CHAPITRE IV
§ 27. - Relativité du mouvement, champ métrique et gravitation '.>.
Au point de vue de la théorie de la connaissance, nous ne pouvons pas encore être très satisfaits du principe de relativité einsteinien dont nous avons développé les conséquences et dont nous avons monde l'accord avec l'expérience dans le chapitre précédent. Revenons encore une fois sur les idées développées au début du chapitre. Nous j avons appris à connaître un principe « cinématique » de relativité.. x}, x2, x3, t étaient les coordonnées d'un point d'univers rapportées à un système cartésien dans l'espace et x\, x'2, x'3, t' les coordonnées du même point par rapport à un autre système en mouvement relativemenl au premier, ce mouvement étant quelconque; entre les coordonnées, nous axions les relations (II) de la page 131 . Nous nous sommes rendu compte avec une pleine évidence que deux changements d'état physiques ne diffèrent objectivement en rien l'un de l'autre, si les grandeurs qui caractérisent l'un sont des fonctions de u',, x'2, x'a, t' qui sont les mêmes que les fonctions de a;,, x2, x3, t qui caractérisent l'autre. Les lois de la nature doivent donc s'exprimer de la même manière dans le premier système que dans le deuxième. En fait, les résultats de la dynamique semblent démontrer le contraire, et depuis Newton, il a fallu se résoudre à donner une signilit ation absolue à la rotation, la translation seule étant relative; cependant la raison n'a jamais été satisfaite par ces conséquences prétenduement imposées par la réalité — même après les essais de justification philosophique (voir par exemple Kant : Fondements métaphysiques des sciences de la nature) — et le problème de la force centrifuge a toujours été une énigme insoluble 2).
Où se trouve l'origine de la force centrifuge et des autres forces d'inertie ? Newton répondait : dans l'espace absolu. La réponse que donne la théorie de la relativité restreinte n'est pas essentiellement différente de celle de Newton ; elle en rend responsable la structure métrique de l'univers qu'elle considère comme une de ses propriétés géométriques formelles. Mais ce qui engendre la force doit posséder soi-même une réalité. Or, la seule réalité que nous pouvons admettre pour cela, c'est la structure métrique; elle devrait être elle-même
susceptible de variations et elle devrait pouvoir subir une réaction de la part de la matière. Nous ne pouvons sortir du dilemme — et c'est Einstein qui nous en a montré le chemin — qu'en reprenant les idées de Riemann (voir chap. II) et en les appliquant non pas à l'espace tridimensionnel, mais à l'univers quadridimensionnel d'Einstein-Minkowski, dont il était question dans le chapitre précédent. Nous ne nous occuperons pas tout d'abord de la notion la plus générale de multiplicité métrique, mais nous en restons plutôt aux idées de Riemann. Les points d'univers forment une multiplicité à quatre dimensions, qui possède une détermination métrique grâce à une forme différentielle quadratique Q, à trois dimensions négatives à une dimension positive*. En utilisant un système de coordonnées quelconque Xi(i = 0, 1, 2, 3), nous avons au sens général de Riemann :
(I) Q = ^gtkdxidxt.
ik
Les lois naturelles s'expriment maintenant au moyen de relations entre tenseurs, qui doivent être invariantes pour tout changement conlinu des coordonnées as»; à côté des grandeurs d'état physique, les gik de la forme (I) entrent dans l'expression de ces lois. L'exigence que nous impose le point de vue de la relativité est d'après cela réalisée conformément à l'expérience, si nous considérons les gfifc comme des grandeurs d'état physique auxquelles correspond une réalité : le champ métrique, de la même manière que l'on considère
les composantes o, du potentiel électromagnétique (^.yidxi est une
forme différentielle linéaire invariante) comme représentant un champ. Dans ces circonstances, il y a une invariance non seulement vis-à-vis des transformations (II) qui ne sont complètement arbi-. traites (non linéaires) que pour le temps, mais vis-à-vis de n'importe quelles transformations. La distinction de la coordonnée temporelle dans (II) est en effet incompatible avec les résultats obtenus par le principe de relativité d'Einstein. Si, au lieu de (II) nous admettons des transformations tout à fait quelconques, nous nous rendons bien compte qu'un système cartésien ne se distingue en aucune manière d'un système de cordonnées analogues quelconques. L'existence d'une géométrie indépendante de la physique est définitivement compromise, et c'est précisément parce que nous ne nous étions pas encore libérés du dogme de l'existence d'une telle géométrie, que nous étions arrivés au principe de relativité (II) par des réflexions logiques au lieu d'aboutir au principe général d'invariance. En vérité, les mesures spatiales reposent sur un phénomène physique : la réaction des rayons lumineux et des règles de mesure sur l'ensemble de l'univers matériel. Déjà au § 21, le point
* Nous changeons les signes, car notre nouvelle définition est plus commode que celle qui nous a servis dans le troisième chapitro
de vue paraissait s'imposer, mais nous pouvons le rattacher avant tout aux considérations du § 12, car en effet, nous sommes arrivés à la notion dynamique de la métrique comme à une conséquence nécessaire de la relativité de tous les mouvements. La manière d'agir des rayons lumineux ou les réactions des règles de mesure sont déterminées, par leurs propriétés intrinsèques bien entendu, mais en outre par le champ métrique (ou mathématiquement parlant, par le tenseur gît) précisément comme les vicissitudes d'une charge électrique sont réglées par le champ électrique et par les propriétés intrinsèques de cette charge. Mais de même que le champ électrique dépend de son côté des charges, nous devons admettre ici que le champ métrique dépend des réalités matérielles qui remplissent l'univers. Nous verrons à la fin du paragraphe un principe d'action où la masse s'oppose au champ métrique comme la charge au champ électrique. L'hypothèse faite dans le paragraphe précédent, qu'il existe un système particulier de coordonnées (un système linéaire) pour lequel la forme métrique fondamentale a des coefficients constants, est évidemment à éliminer.
Par un exemple intuitif simple, on peut montrer clairement comment les rapports géométriques subissent l'influence du mouvement. Mettons un disque plan en rotation uniforme. Si dans l'espace où le disque tourne, la géométrie euclidienne est valable, j'affirme qu'elle ne l'est plus sur le disque, si l'on fait des mesures sur lui au moyen de règles en mouvement avec lui. Considérons, en effet, un cercle centré au centre de rotation et tracé sur le disque. Son rayon a la même valeur, qu'on le mesure avec une règle au repos ou qu'on le mesure avec une règle en mouvement, car la direction du mouvement est perpendiculaire à la direction des rayons. Au contraire, si l'on mesure la circonférence au moyen d'une règle entraînée avec le disque, on trouve une valeur plus grande que si l'on fait la mesure avec une règle au repos, car elle subit dans le premier cas la contraction de Lorentz. Sur le disque en rotation, la loi euclidienne qui dit que la circonférence vaut 2n fois le rayon, n'est plus valable.
