ONDES DE SB W 1 I VTION
V étant un opérateur qui, sur une fonction quelconque /, donne :
Vl âxiV àxkJ ' dxl \dx) dx\ dx\ ) La condition désirée est réalisée avec le nouveau système de coordonnées si l'on détermine les £* par l'équation
dty
Vu = -T^
qu'on intègre par les potentiels retardés (chap. III, page 143). Donc
le système de coordonnées est déterminé jusqu'ici non pas à un
infiniment petit du premier ordre près, mais bien à un infiniment
petit du deuxième ordre près (bien entendu à une transformation de
Lorentz près aussi); il est remarquable qu'une telle normalisation
invariante soit possible.
\ ik ) Calculons les /?<*. Puisque les ■ sont infiniment petits, on
obtient en se bornant au premier ordre
Rik= - i* ' - Ô \ir\ dxr [ T ) àxk \ r y
[ ik 1 l / dv* L r J ~ï \dxk
âxi dxr
r ) 1 \ dxh ' ÔX, ' 9 ().r. Si, maïnlenant, on se sert de l'équation (42), qui peut s'écrire
l'on trouve :
Il vient de même
donc
0xk dxi
ô Uk) à^ i
dxr ( r ) oxiOXu t
à l ir ) d*t
àxk I r dXidxh
Rik=-
-jv-va
et par suite :
Les équations
de li
ru
gravitation :
— Vï-
deviennent :
- VW
fit
On les intègre par les potentiels retardés (voir p. 143)
■dV
Tf étant pris sous le signe f à l'instant t — r.
Chaque variation de la distribution de matière engendre une action gravifique qui se propage dans l'espace <wec la vitesse de la lumière. Des masses oscillantes engendrent des ondes gravifiques.
En fait, il n'existe pas dans la matière des oscillations de masses assez fortes pour que les ondes qui en résultent soient observables.
Les équations (43) correspondent complètement aux équations
électromagnétiques
et comme les potentiels ?* du champ électrique doivent satisfaire à
— — - = o, parce que le courant s1 satisfait a :
dsl
àxi ~
les conditions supplémentaires (42) devraient bien être introduites puisque le tenseur T* satisfait à :
Ûlî.
àxk
Dans un espace vide de matière il peut exister des ondes gravifiques ; on les obtient comme en optique :
Les af et les o^ sont des constantes; on doit avoir : ai<x* = o. a0 = v est la fréquence de l'oscillation, les équations a1x1 + cx2a;3 + a3ar3 = const. représentent les plans de phases constantes. Les équations différentielles Vtyjf = o sont identiquement satisfaites ; les conditions (42) exigent alors :
(44) af afc = o
Si l'axe x1 est la direction de la propagation des ondes, l'on a : cl2 = <x3 = 0 — a1 = a2 = v
et les équations (44) donnent :
(45) a"=a\ ou a0,= — a1;
Il suffit d'après cela de donner la partie spatiale du tenseur symétrique a :
an a2i «•>$
puisque les a avec un indice zéro se déterminent par (45).
Il se décompose, d'après la direction de propagation en trois parties :
D'après cela l'oscillation du tenseur se laisse décomposer en trois parties indépendantes l'une de l'autre : une onde longitudo-longitudinale, une onde transverso-longitudinale et une onde transversotransversale.
De l'intégration approximative des équations de la gravitation, H. Thirring a tiré deux applications intéressantes 16). Il a recherché l'influence de la rotation d'une grande et lourde sphère creuse sur le mouvement des points matériels dans le voisinage du centre de la sphère et il a trouvé une action mécanique de même espèce que la force centrifuge. Il existe encore à côté de celle-ci une autre action qui tend à diriger le point matériel dans le plan équatorial de la rotation, suivant la même loi avec laquelle la force centrifuge tend à l'écarter de l'axe. Ensuite, il a montré avec J. Lense l'influence de la rotation du corps central sur les planètes ou les satellites qui gravitent autour de lui; pour le cinquième satellite de Jupiter la perturbation est d'une grandeur telle qu'une comparaison avec l'observation est peut-être possible.
Nous allons procéder maintenant à l'intégration rigoureuse des équations du champ statique ; jusqu'ici dans les paragraphes 29 et 30, nous nous sommes bornés à une intégration approchée en ne prenant que les termes linéaires ; essayons de poursuivre.
