G ]. ESPACE EUCLIDIEN

un espace n- dimensionnel (3). Pour l'instant, nous devons compléter les explications données.

Si 0 est un point quelconque, les extrémités P des vecteurs (2) issus de 0 remplissent une multiplicité linéaire à h dimensions M ; nous dirons aussi qu'ils forment un ensemble linéaire de points à h dimensions, construit à partir de 0 sur ces vecteurs e^ ... e*. Le point 0, d'ailleurs n'y joue pas un rôle spécial ; si 0' est un point quelconque de l'ensemble, le vecteur O'P décrit la même multiplicité M, quand P passe par tous les points de l'ensemble ponctuel ainsi défini. Si nous transportons l'ensemble des vecteurs issus de 0, en 0' nous obtenons une multiplicité, dite parallèle à la première. Les droites correspondantes sont parallèles, les plans correspondants le sont aussi. Si dans (2) nous donnons aux \ les valeurs définies par les inégalités :

l'ensemble des points, extrémités des vecteurs ainsi construits, issus de 0, est un parallélipipède à h dimensions, construit sur les vecteurs e,, e2..., eh. (Le parallélipipède à une dimension est un segment ; celui à deux dimensions, un parallélogramme). Un point 0 et les n vecteurs e1( e,, ... en, linéairement indépendants forment ensemble un système de coordonnées (C) ; chaque vecteur x peut être représenté d'une manière et d'une seule par une expression de la forme :

(3) x = E1e1 + l2e2 + ...?neft

les nombres \i, sont dits ses composantes dans le système de coordonnées (C); siP est un point quelconque et OP égal au vecteur (3), les |j sont alors des coordonnées de P. Tous les systèmes de coordonnées sont équivalents en géométrie affine: il n'y a aucune propriété de celle-ci qui permette de distinguer un système d'un autre. Si :

est un deuxième système, on aura des relations de la forme :

entre les e'i et les ei ; les au sont n2 nombres qui, à cause de l'indépendance des e'i, forment un déterminant différent de zéro. Si les %i sont les coordonnées d'un vecteur x dans l'ancien système, et les %'i ses coordonnées dans le nouveau, on a :

cela provient de l'égalité :

et de (4).

LES bases de la géométrie affine 17

alf a3,..., *„, étant les coordonnées de 0' dans le premier système de coordonnées, x, les coordonnées d'un point quelconque dans le même système, et x', celle du même point dans le deuxième système, on a :

(61 xt = J^ dikx'k-ir- a,-

car les (xt — ai) sont les composantes du vecteur

ÔP = OP ŒJ'

dans le premier système, et x'i dans le deuxième. Les formules de transformation (6), pour les coordonnées, sont donc linéaires; les formules (5), pour la transformation des composantes s'en tirent aisément en faisant abstraction des a,. En géométrie affine, il est donc possible de représenter chaque vecteur par ses composantes et chaque point par ses coordonnées; les relations géométriques entre points et vecteurs s'expriment par des relations entre composantes et coordonnées, qui ne sont pas détruites par des transformations linéaires quelconques.

Les formules (5) et (6) ont encore une autre signification : elles peuvent exprimer une correspondance affine dans un système de coordonnées déterminé. Une correspondance qui associe à chaque vecteur x, une « image » : le vecteur x', à chaque point P, l'image ponctuelle P', est dite linéaire on affine, si les relations (1) persistent «nlre les images, quand elles ont lieu entre les objets primitifs ; c'est-à-dire, si ayant (1) on a pour les images :

a'+b' = c', b' = Xa', I¥ = a'- b'

el si. on outre, aucun vecteur différent de zéro, n'a zéro pour image; en d'autres termes, si l'image de deux points n'est la même que lorsque ces deux points sont confondus. Deux figures, telles que chacun des points de l'une est l'image affine des points de l'autre, sont dites affines. Du point de vue de la géométrie affine, elles sont équivalentes; toute propriété affine qui a lieu pour l'une a lieu pour l'autre. La notion de représentation (ou correspondance) affine joue dans la géométrie affine le même rôle que celui de la congruence dans la géométrie complète; de là provient sa signification essentielle. Des vecteurs linéairement indépendants se transforment par affinité en vecteurs linéairement indépendants, de là' son importance (transformation ou correspondance affine); une multiplicité linéaire à h dimensions se transforme en une mulitiplicité à h dimensions; des parallèles en parallèles, un système de coordonnées 0 (e1( e2,..., en) en un nouveau système de coordonnées: 0'(e'„ e'2l ... e'„).