Si dans un wagon restaurant, qui se déplace sur une courbe à faible rayon, les verres se renversent, ou si dans une usine, un volant en rotation éclate, nous n'avons pas à rendre compte de ces phénomènes par l'explication newtonienne de l'action d'une « rotation absolue », mais nous dirons bien plutôt, conformément à l'esquisse que nous venons d'ébaucher, que ces phénomènes résultent de l'action du champ métrique ou plus exactement de la connexion affine qui en dérive. Le principe d'inertie de Galilée montre que dans l'univers, il y a une « contrainte » qui dirige le mouvement d'un corps abandonné à lui-même, de telle manière que pour le détourner de cette trajectoire nécessaire, il faut appliquer au corps des forces extérieures. Ce « champ de contrainte » qui est une réalité, est ce que nous avons appelé auparavant la « connexion affine ». Si le corps s'écarte grâce à des forces extérieures, la contrainte se mani-
Weyl. — Temps, Espace, Matière. 13
feste par des forces de réaction, la force centrifuge, par exemple. Si l'état du champ de contrainte varie, les aspects successifs se distinguent par l'influence des masses existant dans l'univers, les étoiles fixes, qui engendrent le champ ; les phénomènes mentionnés plus haut sont donc en partie dus à l'action des étoiles fixes, relativement auxquelles la rotation a lieu. (Nous disons « en partie » parce que la répartition des masses ne détermine pas univoquement le champ de « contrainte ».) Pour atteindre les principes de la relativité générale que nous sommes maintenant à même d'obtenir en partant de la théorie « restreinte » du chapitre précédent, nous procéderons en deux temps : 1° Nous accomplissons pour l'univers quadridimensionnel, conformément à l'esprit de continuité, le même chemin qui nous mena, au chapitre II, de la géométrie euclidienne à la géométrie riemanienne. Nous nous donnons une forme différentielle quadratique comme forme métrique fondamentale. Il est alors possible sans autre, de conformer les lois physiques à cette généralisation. Il est commode pour cela de représenter les extensions par des densités tensorielles au lieu de les figurer par des tenseurs comme dans le chapitre III; on y arrive en multipliant les tenseurs par <Jg {g est le déterminant changé de signe des gn). Alors, la densité matérielle, et la densité de charge u. et q sont données par les formules
dmds = \idx, deds == qdx (dx = dx0dx1dx2dx3 )
au lieu d'être données par les formules (71) du § 26; le temps propre ds le long d'une ligne d'univers se détermine par :
ds2 = gikdxidxk.
Les équations de Maxwell s'expriment de la manière suivante :
dxh dxi àxjf
les fi sont les coefficients d'une forme différentielle linéaire invariante fidxi, et tÇifc= v' g-Fik. Dans la théorie de Lorentz on a posé :
/ . dx:
8l = QUl u% =
ds
La force pondéromotrice par unité de volume (une densité vectorielle covariante dans l 'univers se détermine par * (2) p,=— Fi*8*;
les équations de la mécanique prennent la forme générale :
et l'on a toujours pitf^o. On peut leur donner la forme habituelle, si l'on pose :
(4) P, = ni^kt/=i 4^'"s
dx.
* Le signe est changé par suite de notre nouvelle convention sur la forme métrique.
[Comp § 17, éq. (64)] — p» est alors une force « fictive » engendrée par le champ métrique (réaction due à la contrainte); les équations de la mécanique s'écrivent alors :
Les exemples les plus simples de cette force fictive sont donnés par la force centrifuge et la force de Coriolis. En comparant l'équation (4) qui donne les composantes de la « force fictive » due au champ méirique avec celle qui donne la force pondéromotrice du champ électrique, on voit l'analogie complète. De même que la densité vectorielle aux composantes B: caractérise l'électricité, de même, comme nous l'avons vu, la matière en mouvement est complètement caractérisée par la densité tensorielle %'i = \iiiiUk. Aux composantes F»* du champ électrique, correspondent dans le champ métrique, les grandeurs dont :
sont les composantes. De même que F provient du potentiel <pi par dérivation, T provient des gtk par dérivation ; les g* forment donc le potentiel du champ métrique. La densité de la force est le produit de l'électricité et du champ d'une part, et du champ métrique et de la matière d'autre part,
Abandonnons l'idée d'une substance indépendante de l'état physique, et considérons à sa place la densité d'énergie et d'impulsion. Zf déterminée par l'état du champ. D'après la relativité restreinte, les équations de conservation sont :
dZ* dxk Cette équation doit être remplacée par
dZ*
d'après la formule (37) du § 14. S'il n'y avait dans le premier
membre que le premier terme, c'est que Z satisferait aussi aux
lois de conservation. Mais à sa place, s'ajoute un deuxième terme ;
la forcp réelle :
dZik
dxk
ne s'évanouit pas, mais elle doit être tenue en équilibre par la force fictive due au champ métrique :
(fi) t. = r* or» - L ^b! £«n
Ces formules sont aussi utiles dans la relativité restreinte quand
on emploie un système de coordonnées curvilignes mobile ou non, ou un système accéléré. Pour rendre bien claires les opérations que nous venons de faire, déterminons la force centrifuge qui s'applique à un système de référence en rotation. Prenons un système normal de coordonnées d'univers : t, x,, x2, xs et à la place des coordonnées cartésiennes pour l'espace, prenons un système de coordonnées cylindriques r, z, ti, il vient :
ds2 = dt2 — (dz2 + dr2+ rW) .
Faisons la substitution :
où <o est une vitesse angulaire constante. Il vient, en laissant tomber les accents :
ds* = dt\l — r2co2) — 2r2<ùdm— (dz2 + dr2 + rW) . Faisons pour un moment
t = x0, 6 = a?,, z = #2> r=x3, et soient : a1 = u2 = u3 = o les composantes de la vitesse d'un point matériel au repos dans le système de référence utilisé, on a donc :
(u°)2(l— r2a>2) = l; et pour les composantes de la force centrifuge, on a d'après (4) :
or les dérivées de gr00 = 1 — r2w2 par rapport à x0, »,, x2 s'évanouissent, et :
Ôx3 dr
en revenant alors aux notations antérieures et aux unités habituelles, où la vitesse de la lumière n'est pas l'unité, et en passant aux composantes contravariantes, on trouve :
- ur<o2
Deux circonstances très intimement liées d'ailleurs, caractérisent la « force fictive » du champ métrique.
1° L'accélération qu'elle communique à un point matériel qui se trouve en un point de l'espace-temps (plus précisément : au point qui passe avec une certaine vitesse) est indépendante de sa masse — ou mieux encore, la force même est proportionnelle à la masse inerte du point matériel auquel elle s'applique — 2° en utilisant un système de coordonnées appropriées — un système géodésique — en un point, cette force « fictive » peut s'annuler complètement en ce point. (Comp. § 14). Si la relativité restreinte est valable, cet évanouissement peut se produire pour tous les points d'univers par l'introduction d'un système de coordonnées linéaire; mais dans le cas général on peut faire en sorte seulement que les 40 composantes
r# de la connexion affine s'évanouissent en chaque point où l'on introduit le système géodésique qui lui est relatif*, ailleurs les T;* ne sont pas forcément nulles. Mais ces deux circonstances se trouvent réalisées expérimentalement par la force de gravitation. La vraie énigme de la pesanteur réside dans ce fait, qu'un champ.de gravitation communique à chaque masse, quelle qu'elle soit, placée en un même point, la même accélération. Dans le champ électrostatique la force qui s'exerce sur un pendule électrostatique de charge e est e.E. E ne dépend que du pendule, e que du champ. Si aucune force n'agit, cette force eE communique à la balle de sureau une accélération B telle que niB = eE, m étant la masse inerte de la balle. Dans un champ de gravitation, il y a quelque chose d'analogue. La force agissant sur un corps est pG, où p, « la charge de gravitation », ne dépend que du corps et G ne dépend que du champ; l'accélération B est donnée par mB = pG. Mais la gravitation présente alors la propriété remarquable suivante, c'est que la « masse pesante p est égale à la « masse inerte » m. Entvos a vérifié cette loi expérimentalement avec une précision extrême 3). La force centrifuge qui agit sur un corps placé à la surface de la terre et due à la rotation de notre planète est proportionnelle à la masse inerte de ce corps, tandis que son poids est proportionnel à sa masse pesante. La résultante des deux, la pesanteur qu'on observe, aurait des directions différentes suivant les corps dont on formerait le fil à plomb, s'il n'y avait pas proportionnalité de la masse inerte à la masse pesante. Eôtvô> constata au moyen de la balance de torsion, qu'une telle différence de direction n'existe pas; cela permet de mesurer la masse inerte avec la même précision que l'on mesure la masse pesante au moyen d'une balance de précision. La proportionnalité de la masse inerte à la masse pesante est encore rigoureusement vraie dans les cas où il y a perte de masse due, non pas à une disparition de substance comme on l'imaginait, mais à une libération de l'énergie radioactive. La masse inerte d'un corps a une signification universelle d'après les lois fondamentales de la mécanique; elle règle l'attitude des corps pour toutes les actions de forces, quelle que soit leur origine physique, mais sa masse pesante n'est, d'après la notation habituelle, relative qu'à un champ de force particulier, le champ de gravitation (comme la charge électrique pour le champ électrique). D'un tel point de vue, l'identité de la masse inerte à la masse pesante doit rester incompréhensible, elle ne peut être fondée que sur une mécanique, qui, dès l'abord introduit la gravitation à côté de la masse inerte. C'est le cas de la mécanique du principe de relativité généralisée, si nous admettons, que la gravitation tout comme la force centrifuge ou la force de Coriolis, réside dans cette « force apparente » qui correspond au champ métrique. Alors les planètes sui-
* Le champ métrique n'est donc pas représentable par un tenseur invariant pouT des transformations quelconques.