§ 31. — Solution rigoureuse du problème du corps unique ").
Pour un champ de gravitation statique on a : ds2 — pdxl — do2, où do2 est une forme quadratique définie positive des trois variables d'espace xlt x2, x3; la vitesse de la lumière / ne dépend que de xx, x2, x3. Le champ est à symétrie sphérique, si pour un choix approprié des coordonnées, / et do2 sont invariants pour toute transformation orthogonale linéaire effectuée sur ces variables.
Pour que cela soit, / doit être une fonction de
r= yjx\ et do' doit avoir la forme : •
(46) X(rfx^ -h dx\ -+- dx'l ) + l(x, dxx + x2dx2 + x3dx3)2
1 et l étant des fonctions de r seulement. Sans limiter la généralité, on. peut encore choisir les coordonnées de manière que l'une des fonctions de r soit l'unité ; il suffit de multiplier xlt x2, x3 par un facteur convenable l fonction de r seulement. Supposons que cela soit fait et que X=l. D'après les notations du paragraphe 29, nous avons :
Y** = — gik^Sik + l.XiXk, (i, k = i, 2, 3).
Nous déterminerons d'abord ce champ, de façon qu'il satisfasse aux équations homogènes de la gravitation, c'est-à-dire aux équations où £f =s o.
Ces équations sont synthétisées dans la formule :
Le champ de gravitation que l'on obtient alors est celui qui est dû à des masses en repos réparties autour d'un centre suivant l<4 symétrie sphérique.
En désignant par des accents les dérivées par rapport à r, on trouve :
àxa r
et par suite :
~ [ « ] = T T" l'XiXk "** ll>lx" {i,ki a = ' ' *' 3)
or, de :
on tire :
xa = -rrx*> A2 = 1 h- /r*,
donc par analogie
ik ) J ara l'xixk -+- 2/rSf aj~ï7 h2
Il suffit d'effectuer les calculs pour x1 = r, x2 — o, x3 = o. Alors pour ce point, les symboles de Christoffel deviennent :
(il) h1 (22) (33) lr
les symboles qui ne portent que les indices 1, 2, 3, sont nuls. Ensuite, d'après le paragraphe 29 :
( 10 J j 01 ) f . j 00 ) ff
les autres sont nuls. Les termes de la diagonale principale du déterminant formé avec les gu, (i=k) sont :
/», — À\ -1, -i, les autres sont nuls (c'est toujours bien entendu pour xx = r, xa=a?8 = o) ; pour les guc quand i=k, on trouve :
i, __ JL , !
pour ijzk, gik = o. La définition (31) de © donne :
Si il
Ni
ioi-
i il
Les termes de la première et de la deuxième ligne donnent
1 ( il) ) \
(ivî-i:î).(fiûi°j
Or le deuxième facteur de ce produit est nul. D'autre part : [§ 17 (67)]
Jtiï-4 (*=^=v>
ce qui permet d'écrire de suite pour la somme des troisième et quatrième lignes :
Effectuons l'intégrale de © sur un domaine d'univers dont la trace spatiale est formée d'une couche sphérique limitée par deux sphères concentriques et dont la trace temporelle est un intervalle fixe de l'axe des x0, l'élément dx vaut :
dx = dx0 • dû • •>tdr (dQ = angle solide)
qu'on peut tout d'abord écrire SfŒr'dr = o,
IfwA'dr = o.
lr*
= i rr- )r = W
et l'équation à résoudre
devient
Si l'on pose :
lr*
h* ~~ i + lr* " V h* Dans notre nouvelle intégrale, nous pouvons considérer A et w comme des fonctions qu'on a le droit de varier indépendamment l'une de l'autre.