Les nombres an, <*i ont la même signification que plus haut. Le recteur (3) se change par l'affinité en :

Introduisons les expressions des e'i, utilisons l'ancien système pour

\\>%1. — Tempt, Espace, Matière. 2

18 * l'espace euclidien

représenter l'affinité et appelons & les composantes d'un vecteur et l'i celles de son image, alors :

(5\> ft = 2j ■**

Si P a son image en P', OP en O'P', si #i sont les coordonnées de P, et x'i celles de P', alors on a :

En géométrie analytique, on a l'habitude de caractériser les multiplicités linéaires par des équations linéaires entre les coordonnées du point courant; nous le ferons dans le paragraphe suivant; ici, nous nous contenterons d'introduire la notion de forme linéaire. Une fonction L(x) réelle, dont l'argument est un vecteur x est dite une forme linéaire, si elle possède les propriétés suivantes :

L(a + b)=L(a)+L(b); L(Xa) = Jt. L(a). Dans un système de coordonnées e,, e2)... en chacune des composantes gf du vecteur x est une forme linéaire. On a, pour une forme L, x étant défini par (3) :

L(x) = iMe, ) + \M%) + ■■■ + lnL(en) ; posons alors L(e») = a*, la forme linéaire se présente ainsi : a1ll + a2l2 + ... + an%n.

Inversement, une forme linéaire quelconque peut être donnée de cette manière. Plusieurs formes L1; L2,... L/t sont linéairement indépendantes, si l'on ne peut trouver n constantes h, non toutes nulles, telles que pour les x, on ait identiquement :

X, Lx(x) + X2L2(x) + • • • + lhLh(x) = 0. (n + 1) formes linéaires sont toujours linéairement dépendantes si les vecteurs auxquels on les applique forment une multiplicité à n dimensions.

§ 3. -.-»- Géométrie à n dimensions. Algèbre linéaire. Formes quadratiques.

Pour saisir l'harmonie mathématique parfaite des lois de l'espace, nous ne bornerons pas à 3 le nombre des dimensions des multiplicités que nous étudierons. On a constaté que non seulement dans la géométrie, mais encore d'une manière plus étonnante en physique, aussitôt que l'on découvre les lois de la nature, celles-ci se laissent représenter par des relations mathématiques de la plus grande simplicité et de la plus complète harmonie. Expliquer les raisons de cette simplicité et de cette harmonie, dont la physique ne peut pas aujourd'hui se passer, nous paraît être un des

GÉOMÉTRIE A n DIMENSIONS 19

devoirs fondamentaux de l'enseignement mathématique. Cette harmonie est pour nous une source de profondes joies intellectuelles. La géométrie analytique, exposée sous une forme condensée, et dans ses notions essentielles, comme nous l'essayons ici, en donne une première idée, insuffisante encore. Cette raison, d'ailleurs n'est pas la seule qui nous décide à généraliser ainsi; pour les besoins de la théorie de la relativité, nous aurons à étudier la géométrie à quatre dimensions. Il n'est aucunement besoin d'avoir recours aux procédés occultes des spirites pour familiariser notre esprit avec la géométrie à n dimensions. Considérons, par exemple, un mélange gazeux et homogène d'hydrogène, d'oxygène, de soufre et d'acide carbonique. Une quantité quelconque d'un tel mélange est bien caractérisée, quand on connaît le poids de chacun des corps qui entrent dans sa composition. Appelons un tel mélange : un vecteur (nous pouvons bien lui donner le nom que nous voulons) et appelons addition, l'union de deux mélanges gazeux, les axiomes I de notre système sont satisfaits pour un nombre de dimensions égal à 4, si nous nous autorisons à parler de quantités négatives de gaz. 1 gr. d'hydrogène pur, 1 gr. d'oxygène, 1 gr. de soufre et 1 gr. d'acide carbonique sont 4 vecteurs indépendants, au moyen desquels tous les autres se laissent exprimer linéairement; ils forment donc un système de coordonnées. Voici un nouvel exemple. Soient 5 barres parallèles; sur chacune d'elles une petite sphère peut se déplacer. Un état déterminé de cette machine à calculer rudimentaire est connu, si l'on se donne les abcisses de chaque boule sur sa barre. Disons que chacun de ces états est un point et que chaque déplacement simultané des 5 boules est un vecteur; nos axiomes I jouent encore pourvu que l'on fasse n = 5. On sait bien qu'il est possible d'imaginer une infinité d'exemples variés pour lesquels nos axiomes sont satisfaits, moyennant que l'on donne des noms appropriés aux objets que l'on considère.