vent une trajectoire qui s'écarte de la trajectoire galiléenne, mais qui est déterminée par le champ métrique, et nous n'avons plus besoin d'invoquer avec Newton, pour expliquer cet écart une « pesanteur » particulière. Les forces de gravitation satisfont encore à la deuxième condition : on peut les faire s'évanouir dans un système de coordonnées particulier: Une benne fermée, un ascenseur, dont la corde est cassée et qui se précipite sans frottement à travers le champ de pesanteur terrestre est un exemple intuitif d'un tel système de référence. Tous les corps libres dans l'ascenseur paraîtront au repos; les phénomènes se déroulent à son intérieur, comme si l'ascenseur était au repos et qu'aucun champ de pesanteur n'existât.
II. La voie indiquée tout à l'heure qui permet de passer de la relativité restreinte à la relativité généralisée, est une opération purement mathématique. Ayant introduit la forme métrique fondamentale (1), nous pouvons formuler les lois de la nature, de telle sorte qu'elles soient invariantes pour n'importe quelles transformations de coordonnées; c'est une possibilité d'existence mathématique et non pas un caractère distinctif de ces lois. On fait un nouveau pas quand on admet que la métrique d'univers n'est pas donnée a priori, mais que la forme quadratique qui la représente dépend de la matière par des lois invariantes aussi. Ce n'est que lorsque ce pas est franchi qu'on s'est élevé à une théorie qui mérite vraiment le nom de théorie de la relativité générale. Elle permet alors de résoudre le problème de la relativité du mouvement. Et c'est alors seulement qu'on peut préciser l'analogie mentionnée dans (I), qui existe entre le champ métrique et le champ électrique d'une part, la matière et la charge d'autre part. Et ce n'est que si nous admettons cette théorie, que la gravitation nous apparaîtra comme une émanation du champ métrique, car nous savons par l'expérience que le champ de gravitation est conditionné par la répartition des masses (loi d'attraction de Newton). C'est moins dans la condition d'invariance générale, que dans cette nouvelle étape, que nous paraît être le noyau de la théorie de la relativité généralisée.
Si nous nous plaçons à ce point de vuo, nous ne sommes plus fondés à appeler « forces fictives », les forces dues au champ métrique; elles ont alors une existence aussi réelles que celles de la force pondéromotrice du champ électromagnétique. La force de Coriolis, la force centrifuge composée sont des forces réelles qui sont exercées sur la matière par le champ de gravitation ou par le champ métrique. Après avoir résolu le problème mathématique simple qui consiste à exprimer les lois de la nature (comme les équations de Maxwell, par exemple) avec un tenseur métrique fondamental quelconque, il reste à découvrir la loi invariante de la gravitation, d'après laquelle la matière détermine les composantes t% du champ de gravitation, et qui remplace dans la théorie d'Einstein la loi d'attraction newtonienne. Pour ce faire, les lois connues des champs ne nous offrent aucun point d'appui. Malgré cela, Einstein
RELATIVITÉ l)( .MOUVEMENT, CHAMP MÉTRIQUE ET GRAVITATION 199
réussit à résoudre victorieusement le problème, et à montrer que la loi trouvée explique les mouvements des planètes tout aussi bien que la loi de Newton et même qu'elle rend compte du déplacement du périhélie de Mercure que la mécanique céleste classique n'arrivait pas à expliquer; ce déplacement de 43" par siècle est quantitativement retrouvée par la théorie d'Einstein.
Cette théorie, qui est l'une des plus belles preuves de la force de la pensée spéculative, nous donne en même temps que la solution du problème de la relativité du mouvement, (solution qui est la seule en état de satisfaire notre raison), la solution de l'énigme de la pesanteur.4) On voit quel argument important, la relativité généralisée apporte aux idées de Riemann, développées au chapitre IL L'on peut aussi affirmer que le point de vue qui oppose l'espace et le temps comme foimes des phénomènes, au contenu matériel du monde, n'est fondé que si on le comprend de la manière suivante : seules des grandeurs d'état physique sont mesurables, au moyen d'opérations matérielles; les 4 coordonnées d'univers ne se mesurent pas, elles servent plutôt à ordonner a priori les points de l'univers d'une manière tout à fait arbitraire, afin de rendre possible la représentation des grandeurs physiques par des fonctions mathématiques (de 4 variables indépendantes).
Pendant que le potentiel du champ électromagnétique est représenté par les coefficients d'une forme différentielle linéaire yidxi invariante, des 4 coordonnées d'univers, le potentiel du champ de gravitation lui, est représenté par les coefficients d'une forme différentielle quadratique invariante. Dans les développements qui nous ont conduits à cette théorie, le théorème de Pythagore a pris une physionomie un peu différente. Il n'a pas été obtenu par l'observation des phénomènes de gravitation, mais bien plutôt par l'expérience de la mesure, par la géométrie. La théorie de la gravitation d'Einstein résulte en quelque manière de la conjonction de deux ordres de connaissance, qui jusqu'ici avaient été complètement séparés dans le développement historique de la science ; la synthèse einsteinienne est donc due à l'amalgame des idées de Newton sur la gravitation et de celles de Pythagore sur la mesure.
Pour obtenir les valeurs des Çik nous pouvons recourir à des expériences immédiates, en utilisant des signaux lumineux comme en relativité restreinte et des points matériels libres. Soient Xi les coordonnées des points d'univers. Les lignes géodésiques qui passent par un point 0 et dont voici les équations :
(9) gik -tt = const = ("
ds ds
se partagent en deux classes, celles qui ont une direction spatiale (C<o) et celles qui ont une direction temporelle (O»o). Ces dernières remplissent un « double cône », de sommet 0; les deux
cônes déterminés par 0 sont ouverts, l'un dans l'avenir, l'autre dans le passé. Le premier contient tous les points d'univers qui appartiennent à l'avenir actif de 0, l'autre tous les points d'univers qui forment le « passé passif » de 0. Les nappes du cône sont formées par les lignes géodésiques de longueur nulle (C = o) ; sur la nappe d'avenir se trouvent tous les points d'univers qui peuvent Être atteints par un signal lumineux de 0, ou plus généralement les points limites qui peuvent être atteints par une action émanée de 0. La forme métrique fondamentale détermine ainsi quels points d'univers peuvent exercer une action les uns sur les autres. Soient dxi les coordonnées relatives d'un point d'univers 0' infiniment voisin de 0, 0' ne sera atteint par un signal lumineux issu de O que si gikdxidXk = o. Par l'observation de l'arrivée des signaux lumineux en des points voisins de 0, on peut donc obtenir les rapports des guc en 0 ; de même pour n'importe quel autre point d'univers. Mais la propagation de la lumière ne nous donne pas d'autre renseignement ; car on sait, par une remarque faite à lapage 110, que les lignes géodésiques de longueur nulle ne dépendent que du rapport des guc- L'image optique des directions qu'un observateur (que nous supposerons être réduit à un œil ponctuel) reçoit à un moment donné du ciel étoile, par exemple, se construit de la manière suivante : du point d'univers 0, auquel l'observateur se trouve, on trace sur le cône antérieur les géodésiques de longueur nulle qui coupent les lignes d'univers des étoiles. La direction de chaque ligne lumineuse se décompose en 0, en une composante e dirigée suivant la ligne d'univers de l'observateur, et en une composante s qui lui est perpendiculaire (« perpendiculaire » a ici le sens que nous lui avons donné à la page 105; s est la direction spatiale du rayon de lumière). A l'intérieur de la multiplicité linéaire tridimensionnelle d'éléments de lignes normaux à e, — ds2 est une forme définie positive, calculée d'après la formule (15) du paragraphe 11; en employant cette nouvelle forme métrique, les angles que forment les directions spatiales S des rayons lumineux, donnent les positions des étoiles telles que les perçoit l'observateur. Le facteur de proportionnalité qui achève de faire connaître la forme métrique fondamentale et que les phénomènes lumineux sont incapables de nous fournir, peut se déterminer par l'observation du mouvement d'un point matériel qui transporte une horloge. Si nous admettons, en effet, que cette montre mesure le temps propre s, si le mouvement n'est pas accéléré, l'équation (9) nous renseigne évidemment sur le transport de l'unité de mesure le long de la ligne d'univers du mouvement (comp. Appendice I).