En variant w, il vient :
à' = o A = const.
et par un choix approprié de l 'unité de temps, on peut faire :
Une intégration par parties nous donne ensuite :
fwb'dr = [toA] — fàw'dr; varions A, alors
w' = o, w — const = 2m;
par suite, de la définition de w et de A = 1 on tire :
Nous sommes ainsi arrivés au but. L'unité de temps est ici telle que la vitesse de la lumière à l'infini est égale à 1. A une distance r grande vis-à-vis de m, nous pouvons employer les valeurs du potentiel newtonien pourvu que nous considérions la masse m0, telle que m- = xm0, comme la masse créatrice du champ. Nous appelons m le rayon de gravitation de la matière causant la perturbation du champ. Puisque 4~m est le flux de la densité vectorielle spatiale f à travers une sphère quelconque enveloppant les masses, (32') nous montre que pour la matière sans cohésion, on a :
m0 = f)idx1 dx2 dx3
ce qui donne m. Or f ne peut être négatif, c'est donc que pour la région de l'espace libre de matière, le système de coordonnées employé doit y donner partout r>2m. Nous reprendrons ce point à propos de la sphère fluide pour laquelle nous déterminerons le champ de gravitation intérieur. Nous pouvons appliquer la solution obtenue au champ solaire en négligeant les actions des planètes et des étoiles fixes. Le rayon de gravitation pour la masse solaire est 1,47 km., pour la terre, il n'est que de 5 mm.
Le mouvement d'une planète (dont nous considérons la masse comme infiniment petite par rapport à la masse solaire) est représenté par une géodésique d'univers, dont les équations sont :
d*xi \ aj3 ) dxa dx?
ds2 I i ) ds ds
Celle qui est relatif à l'indice i = o, donne dans le champ statique, comme nous l'avons vu, l'intégrale de l'énergie :
pÉpL = c()nSt., ds
or puisque
Les équations où i = 1, 2, 3 donnent pour un champ à symétrie sphérique :
rf2a?i . d2x.2 . d2x.A
ds2 ds* ds2
ainsi qu'il appert des formules qui donnent
Comme d'ordinaire, on en tire les intégrales des aires
dx2 dxt
. . . , x. —z-r — x2 — r— = const .
ds ds
où il faut remarquer que ce n'est pas le temps cosmique qui est la variable de dérivation, mais bien plutôt le temps propre s de la planète. Ce théorème des aires nous prouve que le mouvement est plan; supposons qu'il s'effectue dans le plan #3 = 0 et posons alors :
xx = r cos 9 x2 = r sin <p.
L'intégrale des aires s'écrit alors :
(47) r% —r— = const. = b.
ds
Or :
dx\ + dxl — dr2 + r2 d<p2, xt dxr 4. x2 dx2 = rdr
do2 = (dr2 + rM?2) + l(rdr)2 = Wdr2 + rM?2 et le théorème de l'énergie nous permet d'écrire :
Puisque fh = l on trouve :
2"i / dr\2 , ■ n , / dv\2 -7-+M ^ (r - 2m) {-£)=-E = const.
Cette équation, outre les dérivations par rapport à s ne présente qu'une seule différence avec l'intégrale des forces vives de la théorie newtonienne, elle contient le facteur r — 2m au lieu que l'ancienne ne présente à cette place que le facteur r. On procède ensuite tout
d<9 comme dans la mécanique classique, on élimine —~- :
(dr\2 2m b\r — 2m)
\-dj)-:T -*- -^ — '
ou, en posant p = — ,
d? ) = 2mo — E~ 6V(1 — 2m?) f-ds I
Si nous voulons la trajectoire, il faut éliminer ds, on trouve :
( do \2 2m E , ,
Dans la théorie newtonienne 2mQ3 n'existe pas. Le polynôme du
Weyl. — Temps, Espace, Matière. 15
3e degré en p qui se trouve dans le second membre a 3 racines positives p0> px>2» Ce polynôme s'écrit donc :
et p varie entre px et p2 la racine p0 est très grande vis-à-vfs de px et p8 pour les planètes de notre système. Posons encore :
Pi ■ P2
et appelons a le demi grand axe et e l'excentricité; on en tire :
Pi "H p2 = — Ta T~ '
D'autre part, le coefficient de p2 permet d'écrire :
Po-4-P. + P^^
9 s'exprime au moyen d'une intégrale elliptique de lre espèce, donc p est une fonction elliptique de 9. Le mouvement est précisément du même type que le mouvement du pendule sphérique. Pour obtenir une formule d'approximation, faisons la même substitution que dans la théorie newtonienne :
Pi-H-Pa Pi — P2 ;— A p = COS 0,
alors :
Le périhélie est caractérisé par les valeurs 6 = 0, 2«, . . . , l 'accroissement de l'azimuth 9 pour deux passages successifs au périhélie est donné par cette intégrale prise de 0 à 2n. Avec une précision suffisante, cet accroissement est :
2tt
Pi -+- P2
y •'» \ro —
Mais
\/2m (Po
2 = (Po + Pi -+■ h) - T(Pi + PO = e" - "
™ 2 ~ vro ' r! 2vri : r" -2m a(l - e2)
Par suite, l'acroissement cherché est ;
•— ,2tt 1 -+-
i\m ' \ tt(t — e2))'
a(l — es)
donc Ze déplacement du périhélie dans le sens da mouvement est de
Cizm
m est le rayon de gravitation du soleil, on peut l'obtenir, au moyen
de la 3e loi de Kepler, en introduisant la période T de la révolution de la planète :
Seul Mercure donne pour ce déplacement une valeur appréciable "). La formule (49) donne aussi la déviation a d'un rayon lumineux.
