rv = o

Or, de l'égalité (50), on tire

par suite :

const.

Au moyen de la valeur de r et de la condition à la surface A = 1, on obtient :

Zh — hn

Enfin, (51) donne encore

f = 3h — h() ' Zhhn

P = Ko

hQ-h 3h — /in

Par suite, la forme métrique fondamentale de l'espace est (52) rfa» = (dx\ -+- dx\ -f- dxl) + K--±— -^-i- — 2 IL

la vitesse de la lumière / et le champ de pression p sont déterminés. Introduisons une coordonnée d'espace xA qui est bien entendu surabondante :

xA = V a2 — r3 xî "+" xt ■+■ ^3 ■+" a* = fl2

on a

par suite :

x^dxx + xadx2 + xtdxs + x^dx^ = o,

et (52) se transforme en :

rfc:» = dx\ ■+■ dx22 -h dxl -+- dxl-

Dans tout l'intérieur de la sphère fluide, la géométrie sphérique de l'espace est valable; c'est la géométrie intrinsèque de la « sphère » (53) dans l'espace euclidien à é dimensions, les coordonnées Xi étant cartésiennes. Le fluide couvre une calotte de cette sphère; la pression dans le fluide est une fonction homographique de la « cote » z = xA sur la sphère :

Ho 32o — Z

De plus, la pression p ne peut pas devenir infinie dans la région z = const, il faut que 3z0>a, et la limite supérieure trouvée pour

a doit être diminuée, elle est en définitive — s- v/ —

3 V Ho

Ces résultats sur la sphère fluide ont été obtenus d'abord par Schwarzchild 22).

Après avoir résolu les problèmes du champ de gravitation statique, l'Auteur a réussi à résoudre le problème plus général du champ statique à symétrie cylindrique 23). Nous ne donnerons ici que les résultats les plus simples de ces recherches. Il s'agit tout d'abord de masses non chargées et nous étudions le champ de gravitation dans un espace libre de matière. En introduisant des coordonnées cylindriques r, 0, z, on met le ds2 sous la forme :

ds2=j2dtt — do2; de2 = hidr2 + dz2) -+- '^-;

/ 6 est un angle déterminé à un multiple de 2x près. Sur l'axe de symétrie, r=o, h et / sont des fonctions de r et de z. Nous représentons l'espace véritable sur un espace euclidien, dans lequel r, 0, z sont des coordonnées cylindriques. Le système canonique de coordonnées est défini univoquement à une translation z=z' + const. près. Si h=j—\, ds2 coïncide avec la forme fondamentale de l'espace euclidien. Le problème peut être résolu de la même manière que le problème analogue en dynamique newtonienne si la répartition des masses est connue dans le système canonique. On peut transporter les masses dans l'espace image de manière que la région représentée contienne la même masse que la région à représenter; si alors ip est le potentiel newtonien de cette répartition de masses dans l 'espaceimage, on trouve que :

(54) f=eei

Erfm la fonction inconnue h se détermine par la résolution d'une équation de Poisson (dans le plan du méridien 8 = o). Si l'on a à faire à un corps chargé, on peut encore trouver le système canonique de coordonnées. Si l'on admet que les masses sont négligeables visà-vis des charges, c'est-à-dire si l'on admet que le rayon de gravitation des masses pour une région quelconque de l'espace, est beaucoup plus petit que le rayon de gravitation des charges électriques qui y sont situées, et si <p est le potentiel électrostatique de la

théorie classique pour les masses réparties dans l'espace image, on obtient pour / et pour le potentiel électrique * dans l'espace véritable les formules : ,

cos

L'étude du cas de la symétrie sphérique dans celle théorie plus générale ne se présente pas aussi simplement; elle exige une transformation des coordonnées spatiales, de laquelle nous ne dirons rien, si ce n'est qu'elle est passablement compliquée.