§ 28. — La loi einsteinienne fondamentale de la gravitation.
D'après la théorie de Newton l'état de la matière est caractérisé par un scalaire : la densité de masse n ; d'autre part le potentiel de
la gravitation est aussi un scalaire + ; entre ces deux grandeurs, Poisson a établi la relation :
(10) A+ =4^A*[x (A = div. grad; fc = constante de la gravitation). C'est la loi suivant laquelle la matière détermine le champ de gravitation. D'après la théorie de la relativité, la matière au sens étroit peut être représentée par un tenseur symétrique Ti*, ou mieux encore par la densité tensorielle mixte %'i correspondante ; le champ de gravitation est aussi déterminé par un tenseur symétrique gu,. A la place de l'unique équation (10), il faut s'attendre à trouver dans la théorie d'Einstein un système d'équations dont les premiers membres seront des expressions différentielles du deuxième ordre en les gik, et dont les seconds membres seront les composantes de la densité de l'énergie %; ce système doit être d'ailleurs invariant pour toute transformation de coordonnées. Pour trouver ces lois, le chemin le plus commode est de partir du principe hamiltonien formulé à la fin du paragraphe 26. L'action se composait là de trois parties : l'action du champ électrique, l'action substantielle de l'électricité, l'action substantielle de la masse ou gravita tion. Il manque encore la quatrième partie : l'action du champ de gravitation que nous allons obtenir. Mais auparavant, il nous faut encore calculer la variation que la somme des trois termes mentionnés ci-dessus, subit, quand laissant invariables les potentiels q>i du champ électromagnétique et les lignes d'univers des éléments matériels on soumet les #,*, potentiels du champ métrique, à une variation virtuelle infiniment petite g; c'est là un problème qui se présente seulement dans la théorie de la relativité générale.
L'action substantielle de l'électricité ne subit aucun changement; la variation de la fonction à intégrer pour trouver l'action du champ électrique
- © = — Flk#"
-est :
-^\fgè(FikFik) + (FikFik)^g\
Or, le premier terme dans le crochet vaut ÏÏ,.S%F\ car $Fik est nul d'après nos hypothèses sur l'invariabilité du potentiel électromagnétique ; or :
Fr* = q>i,,*kFik;
donc pour ce premier terme, on trouve : Le deuxième terme est d'après (58', § 17)
- &>likï;lik.
donc la variation de l'action du champ électrique est :
— j y^*0%fe« J ^Hgncdx
(comp. § 17 [59])
(11) Çj - J©>4 -fr^kr
ne sont pas autre chose que les composantes de la densité d'énergie du champ électromagnétique. (Le changement de signe est toujours une conséquence du changement de signe de la forme métrique.) C'est seulement maintenant que nous voyons tout à coup d'où viennent les expressions compliquées (11) pour la densité d'énergie et d'impulsion du champ électromagnétique, et c'est la variation de la métrique d'univers qui nous en donne la raison. Pour l'action de la masse, nous obtenons un résultat correspondant :
S V gikdxidxh = \ : — — = ids u* u* o gilc
as donc
Kf(dmf\/gikdXidxk) =ft2'Miiut'Bgikdx.
Pour la variation de la partie que nous connaissons déjà de l'action totale, nous trouvons :
(12) /{Vègik dx,
où %f est la densité tensorielle de l'énergie totale.
Le quatrième terme de l'action qui nous manque encore, l'action
du champ de gravitation, doit être un invariant intégral, f®dx, où
la fonction © est construite avec les potentiels g* et avec les com-
\ik) posantes du champ de gravitation j > (c'est-à-dire avec les g%k et
à§ik
leurs dérivées premières ^ — = <7i/r,>) ; ce n'est que dans ces circonstances-là qu'on pourra obtenir les lois de la gravitation par des équations différentielles qui ne soient pas d'ordre supérieur au deuxième. La différentielle totale est :
(13) U&=\%il'lgih + Wt>,ïgik,r (©*=©'*, ©*•>=©•■*.»•);
on trouve alors pour une variation infinitésimale Igik, nulle à l'extérieur d'un domaine fini et sur sa frontière, grâce à une intégration par parties :
(14) bf®dx=fl\®]ikègikdx
où les « dérivées lagrangiennes » [©]** symétriques en i et en k se calculent par la formule :
Les équations de la gravitation prennent alors la forme
et l'on ne s'étonne plus de ce que les composantes de l'énergie et de l'impulsion se présentent précisément comme coefficients lorsqu'on varie les gnc, dans les trois premières parties constitutives de l'action. Malheureusement il n'existe aucune densité scalaire©, formée comme nous le voudrions ; car on peut toujours amener les { f ,
à être tous nuls en un point moyennant un choix approprié du système de coordonnées. Mais nous avons appris à connaître un invariant qui contient les dérivées secondes des gik linéairement : c'est le scalaire R de la courbure riemannienne ; on peut même prouver que c'est le seul invariant de cette espèce (voir Appendice II). Puisque les dérivées du second ordre y entrent linéairement, elles disparaissent^ par une intégration par parties dans l'invariant intégral flR^Jgdx. Nous avons donc :
f\Rs/gdx=f<$>dx plus l'intégrale d'une divergence, c'est-à-dire l'intégrale d'une fonction qui a la forme — — ; @ ne dépend ici que des gik et de leurs
dérivées premières. Pour une variation 8pto, nulle à l'extérieur et sur la frontière d'un domaine fini, on a :
*f\R>s/gdx=lfmx parce que
e>(oh)')
dx = o
dxj
d'après le principe d'intégration par parties. Ce n'est donc pas f(èdx qui est un invariant, mais c'est àffàdx et c'est bien ce qui seul importe pour le principe de Hamilton.
Nous dirons donc que f(&dx est l'action du champ de gravitation; et cette expression est la seule qui soit possible. Nous sommes donc arrivés victorieusement aux équations de la gravitation (15) ; elles sont déterminées univoquement. Elles nous montrent que chaque espèce d'énergie a une action gravitationnelle; cette action n'est pas seulement l'apanage de l'énergie concentrée dans les électrons et les atomes, c'est-à-dire la matière au sens étroit, mais l'énergie diffuse dans le champ (car les %kt sont les composantes de l'énergie totale) y participe aussi.