Si 80 = â + e est la valeur de 0 pour laquelle p = o la valeur de l'intégrale (49) prise entre — % et 4- 60 donne précisément « + a. Maintenant on a :
2m (p, — P) (oj — p) (? - ps) = ^ — p» -+- 2/n?» •
P varie entre o et p4 ; — = rx est la distance jusqu'à laquelle le rayon
Po s'approche du centre O de la masse; b est la distance de O aux deux
asymptotes du rayon lumineux (car pour une courbe quelconque cette distance est la valeur de —-r— pour p =0). On sait que :
2m (p0 -h p! -f- pa) = 1
et si —7- est une petite fraction, une première approximation nous
donne :
h = - «fi = T> — (Pi -+- Pa) = (^- J
a = / M -h-^-cos OjrfO — Ti = 2e-|-
2m donc :
Si l'on calcule la trajectoire lumineuse d'après la théorie newtonienne, en ayant égard au fait que la lumière est pesante, c'est-àdire, si l'on détermine la trajectoire d'un point matériel dont la vitesse est à l'infini celle de la lumière c, on trouve en posant : 1 2m m
-p~* -p? — ? = (Pi— P)(P-P»)
avec Px>o, p2<o et :
» pi -H ps cos G„ = —
Pi~ Pa
La théorie newtonienne de l'attraction donne donc une déviation
ir-hec = 200,
moitié moindre que celle que donne celle d'Einstein. Les observations de Sobral et de l'Ile du Prince tranchent en faveur de celle d'Einstein 19).
§ 32. — Solutions rigoureuses de quelques problèmes relatifs au champ statique de gravitation.
Dans un système de coordonnées cartésien xlt x2, x3, l'équation d'une surface de révolution, autour de l'axe des x3, peut s'écrire :
x9 = F{r), r = Jx\ -4- x\ ;
le carré de la distance de deux points voisins situés sur cette surface est :
do*=(dxl-)-dxl)-h(F(r)ydr*= (dx*+dxl)-h( — ^ \xidxi^t-x4x.if •
Dans un champ gravifique à symétrie sphérique, le carré de la distance entre deux points voisins, situés sur un plan passant par le centre de symétrie (#3 = o par exemple.) est :
do2 = (dx\ + dxl) + l(x1dx1 + xadxa)a, où
Les deux formules coïncident, si l'on pose :
'ni
La géométrie dans ce plan est donc la même que celle qui est valable sur un paraboloïde de révolution
tracé dans l'espace euclidien 20).
Une sphère chargée engendre, à côté du champ de gravitation, un champ électrostatique à symétrie sphérique aussi; puisque les deux champs exercent l'un sur l'autre une influence, ils peuvent être déterminés simultanément 21).
Employons les unités CGS (et non plus les unités de Heaviside). Dans un domaine libre de masses et de charges, l'état d'équilibre s'exprime en écrivant que l'intégrale
w&! — x \ dr
étendue à un tel domaine a une variation nulle. Les notations sont les mêmes que plus haut, * est le potentiel électrostatique. Pour représenter l'action du champ électrique, nous avons pris comme dans la théorie classique le carré de la valeur du champ. La variation de w donne comme auparavant :
A' = 0, A = const. = c,
la variation de ♦ donne :
'r^.'U« donc ♦ = !•.
