ÉNERGIE DE GRAVITATION. LES THÉORÈMES DE CONSERVATION

propriété d'invariance n'a rien à faire ici ; 8' désigne comme au paragraphe 28, la variation due à la translation). Et par suite :

/J3) | 4 — -dx-t- ! 8©da: = o

Posons comme auparavant :

alors une intégration par parties donne :

i fa©** = Çd{m;k^] dx+ fm^dx.

Or, puisque les S* sont constants :

*9* = Introduisons les grandeurs :

El dx.

lk faîk rtlaB. t °9*f

il ©§*.__ ©*?,

2 dx{

Nos équations s'écrivent alors :

Cela ayant lieu pour n'importe quel domaine X, et les \* étant des constantes arbitraires, on doit avoir les quatre identités :

±r©|*>^L=JËL 2 L J Oxi ' dxk

Or, d'après les équations de la gravitation le premier membre est :

1 *.,. àga9

2 àx{

et les équations mécaniques (26) se transforment en :

(56) -X^- = °. m = £?-ht*.

axk

Si nous considérons les t; qui ne dépendent que des potentiels et des composantes du champ de gravitation, comme les composantes de la densité d'énergie du champ de gravitation, nous obtenons pour l'énergie totale liée à l'état physique et à la gravitation, des équations où n'interviennent que des divergences 28). Cependant cette convention n'a aucun sens physique car les nombres tf ne sont pas symétriques, et ils ne peuvent pas être considérés comme les composantes d'une densité tensorielle. En effet, par un choix approprié du système de coordonnées on peut faire en sorte que tous les t- s'annulent en un point ; il suffit de prendre pour cela un système géode-

sique au point considéré. D'autre part, dans un univers privé de champ de gravitation, c'est-à-dire « euclidien », si l'on utilise un système de coordonnées curvilignes, les t) peuvent être différents de zéro, c'est-à-dire qu'il y aurait de l'énergie de gravitation là où il n'est pas question d'en trouver. Les équations (56) n'ont donc pas de signification physique véritahle, ce n'est donc que par leur intégration pour un système isolé qu'elles expriment un théorème de conservation,possédant nettement un caractère d'invariance27). Un système isolé, ainsi que son champ de gravitation balaie dans l'univers un canal, hors duquel nous supposons que les £f et le champ de gravitation sont nuls. Nous pouvons alors utiliser des coordonnées x0 = t, xlt x2, x3 de telle sorte que la forme métrique fondamentale y prenne l'aspect :

dtl — (dx\ -f- dx\ -h dx\)

Ces coordonnées sont déterminées hors du canal à une transformation de Lorentz près, les t- sont nuls. Nous supposons que chacun des plans, t = const. n'a qu'une région finie en commun avec le canal. Intégrons les équations (56) relativement à x1} x2, xt sur un tel plan, on voit alors que les grandeurs : Ji = /Ua' dx1 dx2 dx„

dJt sont indépendantes du temps :— - — =o. Nous appellerons J0 l'énergie

et Jlt J2, Ja les composantes de l'impulsion du système. Ces grandeurs ont une signification indépendante du système de coordonnées choisi. Nous affirmons tout d'abord qu'elles conservent leur valeur quand on change de système de coordonnées à l'intérieur du canal. Soient #» les nouvelles coordonnées, coïncidant à l'extérieur du canal avec les anciennes. Soient deux hypersurfaces :

x0 = const. — a, et x0 = const.=a (ad^a),

qui ne se coupent pas dans le canal (il suffit évidemment puisque le canal a une section finie de faire a suffisamment différent de à).

On peut alors construire un troisième système de coordonnées x* qui dans le voisinage de la première « surface » coïncide avec les Xi, et dans le voisinage de la deuxième « surface », avec les Xi) au dehors, il coïncide avec les deux. Si l'on exprime que les composantes de l'énergie JC dans ce système prennent les mêmes valeurs en x0* = a et x0* = a, on trouve le résultat annoncé J1=Ji.

- Il faut encore étudier comment se comportent les /x dans un changement linéaire de coordonnées. On sait qu'un vecteur, dont les composantes sont constantes (indépendantes du lieu), jouit de la même propriété quand on effectue une transformation linéaire. Soit p* un tel vecteur ; formons H* = U* p* on voit que :

dUk dxk ~ Par le même raisonnement que nous avons fait à propos du courant