Avant de poursuivre les calculs qui sont nécessaires pour que les équations de la gravitation prennent une forme explicite, nous examinerons d'abord si nous parvenons à des résultats analogues avec la théorie de Mie. L'action f%dx qu'on y considère est un invariant, non seulement pour les transformations linéaires, mais pour des transformations quelconques , car 2 est formé au moyen des ç», des Fit et des gik par des procédés purement algébriques où n'interviennent aucune considération d'analyse tensorielle. Formons la différentielle totale de iî ; on a formellement : (16) *B = !Z<ty|»4&£, 3,8 =={£**#* 4-1%
et appelons énergie ou matière la densité tensorielle 3£. Nous supposons seulement que le champ métrique (de potentiels gik) est à la matière (%ik) comme le champ électromagnétique (de potentiels ?i) est au courant électrique («')• Mais nous devons prouver maintenant
que les explications actuelles conduisent précisément aux expressions données au § 26 (64) pour l'énergie et l'impulsion ; nous obtiendrons en plus la preuve, encore à faire, de la symétrie du tenseur d'énergie. Nous ne pouvons pas atteindre ici notre but par un calcul direct ; mais nous nous servirons d'une idée fort belle dont les germes se trouvent dans l'œuvre magistrale de Lagrange et dont la forme la plus parfaite a été développée par Klein 5).
Faisons subir au continuum universel une déformation infinitésimale, qui fait passer le point (xi) au point (xï) :
(17) x~i = Xi + e •Ii(a?0x1o;8x,)
(e est le paramètre infinitésimal constant, dont on négligera les puissances supérieures à la première dans la suite.) Nous supposons que les grandeurs d'état participent à la déformation, de telle sorte que les nouveaux <p» (qu'on désignera par çj) sont des fonctions des coordonnées qui, par suite des équations (17), satisfont à :
(18) (f>i(x)dxi = (pi(x)dxi
et dans le même sens, les formes différentielles symétriques et symétriques gauches dont gnc et Fu sont respectivement les coefficients doivent rester invariables. Les variations <pi(x) — çj(:e) que subissent par la déformation les grandeurs ç» en un point fixe (#») seront désignées par 8?» ; on aura des définitions identiques pour 8<7ifc et SFife. Remplaçons dans 8 les <p», gîte, Fik par les <pi, grt&, F«. on obtient 8 :
8 = 8 -*- 88 §8 est donné par les relations (16). Soit maintenant X un domaine quelconque d'univers qui, déformé, devient le domaine X. Par la déformation, l'action :
2dx subit une variation §' | Qdx
qui est égale à la différence de l'intégrale de £ sur X et de l'intégrale de 8 sur X, l'action étant un invariant, on doit avoir :
<19) , 8' | %dx = o.
Nous décomposons cette variation tout naturellement en deux parties : 1) la différence des intégrales de B et de 8 sur X ; 2) la différence des intégrales de 8 sur X et sur X :
jSdx — J2dx =j|S/I- j 2&1 -+- j /8 <x - jZdJ
Pour la première partie, puisque X ne diffère de X que d'une quantité infiniment petite, nous pouvons prendre la valeur :
8 J2dx = M
SScte
la deuxième partie est, d'après les résultats de la page 96,
dx.
Pour mener à bien notre calcul, nous devons encore connaître 3<p», îgik et 8F,jfc. Si pour un instant nous posons
<fi(x) <Çj(x) = à,yi,
nous obtenons à cause de (18) :
à'<pi'dxi + f.y dir — o, donc:
0 ©i = — e m,. — r — , OXi
et puisque
(- - - ) ày*
%<pi = o'<pi — ]?i(x)— <pi(x) = 3'<pi — «• -x — £p
I ) àrr
on obtient enfin, après la suppression du facteur e, qu'on sous-enten> dra toujours :
on aurait de même :
f*or\ ïr? -f ^ +f dlr Z âFik &
or on a
/,/ = — ; — i et par suite :
dxk ox{
, d(8?,-) #«ftf
d-r* dXi
mais à cause de l'invariance de Fa, on a :
dytCx) d?k(x')
Fik{x) = Fik{x)
âxk dXi
djh(x) àîfa) dxk ôx%
Remplaçons alors dans (16), il vient :
- m = «t -*■ ^*ph + **) || + (jSt*1 d/f. +•••■)«
Débarassons-nous des dérivées' des |* par des intégrations par partieset posons pour abréger
206 THÉORIE GÉNÉRALE DE LA KELATIVUl-
nous obtenons une formule qui a l'aspect suivant :
(22) -S' I %dx = f dJ^Ê)dx\S[\ài)dx = o.
Or, on sait que, si les \{ sont choisis de façon à être nuls hors du domaine X, il faut que, en chaque point :
D'après cela, le premier terme du deuxième membre de (22) est nul ; on obtient ainsi une identité valable quels que soient les |* et le domaine d'intégration X ; or l'intégrale d'une fonction continue n'est nulle, quel que soit le domaine d'intégration, que si la fonction elle-même est nulle :
dxk ' dxk àx
mais comme on peut choisir les |* et les -r»- arbitrairement, il faut
àxk
que :
SB* = o, — - = o
\àXk
Nous sommes donc bien arrivés au résultat :
Ces considérations nous donnent en même temps les lois de la conservation de l'énergie et de l'impulsion que nous avons déjà obtenues au § 26 et qui sont exprimées par les équations (23). La variation de l'action de tout l'univers pour une déformation infinitésimale nulle à l'extérieur d'un domaine fini est :
(24) f SSfte= f -Z*dgikdx+ f 808dx = o.
Or, le deuxième terme est nul ici par suite des conséquences du principe de Hamilton (équations de Maxwell),
(25) ft08dx=o le premier terme vaut •
Cela résulte immédiatement du calcul effectué ci-dessus. On obtient alors les équations de la mécanique :
(M) ffi'^!ï« = 0.
ÔXk 2 ÔXi
comme une conséquence des lois du champ électromagnétique. (A cause du terme supplémentaire dû à la gravitation ces équations ne peuvent plus être considérées dans la théorie générale de la relativité, comme les équations de conservation ; la question de savoir s'il existe des équations de conservation, sera examinée au § 33).