a i\ dr\
Pour le champ électrostatique, on trouve donc la même formule que si la gravitation n'existait pas, la constante e0 est la charge qui engendre le champ. En variant A, on trouve enfin :
d'où :
m0 est la masse qui engendre le champ de gravitation. Mais il entre dans f2, comme on le voit, outre le terme dépendant de la masse, un terme complémentaire dépendant de la charge et croissant lorsque r décroît, m = xm0 étant le rayon de gravitation de la masse
mo* — e0 = e est dit le rayon de gravitation de la charge e0. Notre
formule donne une idée de la constitution de l'électron essentiellement différente de l'idée que nous en avons. L'électron, en effet, est supposé avoir un rayon fini afin que l'énergie totale du champ ne soit pas infinie, et par suite que l'électron n'ait pas lui-même une masse inerte infinie. Si la masse inerte de l'électron ne provient que de l'énergie de son champ, son rayon est de l'ordre de grandeur de :
el
Mais dans notre formule, il entre une masse mrt (qui engendre le champ de gravitation) tout à fait indépendante des grandeurs précitées; au point de vue de la gravitation, notre formule est valable même pour de très petites valeurs de r, comment concilier ces choses-là ? D'après Faraday, la charge qui se trouve à l'intérieur d'une surface fermée Q n'est pas autre chose que le flux du champ électrique à travers Q. Nous verrons aussi dans les prochains paragraphes que la masse, aussi bien l'inerte et la pesante que celle qui engendre le champ, doit être représentée par un flux. Pour la solution statique que nous venons de rencontrer, le flux du champ électrique à travers n'importe quelle sphère centrée au centre de symétrie du champ, vaut ine0. Au contraire, la masse intérieure à une sphère de rayon r, dépend de r, elle vaut :
La masse est, d'après cela, répandue d'une façon continue. La densité de masse coïncide naturellement avec la densité d'énergie, mais à cause de la singularité au centre, la masse est finie malgré que l'énergie soit infinie. Le niveau de base, à partir duquel la masse
doit être calculée, n'est pas zéro, mais — oo ; la masse m0 de l'électron ne peut donc pas être déterminée à partir de ce niveau, mais elle représente le niveau à distance infiniment grande.
a est donc le rayon de la sphère qui entoure la masse zéro. Contrairement à l'idée de Mie, la matière apparaît comme une singularité véritable dans le champ. Dans la théorie générale de la relativité, où nous supposons que l'espace n'est pas nécessairement euclidien, il se pourrait très bien que les limites de l'espace, outre les frontières infinies, fussent en partie situées à distance finie; par 'exemple, l'espace serait un espace euclidien à connexion multiple, les points singuliers étant exclus, grâce à des surfaces fermées les entourant; ces frontières seraient encore des frontières à distance infinie (comp. § 34); les points singuliers, en effet, n'appartiennent pas au champ ; * mais on pourrait néanmoins en faire le tour.
Nous pouvons donc justement opposer à la théorie de Mie, la représentation que nous venons d'esquisser, d'après laquelle il n'existe aucune dépendance entre la masse de l'électron et l'énergie potentielle du champ qu'il engendre; la question, que nous avions réservée plus haut, des forces de cohésion de l'électron n'a plus de sens. Cependant, il n'est pas satisfaisant d'admettre un champ privé de charge, alors que la masse (= l'énergie) s'étend dans tout le champ avec une densité continue; nous devrons plus tard reprendre ce point.
Du reste, on a :
— = — ou e = \fatn •
Pour l'électron le quotient — est de l'ordre de 1020, — est de l'ordre
de 1040; c'est dire que la répulsion électrique que 2 électrons (très distants) exercent l'un sur l'autre est 1040 plus grande que leur attraction gravifique. Or, la thèse de Mie admet précisément que tous les nombres relatifs à la grandeur des électrons sont des constantes mathématiques déduites des lois de la nature; le nombre trouvé qui est d'un ordre de grandeur tout autre que l'unité rend cette thèse fragile; d'autre part il paraît difficile de croire qu'il soit attaché à la structure de l'univers des nombres purs dont la valeur numérique est fortuite.