Comme les lois de l 'électrodynamique de Mie, les lois de la gravitation d'Einstein ne sont pas linéaires. Mais l'observation ne permet pas de déceler ces termes non linéaires qui sont négligeables vis-àvis des autres ; il est donc permis d'appliquer le principe de superposition aux forces de l'univers visible. Tout au plus, ce principe est-il en défaut à l'intérieur de l'atome, où d'ailleurs nous ne voyons pas grand chose encore. On sait que les équations différentielles non linéaires, en ce qui concerne les singularités, présentent des difficultés qui ne sont pas encore surmontées ; il semblerait par là que ces deux choses : les particularités des équations non linéaires et les phénomènes intra-atomiques devraient être en relation. Les équations (54) et (54') nous donnent un bon exemple de la manière dont se modifie le principe de superposition dans la théorie rigoureuse de la gravitation : les potentiels / et <t> dépendent dans un cas par la fonction exponentielle et dans l'autre par une fonction trigonométrique des grandeurs t|> et <p, qui satisfont, elles, au principe de superposition. Mais en même temps, ces formules nous montrent distinctement qu'il n'y a rien à espérer du rapprochement de la non-linéarité des équations avec les phénomènes intra-atomiques. Car les écarts entre ? et * ne deviennent

appréciables que là où — <p est de l'ordre de grandeur de l'unité,

et cela ne se présente à l'intérieur de l'atome que sur des sphères dont le rayon est de l'ordre du rayon de gravitation de la charge e0,

soit e — — e0 — 10~33cm. Il est clair que les équations différentielles

de la gravitation ne peuvent déterminer univoquement les solutions relatives au cas statique ; il est nécessaire de donner des conditions aux limites (à l'infini par exemple) ou des conditions de symétrie. Les solutions que nous avons trouvées sont de nature telle que la forme métrique fondamentale qu'on peut construire avec leur aide se présente à l'infini sous la forme :

dx20- (rfajf-J-jflbl-4-Arl).

Une série de belles recherches sur les problèmes de statique a été effectuée par M. Levi-Civita 24). Les géomètres italiens ont encore

étudié à côté du cas « stationnaire », le cas où les gf01, g02, gos sont variables avec le temps 25); un exemple d'un tel problème est donné par l'étude du champ engendré par un corps en rotation stationnaire.

§33. — Energie de gravitation. Les théorèmes de conservation.

Un système isolé balaie un « canal d'univers » dans le cours de son histoire ; nous admettons que, hors de ce canal, la densité de courant §* s'annule (si cela n'est pas exact, elle est si faible que les considérations suivantes sont encore valables). L'équation de continuité

nous montre que le flux de la densité vectorielle §* possède la même valeur e à travers n'importe quelle « surface » tridimensionnelle située en travers du canal. Afin que e soit déterminé en signe nous prendrons comme sens de parcours sur le canal celui qui va du passé vers l'avenir. L'invariant e est la charge de notre système. Si le système de coordonnées est tellement choisi que chaque « plan » x0 = const., coupe le canal suivant un domaine fini, et que ces plans se succèdent, lorsque x0 croît, du passé vers l'avenir, l'on pourra calculer e par la formule :

fè°dx1dxidx3 = e, où le domaine d'intégration est précisément l'une de ces hypersurfaces x0= const. Cette intégrale e = e(x0) est d'après cela, indépendante du « temps » x0, comme on s'en aperçoit d'ailleurs immédiatement au moyen de l'équation (55) par l'intégration suivant les coordonnées d'espace xlt x2, x3.

Tout cela repose uniquement sur l'équation de continuité ; la représentation èi = pui de la théorie de Lorentz qui fait intervenir la notion d'une substance n'est pas du tout en question. "Y a-t-il un théorème de conservation pour l'énergie et l'impulsion ? L'équation (26) paragraphe 28, ne permet pas de le reconnaître à cause du terme supplémentaire caractéristique pour la théorie de la gravitation. Mais il est possible d'écrire ce terme supplémentaire sous la forme d'une divergence. Partons d'un système de coordonnées déterminé et faisons subir au continuum universel une translation, c'est-à-dire une déformation où les composantes £* sont constantes (ccmp. § 28). Pour n'importe quel domaine X, on a évidemment :

S' J (Six = o (cela est vrai pour chaque fonction des gnc et de leurs dérivées, la