine /yn.

LA THÉORIE I>K MIK 189'

Ce principe nous fournit tout de suite, en faisant varier les ?*, leséquations :

oxk

Laissons maintenant les çj invariés et varions les lignes d'univers des éléments de substance; en permutant (comme au § 17, dans la recherche des lignes minima) les signes d et $, puis intégrant par parties, il vient :

m&&fc&

sont ici les composantes du déplacement infiniment petit que subissent les points d'une ligne d'univers. Donc :

Ifidefojdvi) = fdeds ■ Fiku'àxk = fpnFiku^xk • cta.

Déterminons de même la variation de l'action substantielle de la masse (ce calcul a déjà été fait de la manière la plus générale au paragraphe 17, avec des guc variables) et nous trouvons finalement les équations mécaniques qui figurent à côté de celles du champ dans la théorie, de Maxwell :

du, ■»"■■"*■'»'•,

!*o -jj- — Pi' P* = ?0Fikir = Fiksk.

Nous obtenons ainsi cet enchaînement parfait des ensembles des lois, dont il était question page 173. Cette théorie ne rend évidemment pas compte de l'existence de l'électron, puisqu'elle ne fait pas allusion aux forces de cohésion.

Il manque dans l'expression que nous venons de donner au principe d'action, un ternie représentant l'action du champ de la masse, tel qu'il en existe pour l'électricité ; nous allons combler cette lacune dans le chapitre suivant, où le potentiel de gravitation jouera vis-à-vis de la masse, le même rôle que le champ électromagnétique ris-à-vis de la charge électrique.

la découverte capitale que nous venons de faire dans ce chapitre, c'est que la scène du monde réel n'est pas un espace euclidien à trois dimensions, mais un univers à quatre dimensions où l'espace et le temps sont enchevêtrés inextricablement. Subjectivement, il y a un abîme entre nos modes de perception du temps et de l'espace, mais il ne reste pas trace de cette différence qualitative dans l'univers objectif, que la physique cherche à épurer de l'intuition immédiate. Cet univers est un continu à quatre dimensions qui n'est ni « l'espace » ni le « temps » ; c'est la conscience seule qui, se mouvant dans un domaine de cet -univers enregistre la section qui vient à elle et la laisse en arrière, comme « histoire », c'est-à-dire comme

190 relativité de l'espace et du temps

un processus qui se déroule dans l'espace et se développe dans le temps. Cet univers à quatre dimensions est métrique, comme l'univers euclidien; mais la forme quadratique qui détermine cette métrique, n'est pas définie positive, elle possède une dimension négative. Ce l'ait, sans grande importance au point de vue mathématique, est de la plus haute signification en ce qui concerne le monde réel et l'enchaînement des choses qui s'y passent. Il était nécessaire que nous ne nous bornassions pas à prendre in abstracto, l'idée mathématiquement si simple de l'univers métrique à quatre dimensions, mais de la poursuivre dans ses conséquences les plus importantes pour la conception des phénomènes physiques, si nous voulions avoir une compréhension exacte de son contenu et de sa portée; il était nécessaire de l'exposer aussi brièvement que possible. Ce qui demeure fort remarquable, c'est le caractère d'évidence que prend à nos yeux la géométrie à trois dimensions du monde statique dont Euclide fit déjà un système logiquement parfait tandis que ce n'est qu'au prix des plus grandes peines et en lui faisant correspondre un système de nature physique et empirique que nous parvenons à dominer l'univers quadridimensionnel. C'est seulement par la théorie de la relativité, on peut bien le dire, que nous acquérons pour la première fois une connaissance parfaitement conforme de la nature du mouvement, du changement dans le monde.