Du principe hamiltonien complété par l'introduction de l'action du champ g ravi fi que :
(27) if(2 + ®)dx=o ■
où il faut considérer les variations virtuelles infinitésimales que subissent les champs électromagnétiques et gravifiques comme indépendantes l'une de l'autre, on obtient d'une part les équations électromagnétiques et d'autre part les équations (15) de la gravitation. Appliquons maintenant les considérations qui nous ont mené aux équations (26) à © au lieu de 2, alors pour une variation S, infinitésimale et nulle hors d'un domaine fini, on obtient :
8 I ©dx = § I -Rs/gdx = o
et l'on trouve des identités mathématiques analogues aux identités
âxk 2 dxil
Le fait que ® contient les dérivées des gne n'y fait rien. Les équations mécaniques (26) sont d'après cela aussi bien une conséquence des équations (15) de la gravitation que des équations du champ électromagnétique :
Les dépendances remarquables qui se dévoilent ici peuvent être formulées de la manière suivante qui est indépendante de la validité de la théorie électrodynamique de Mie. L'état d'un système physique est représenté, relativement à un système de coordonnées par certaines grandeurs d'état <p variables dans l'espace et dans le temps (c'est ce que nous appelions plus haut les <?i). En plus de ces variables, le champ métrique dans lequel le système est plongé est déterminé par ses potentiels gne- Les lois des phénomènes dépendent d'un invariant intégral f2dx ; la densité scalaire \J est une fonction des q> et de leurs dérivées premières (éventuellement des dérivées supérieures), elle dépend aussi des gih, mais pas de leurs dérivées. Nous prenons la différentielle totale de Xî en explicitant les termes en tga. :
Alors ïf est la densité de l'énergie (matière) liée à l'état physique du système. La détermination de ses composantes est ramenée une fois pour toutes à la détermination de la fonction hamiltonienne 8 : c'est la théorie de la relativité générale seule, qui, rendant possible la variation de la métrique d'univers, conduit à une vraie définition de l'énergie. Les lois d'état s'obtiennent par le principe « partiel » de variation d'action, d'après lequel, seules les grandeurs d'état sont à varier ; on obtient alors autant d'équations que de grandeurs 9 à déterminer. Les dix équations de la gravitation (15) qui donnent les dix potentiels gr,* s'obtiennent lorsqu'on applique le principe de variation complète (27), les g^ variant à leur tour. Les
équations mécaniques (26) sont aussi bien une conséquence des lois d'état que des lois de la gravitation ; on pourrait les considérer comme les résultants de ces deux séries. Donc dans le système des lois d'état et des lois de la gravitation, il en est quatre qui sont en excès. En effet, la solution générale doit contenir quatre fonctions arbitraires, puisque les équations, par suite de l'invariance, laissent complètement indéterminé le système de coordonnées xc, par conséquent, si l'on opère une transformation quelconque sur les variables Xi dont dépend une solution, on obtient une nouvelle solution (mais qui représente le même état de l'univers que la première). La vieille division en géométrie, mécanique et physique doit être remplacée dans la théorie d'Einstein par la distinction entre l'état physique et le champ gravifique. Pour être tout à fait complet, revenons encore au principe hamiltonien de la théorie de Maxwell-Lorentz. La variation des <pi donne les lois électromagnétiques, la variation des Qik, celles de la gravitation. Puisque l'action est un invariant, la variation qu'elle subit pour une déformation infinitésimale du continuum universel, doit être nulle ; à cette déformation doivent participer : le champ électromagnétique, le champ gravifique, et les lignes d'univers des éléments de substance (matière et électricité). Cette variation se compose de trois termes ; les variations dues aux deux champs et aux lignes d'univers considérées chacune pour soi. Les deux premières sont nulles par suite des lois des champs électromagnétiques et graviflques; la troisième doit donc être nulle aussi et l'on obtient bien ainsi les équations de la mécanique comme une conséquence des deux groupes de lois qu'on vient de mentionner. Récapitulons les calculs précédents : nous pouvons réaliser les opérations de la façon suivante : des équations de la gravitation, on tire les équations (26), ou :
' f àxk 2 ax{ )
©f étant la densité tensorielle de l'énergie du champ électromagnétique ;
' fis 2. âxi
et M, le premier membre de l'équation de continuité de h matière,
àxt
Par suite des équations de Maxwell, le second membre de (28) est
égal à :
Pi = — F** 8* (S^ouO
en multipliant (28) par u* et sommant d'après l'indice i, on trouve :
Af = o.
Nous sommes ainsi parvenus à la forme habituelle de l'équation de
continuité de la matière et des équations mécaniques.
Maintenant que nous avons une idée synthétique des relations que soutiennent les lois d'Einstein avec les autres lois physiques, il nous reste encore, pour terminer ce que nous nous sommes proposés de faire, à calculer explicitement les expressions [©]* 6). La variation virtuelle des composantes de la connexion affine :
est un tenseur, comme nous le savons (page 98). Utilisons en un point un système de coordonnées géodésique, on tire de la formule f§ 17, (60)] qui donne Rik :
OXr OXk
d'où
OXr OXr
posons :
9ikfik - 9irth = ",P> on voit que :
àwr et alors avec un système quelconque de coordonnées :
En intégrant, la divergence du second terme tombe ; d'après la définition, l'on doit avoir :
If R s/~gdx = /[©] "hgncdx = —f[®]ikzg«dx
et comme les Rik sont symétriques, on trouve :
[©]<* = Vgi^gncR — Rik) = gg«9i — »«
tes équations de la gravitation sont alors :
W->YW-&i
Nous avons utilisé dans ce qui précède l'unité rationnelle de masse (de la même manière que nous avons employé dans les équations électromagnétiques l'unité rationnelle de charge). Si l'on emploie le système CGS, on doit multiplier le second membre par une constante universelle 8irx. Le signe de x pourrait encore être douteux, car jusqu'ici, rien ne le précise. C'est dans le prochain paragraphe que nous verrons que k est positif puisque les masses s'atti-
Weyl. — Temps, Espace, Matière. 14
rent. On doit remarquer que les équations rigoureuses de la gravitation ne sont pas linéaires; elles sont bien linéaires par rapport aux
( ik ) ( lk )
dérivées des j mais pas par rapport aux { > eux-mêmes.
Contractons les équations (29); c'est-à-dire faisons k = i et sommons, on trouve :
c'est pourquoi on peut écrire les équations (29) sous la forme
Dans le premier mémoire où Einstein, sans passer par le principe de Hamilton, a donné les équations de la gravitation, le terme
- Q 8*2! manquait; il reconnut après que sa présence est exigée par
les théorèmes de conservation. 7) Les relations avec le principe de Hamilton que nous avons développées dans ce paragraphe n'ont été exposées que dans des travaux ultérieurs dus à H. A. Lorentz, Hilbert, Einstein, Klein et l'Auteur lui-même 8). Pour la suite, il est bon de connaître @. Pour transformer :
flislgdx en 2/©rfx
(à une divergence près), nous avons à calculer :
.- ., à [ik) ô i r [ik)\ [ik) à r ...
'"■* 3«:J>!." 1Ï\{SH r j) -|r \^^'
^'" ~k i r i = -k ¥A r i ) I " \k {f9gik) ' et par suite :
d'après (57') et (57") > du § 17, les deux premiers termes donnent au facteur <J g près :
is ) (kr) , ( ik ) [ rs ) , [ik ) [rs I .,
rs}\ik) "h2J'*jjr*j \iki\rs
-yfl'XWîO'
par suite :
Nous avons ainsi développé les bases de la théorie einsteinienne
de l.i gravitation. La questit n se pose maintenant de savoir si l'expérience confirme cette théorie purement spéculative, et avant tout si les trajectoires des planètes sont aussi bien (ou mieux peut-être) représentées que par la loi newtonienne de l'attraction. Les §§ 29-32 sont relatifs à la solution des équations de la gravitation; l'élargisx m< ni de la théorie générale ne sera poursuivi que dans les paragraphes 33 et suivants.
§ 29. — Champ statique de gravitation.
Relation avec l'expérience.
Pour l'étude du système solaire, nous allons spécialiser tout d'abord les lois d'Einstein au cas du champ statique de gravitation ') Celui-ci est caractérisé par le fait que l'univers, avec un système approprié de coordonnées, se décompose en espace et en temps, de telle manière que la forme métrique ait l'aspect :
ds2 = fdt2 — do2, do2 = ^yikdxjdxj
avec
9«o = /2; Sot = <7*o = o; gik = — Yi* (î, k = 1, 2, 3) et que les coefficients / et Y>fe ne dépendent que des coordonnées spatiales xlt x2, x3 et pas du tout du temps t = x0. do2 est une forme différentielle quadratique définie positive. La mesure du temps t est complètement déterminée (après le choix d'une unité de mesure) par ces conditions; les coordonnées spatiales xlt x2, x3 ne sont déterminées qu'à une transformation quelconque continue près. Dans le cas statique, la métrique de l'univers donne en plus de la détermination métrique de l'espace, un champ scalaire / dans l'espace. Désignons les symboles de Christoffel attachés à la forme ternaire ik
do2 par j > ; lorsque les i, k, l ne prennent que les valeurs 1, 2, 3;
on tire des définitions précédentes :
ik ) ( ik
I ) ( l ik ) \oi) ( oo
10 | fi ( oo )
àf
où l'on a posé /i = - — ; ces grandeurs sont les composantes cova-
riantes du gradient de/; f = yikfk en sont les composantes contravariantes; »/yf — f sont les composantes d'une densité vectorielle
contra variante dans l'espace. Pour le déterminant y des Yt*, on a »/g = f\/y. Posons ensuite :
, Ôfi \ik\% d2f \ik)*df
/«* — ~zz — / r —
dxk { r ) dxiôxjc ) r ) dxr
(l'indice de sommation r ne prenant ici que les valeurs 1, 2, 3);
et A/=Hi (A/=Yv./0,
on trouve alors entre les composantes Rik et Pik des tenseurs de courbure, attachés respectivement aux formes ds2 et do2, les relations :
■ Kik = i ik 7"
Rio = Roi = O /?oo = /--^ Wî = Af)
Pour de la matière à l'intérieur de laquelle aucune tension n'existe, la seule composante de la densité tensorielle d'énergie est %l = n; on a par suite aussi % = \i. La matière au repos crée un champ de gravitation statique. La seule équation (30) qui nous intéresse est celle dont les indices sont (°), elle donne :
ou avec le facteur de proportionnalité Sny, : (32') A/ = 47rx[x.