Le champ de gravitation qui règne à l'intérieur d'un corps massif n'est déterminé d'après la théorie d'Einstein, que si la constitution dynamique du corps est complètement connue; les équations de la gravitation contiennent les équations mécaniques, ou pour le cas statique, les conditions d'équilibre. Les rapports dynamiques les plus simples que nous puissions imaginer, sont ceux
* Dès l'instant où, dans la théorie de la relativité, nous abandonnons la géométrie euclidienne, nous ne sommes pas forcés d'accorder à l'espace une connexion euclidienne; il se pourrait qu'il eût des frontières autres que les éléments à l'infini; en particulier, il est possible qu'il se comporte comme un espace euclidien duquel on aurait enlevé quelques points.
que présentent des corps formés d'un fluide incompressible. Le tenseur d'énergie d'un fluide, sur lequel n'agit aucune force de volume, est donné par les équations du § 25
Tik^^UiUk— pgik,
où les ii» sont les composantes covariantes de la direction d'univers de la matière; le scalaire p est la pression et n>* s'obtient à partir de la densité constante \l0 par l'équation (j.* = p.0 + p. Soit :
H*Ui = Vi
et considérons les Vi comme indépendants. Posons : . 1 ,
varions les gik et laissons les y, inchangés; on trouve bien :
82 = I zikz9i*.
Par suite, les équations de la gravitation sont synthétisées dans la formule suivante :
8 /(£ + ©) dx = o
Il faut bien s'attendre à ce que ce principe, quand on y considère les Vi comme les grandeurs indépendantes à varier, ne nous donne pas les lois exactes de l'hydrodynamique (lesquelles seraient alors
- — ■ == o dont on ne peut rien tirer). Celles-ci sont déjà conte- Vu, u«
nues dans les équations de la gravitation, ce sont les équations de conservation.
Dans le cas statique, on a : ux = v3 = vs = o et toutes les grandeurs sont indépendantes du temps, nous posons v0 = «i et nous appliquons la variation 8 avec la même signification que celle que nous lui avons donnée au § 23, c'est-à-dire que 8 est une déformation infinitésimale, mais ici nous la restreignons à l'espace. On a :
et 8u n'est pas autre chose que la différence des valeurs de v aux 2 points de l'espace, qui passent de l'un à l'autre par la déformation. En reprenant la conclusion par laquelle nous obtînmes au § 28, les théorèmes de conservation, nous avons conformément à ces lois :
f%*ïgik.dx = o et l'équation
/8« • dx = o
qui exprime l'invariance de l'intégrale d'univers de 8 nous montre que 8u = o. Cela signifie que v possède une valeur constante dans une portion connexe d'espace remplie d'an fluide incompressible. Le théorème de l'énergie est identiquement satisfait, et la loi d'impulsion s'exprime de la manière la plus simple.
Une masse fluide unique en équilibre possédera une symétrie sphérique quant à la répartition des masses et à l'aspect du champ qu'elle engendre. Considérons donc ce cas, on aura pour le dsa, 3 fonctions X, l, f, à déterminer tout comme au début du § 31. Nous posons d'abord à = 1; ce qui fera que l'équation qu'on obtient en variant X nous échappera. D'ailleurs cette équation est remplacée complètement par celle que nous avons déduite de l'invariance de l'action pour une translation spatiale dans la direction radiale, c'està-dire l'équation d'impulsion v — const. Le problème variationnel à résoudre s'exprime alors :
8/ { A'w -+- r*\j.0A — r*vh\ dr = o ;
et l'on
y doit
varier A et h. On sait que
Varions A,
il vient :
IV2 —Pi w =
donc :
Si la sphère fluide a le rayon r = r0, on voit que l'on doit avoir :
Comme nous avons ici les unités naturelles, on trouve en unités CGS pour une sphère remplie d'eau, que cette limite supérieure est :
a = V/ - — = 4.108 km = 22 minutes lumière.
v on*
Hors de la sphère, les formules précédentes sont valables, en particulier on y a :
Les conditions aux limites exigent que h et f soient continues à la surface de la sphère et que la pression p s'y annule. La continuité de h donne le rayon de gravitation m de la sphère fluide :
t*oro o
L'inégalité qui existe entre r0 et a, nous montre que le rayon r doit être supérieur à 2m. Avant d'étudier ce qui se passe de l'infini à la sphère singulière r = 2m, étudions un peu l'intérieur du fluide. Reprenons les unités ordinaires :
Ho doit être remplacé par 8tîx[1o> et Tn = xm0, si m0 représente
la masse gravitante; alors on trouve :
Puisque
est une constante et que sur la surface de la sphère, elle est égale
à -f-, où h0 s'obtient par la formule (50), on a donc dans tout
fl{]
l'intérieur du liquide (51)
La variation de h donne