Si nous admettons que ds2 ne s'écarte, moyennant un choix approprié des coordonnées xlt x2, x3, qu'infiniment peu de la forme :
(33) c2dt2 — (dx \ + dx\ + dx \)
— ce qui exige que les masses agissantes soient infiniment faibles
— on obtient en posant :
(34) ^=C4-T * étant infiniment petit :
<10> A* = ** + *f + tf - £*
et (x est la densité de masse en unités ordinaires divisée par c. ,
En fait, cette hypothèse s'accorde avec toutes nos expériences géométriques à l'intérieur du système solaire, d'une façon fort approchée. Les masses des planètes sont très faibles vis-à-Yis de la masse du soleil qui engendre le champ de gravitation; cette dernière est au repos; on peut alors considérer les planètes comme des « corps d'épreuve » qui nous renseignent sur la valeur du champ là où ils sont placés; ils ne modifient pas en effet de façon sensible ce champ. Le mouvement d'un tel corps d'épreuve, (abstraction
faite précisément des très faibles perturbations négligeables) est donné par une ligne géodésique d'univers dans ce champ statique. Celle-ci satisfait à la relation :
Sfds = o
les extrémités étant fixes. Dans le champ en question, on a :
if\rFZI^a dt = o, ,
où l'on a fait
d-j \ 2 ^ dxi dxk
Ht
/dl\* 3 dXi
iA:=i
cette grandeur n'est pas autre chose que le carré de la vitesse. Nous avons à trouver, tout à fait comme dans la mécanique classique, les équations du mouvement en partant d'une fonction de Lagrange qui est ici L = *Jf2 — v2. Faisons la même approximation que tout à l'heure et supposons que pour un champ de gravitation infiniment faible, les vitesses sont aussi infiniment petites (vis-à-vis de c), on a:
Jf* — v* = y/c1 -+- 2* — y* = c -f- - (* — -v*)
et puisque
il vient, toutes réductions faites
dt
c'est-à-dire que la planète de masse m se meut d'après les lois de la mécanique classique, si l'on admet qu'une force due au potentiel m* agit sur elle. A'ous avons ainsi atteint en première approximation les résultats de Newton : 4> est le potentiel newtonien, il satisfait à l'équation de Poisson (10), fc=c*x est la constante de la gravitation. Pour 8xx, on trouve d'après la valeur mumérique de k la valeur :
8îtX = ÎJ = l,S7 -iO-*1 cm- st-1 c*
L'écart de la forme métrique avec la forme « euclidienne » (33) est donc assez considérable pour que les géodésiques d'univers que les planètes décrivent, se distinguent nettement des translations rectilignes uniformes, — quoique la géométrie de l'espace au repos, dont do2 donne les propriétés s'écarte d'une quantité tout à fait inappréciable de la géométrie euclidienne (la somme des angles d'un triangle géodésique est donc très peu différente de 180°). Avant tout, le rayon de l'orbite de la terre vaut environ 8 minutes-lumière; la durée de sa révolution est au contraire une année.
Nous allons compléter maintenant la théorie exacte du mouvement d'un point matériel et des rayons lumineux dans le champ
statique de gravitation 10). Les lignes géodésiques sont déterminées d'après le § 17, par les 2 principes de variation :
(35) ifsfQds = o ou ïfQds = o, Q = o,*—^
ds ds
Le second suppose que le paramètre s ait été choisi d'une manière convenable. Pour les lignes géodésiques de longueur nulle, qui sont telles que Q = o, le second seul entre en considération. La variation est exécutée de telle manière que les extrémités de la ligne d'univers soient invariées. Soumettons seulement x0 = t à une variation, on a dans le champ statique :
(36) tà.-[*&]^fi(ftfci
donc :
f1 — = const.
as
Attachons-nous au cas du rayon lumineux; nous pouvons par un choix approprié de l'unité de mesure du paramètre s — car on sait que s n'est fixé par le principe de variation qu'à l'unité de mesure près — faire ensuite que. la constante précédemment trouvée soit l'unité. Effectuons une variation d'espèce plus générale; la trajectoire spatiale de la lumière sera variée sauf à ses extrémités, mais nous laissons tomber la condition %x0 = o pour ces extrémités, alors :
ZfQds = 2\U] = nfdt.
Si en particulier le chemin varié est décrit avec la vitesse de la lumière, on a aussi pour la ligne d'univers qui lui est relative :
Q = o, do = fdt
et l'on trouve alors :
(37) cfdt = o Cj = o.
Cette équation donne la trajectoire spatiale du signal lumineux; elle n'exprime pas autre chose que le principe de Fermât du chemin optique minimum. Dans la dernière formule, le temps est éliminé complètement; elle est valable pour n'importe quelle portion d'un rayon lumineux dont on se donne les extrémités.
Prenons dans un champ de gravitation n'importe quelles coordonnées a^a^tfg (pour nous servir d'une image commode, faisons correspondre au point xx, x2, x3, dans leur système cartésien le point dont les 3 cordonnées sont dans ce système x}, x2, x3). Considérons dans ce système, les images de 2 étoiles S, et S2 et d'un observateur au repos 0, l'angle que forment les 2 droites 0S1 et 0S2 n'est pas égal à l'angle sous lequel l'observateur voit les étoiles; mais on doit relier 0 h Sx et à S2 par les lignes de plus court chemin optique données par (37) et l'angle que ces 2 courbes forment en 0 doit être transformé par une construction auxiliaire euclidienne, pour obtenir l'angle vrai basé sur la forme du do ['§ 11 (15]. Les angles ainsi
ÏT
cil W1P statique m: GRAVITATION 215
calculés qui nous donnent donc l< s positions relatives des étoiles sont bien ceux que l'on mesure sur le cercle divisé de l'instrument d'observation : 0, S, et N. restant immobiles dans l'espace, imaginons que de grosses masses passenl dans le voisinage des rayons lumineux, alors l'angle SX()S2 peut varier: ce qui revient à dire que, dans le sens où nous venons de préciser les choses, les rayons lumineux sont courbés par le champ de gravitation. Cependant les rayons ne sont pas des lignes géodésiques dans l'espace de métrique do2, comme nous nous l'étions figuré pour fixer nos idées dans les considérations du § 12, ils ne rendenl pas fdo extrémâle, mais bien plutôt l'intégrale :
La courbure des rayons lumineux se manifestera en particulier dans le champ de gravitation solaire. Prenons un système de coordonnées xx, x2, x3, pour lequel on ait à l'infini : rf<j« == dx'\ -h dx\ -+- dxi:
alors un rayon lumineux passant au voisinage du soleil subit une déviation de 1",74 (voir § 31) c'est-à-dire que les étoiles fixes dans le voisinage immédiat du soleil doivent paraître avoir subi ce déplacement, si on compare leurs positions actuelles à celles qu'elles ont lorsque le soleil occupe une autre position dans le ciel. On ne peut faire de telles observations que pendant les éclipses totales de soleil Les étoiles de la région occupée alors par le soleil doivent être suffisamment nombreuses el brillantes, elles doivent être assez près du soleil pour que l'effet ait une valeur appréciable, mais pourtant elles ne doivent pas être noyées dans les protubérances solaires. On se rend compte aisément que l'observation n'est pas facile. L'éclipsé totale du 29 mai 1919, était particulièrement favorable à de telles mesures. 2 expéditions anglaises furent envoyées dans la zone de totalité, pour faire précisément des observations à ce sujet; l'une alla à Sobral (Brésil), l'autre à l'Ile du Prince, dans le Golfe de Guinée. Le phénomène fut bien de l'ordre de grandeur indiqué; les résultats pour Sobral donnèrent un déplacement de 1"98 ± 0"12 et ceux de l'Ile du Prince 1 "(il ± ()".'?() "). (lie autre conséquence optique, due à un champ statique de gravitation, et qui peut être soumise à l'observation dans les cas les plus favorables, se tire de la relation
ds = fdt
entre le lent/)* cosmique / et le temps propre s.
Deux atomes de sodium au repos sont Identiques l'un à l'autre; le phénomène qui donne naissance à la raie h, doit avoir la même fréquence mesurée en temps propre pour chacun des doux atomes; plus clairement, dans une seconde du temps propre de chacun d'eux i se produit le même nombre de vibrations dans chaque atome. Si on mesure les fréquences au moyen du temps cosmique, on obtien-
dra deux nombres différents vx et v2 pour chacun d'eux, si / a les valeurs différentes /, et /2 aux deux points où se trouvent les sources, c'est-à-dire que, en une seconde de temps cosmique, le premier effectue vx vibrations, le second v2. Or, soit As la durée d'une vibration exprimée en temps propre, l'on a : f^àtx = /2A£2 = As, c'està-dire que en A£x unités (secondes) de temps cosmique en Na,, il s'est effectué une vibration, en une seconde de tlt il s'en effectue
— • ; c'est précisément la fréquence v,, on a donc : Ali
Les ondes lumineuses émises par un atome, ont naturellement la même fréquence partout, mesurée en temps cosmique (car dans un champ métrique statique, les équations de Maxwell ont une solution qui dépend du temps par l'expression ev'7, v étant une constante.) Si donc on compare la lumière de la raie ll) d'une source sodique située dans une étoile de masse considérable, à celle qu'émet une source sodique terrestre, on devra trouver que la ligne stellaire est du côté du rouge par rapport à la ligne terrestre; en effet / est plus petit dans le voisinage d'une grosse masse que dans le voisinage d'une petite, la fréquence de la lumière stellaire est donc plus faible que la fréquence de la lumière terrestre. Le rapport des fréquences, d'après la formule approximative (34), à une distance
- d'une masse m, a la valeur : 1 — -. A la surface du soleil une
ligne de 4000 A subit un déplacement de 0.008 A. Cette valeur est 4 la limite de ce qui est observable; il s'y ajoute l'effet Doppler, la largeur des raies terrestres, certains déplacements périodiques des lignes solaires, dont les causes sont en partie inconnues. En ayant égard à tout cela, les observations semblent confirmer 12) l'existence d'un déplacement de l'ordre prévu; mais la question expérimentale reste ouverte*.
Il y a une troisième possibilité de contrôle expérimental. D'après Einstein, la théorie newtonienne du mouvement des planètes n'est qu'une première approximation; il s'agit de savoir si les différences des résultats de la théorie einsteinienne et de ceux qui sont dus à Newton, sont appréciables. Evidemment les chances d'obtenir une différence perceptible sont d'autant plus grandes que la planète, à laquelle on applique la théorie est plus voisine du soleil. En effet, Einstein et Schwarzschild 13) ont obtenu, le premier par une première approximation, le deuxième rigoureusement, le champ de gravitation à symétrie sphérique engendré par une masse en repos et les trajectoires qu'y décrit une masse infiniment petite ; appliqués
* Les mesures récentes effectuées par M. Pérot d'une part, et par MM. Buisson et Fabry d'autre part, confirment ces conclusions (voir la préface de M. Langevin au Livre de M. Eddington : Espace, temps, gravitation; Paris 1921.) (N. D. T.)
à Mercure, les résultats obtenus donnent pour sa trajectoire une ellipse qui subit une lente rotation de 43" par siècle dans le sens du mouvement. On connaissait déjà depuis Le Verrier la valeur de la perturbation séculaire du périhélie de Mercure, mais la théorie n'en rendait pas compte; on essaya les hypothèses les plus variées pour expliquer cette perturbation, mais aucune ne fut prouvée 14). Nous reviendrons dans le prochain paragraphe sur la solution de Schwarzschild. Nous voyons donc que si le bouleversement amené par les idées d'Einstein sur le temps et l'espace est radical, les écarts effectifs Qu'elles présentent avec les idées habituelles sont extrêmement faibles. Parmi ces écarts, ceux qui sont mesurables ont été confirmés par l'observation. Cependant la théorie trouve sans doute son appui moins dans l'expérience que dans sa contexture logique qui la place fort au-dessus de la mécanique classique puisqu'elle résout, d'un coup et d'une manière fort satisfaisante pour l'esprit, la double énigme de la gravitation et de la relativité du mouvement. La méthode qui nous a fourni les trajectoires lumineuses au moyen d'un principe de variation sur les quatre éléments spatiaux, peut nous donner le mouvement d'un point matériel dans un champ statique de gravitation. Si s est le temps propre, c'est que :
dt 1
(38) 0 = 1, et /"»— = const. = — -
as E
Appliquons maintenant le premier principe de variation (35) et généralisons-le comme plus haut, en faisant varier spatialement la courbe, les extrémités étant fixes et en faisant varier x0 — t d'une façon quelconque. Il vient :
pour éliminer le temps propre, divisons la première des équations (38), membre à membre par la deuxième élevée au carré :
(40) iï\f*~ ("sr)'i =E2> donc: d°=/vf/^,
où • U = 4 — # :
(40) donne la loi de la vitesse suivant laquelle le point matériel décrit sa trajectoire. Si nous effectuons la variation de telle manière que la trajectoire variée soit décrite avec la même loi de vitesse et la même" constante E, (39) nous donne :
3 COL = S C\Jf* - i^Ydt=$fEf2dt, c'est-à-dire :
lffUdt = o ou enfin en exprimant dt au moyen de l'élément d'arc do
ZfjTJdo = o
218 THÉORIE gk.\Ï:k\LE DE LA RELATIVITE
Quand la trajectoire est connue, la loi du mouvement sur sa trajectoire est alors donnée par
do
d(=F7Ir
pour E = o, on retrouve les lois du rayon lumineux.
§ 30. — Ondes de gravitation.
Einstein 15) est parvenu à intégrer les équations de la gravitation moyennant l'hypothèse que le champ énergétique X':' est infiniment faible. Les g%k sont très peu différents, pour un système de coordonnées approprié, de constantes gà; soient y« les petits excès de g»* sur §ik. Nous considérons alors l'univers comme un univers euclidien avec la forme fondamentale :
(41) §ikdxidxk
et les Ytfc comme les composantes d'un champ de tenseurs symétriques du deuxième ordre dans cet univers. Les opérations qui f ^-ent sont relatives à la forme (41) ; nous sommes donc de nouveau pour un instant dans le domaine de la relativité restreinte. Le système de coordonnées peut être aussi choisi de manière à être normal, c'està-dire tel que :
gik = o (i/-k)
x0 est le temps, xlt x2, x3 sont les coordonnées spatiales; la vitesse de la lumière est choisie pour unité. Posons :
6* = Y* — 70* (v — Ivfl
TJ II I Ji . i I i '■
Nous prétendons tout d'abord que nous ne sortons pas de la généralité en supposant :
G tr, si cela n'était pas, nous n'aurions qu'à modifier infiniment peu le système de coordonnées^ jusqu'à ce que (42) ait lieu. En effet, les nouvelles coordonnées xi = xi + \i(xo> xi> x2> x3)> contiennent des fonctions ;' infiniment petites de l'ordre de y. Nous avons aussi de nouveaux gw, et l'on a :
gM - job) = gir ^~ + g» ^ + |g ? [voir (200] et par suite
/ N - / N tôt ^ f \ -f \ Ut*
dxk dxi ôxi
ri il vient :
ôxk ôxk dxi' dxi ôxi dx'