Mais l'exemple suivant est beaucoup plus important que les petits jeux que nous venons d'imaginer. Nos axiomes caractérisent les opérations fondamentales de la théorie des équations linéaires. Soient af et a des nombres donnés, on sait que :

(7) a, x4 -h a2 £C2 -+■ • ■• 4- a»X„ = 0. est une équation homogène linéaire.

(8) a, X, -+- «i X% -+- v ~* •+■ «nX„ = *

une équation linéaire non homogène pour les inconnues Xi. Pour traiter les équations homogènes, il est bon d'avoir un nom unique pour désigner un système de valeurs des variables Xi ; nous dirons que c'est un vecteur. La somme de deux tels vecteurs

(a,, a2, •••, an) et (6,, b2, ■■•, &„). sera le vecteur

(a, -+■ bu ai -h 6,. •■••, a„ ■+■ 6n) et le XuP,e du premier de ces vecteurs sera le vecteur :

(Xa,, Xda, ..., XOn).

20 l/pSPACE KL'CUi>n.\

Alors les axiomes I sont valables pour le nombre de dimensions n. e1 = (l, o, o,..., o), e2 = (o, 1, o,..., o),

en = (o, o, o,..., 1) forment un système de vecteurs indépendants; les composantes d'un vecteur (xl, x2,..., xn) dans ce système-là, sont les Xi eux-mêmes. Le théorème fondamental sur les solutions d'un système d'équations linéaires s'exprime ainsi :

Si LjCx), L2(x),..., Lft(x) sont h formes linéaires, linéairement indépendantes, les solutions x des équations

Lj(x) = o, L2(x) = o,..., LA(x) = o forment une multiplicité vectorielle linéaire à (n — h) dimensions.

Dans la théorie des équations linéaires non homogènes, nous désignerons plutôt un ensemble de valeurs des variables x% par le nom de point. Si Xi et x'i sont deux solutions de l'équation (8), leur différence

est une solution de l'équation correspondante homogène (7). c'est ce qui explique le nom de point, puisque nous employons le mot vecteur pour désigner les solutions de (7). Si nous faisons les mêmes conventions pour l'addition et la multiplication des vecteurs ainsi définis, nos axiomes sont encore valables. Pour le système de coordonnées particulier choisi et avec l'origine 0 = (o, o,..., o), les coordonnées d'un point (xi) sont les nombres Xi eux-mêmes. Le théorème principal sur les équations linéaires s'exprime ainsi : Les points qui satisfont à h équations linéairement indépendantes, forment un ensemble ponctuel linéaire à (n — h) dimensions.

On aurait pu édifier le système d'axiomes et les conséquences formelles que nous en avons tirées, d'une manière très naturelle, en n'ayant recours qu'à la théorie des équations linéaires, sans l'aide de la géométrie. Il serait même utile — à certains égards — de développer la théorie des équations linéaires sur une base axiomatiqne, et ensuite d'appliquer celle-ci à la géométrie. Cette théorie se rail utile pour un ensemble d'opérations auxquelles s'appliquent les axiomes, et pas seulement aux systèmes de valeurs de n variables. Le passage de cette théorie plus compréhensive à la théorie donnée plus haut se ferait sans grande difficulté; il suffirait de construire un système de Coordonnées et de remplacer les vecteurs et les points définis formellement, par leurs composantes et leurs coordonnées.

De tout cela, il découle que la géométrie affine appliquée à l'espace entier ne nous apprend qu'une seule chose, c'est que celui-ci forme un domaine linéaire à 3 dimensions. Tous les faits particuliers que l'intuition nous fournit, et que nous avons mentionnés dans le paragraphe 1), ne sont que des déguisements de cette simple vérité. S'il est, d'une part, très satisfaisant de pouvoir pré-

GÉOMÉTRIE V n DIMENSIONS 21

tenter les images spatiales et les relations qui constituent la géométrie sous une forme si synthétique, il faut néanmoins insister, d'autre part, sur le peu de renseignements que la mathématique nous donne, quant à l'essence même de l'espace; la géométrie ne nous renseigne en rien sur l'espace intuitif; sur ce qu'il est en soi et sur ce qui le distingue « des états d'une machine à calculer » « des mélanges gazeux » ou « des solutions d'un système d'équations linéaires ». Rendre cela concevable, ou éventuellement, montrer en quoi cela reste inconcevable, est un problème métaphysique. Nous, mathématiciens, pouvons être fiers de la merveilleuse clarté des théories que nous avons dégagées de la connaissance de l'espace; mais nous devons pourtant nous inciter à la modestie, puisque nos théories conceptuelles ne peuvent nous faire saisir que la partie la plus formelle et la plus superficielle de l'essence de l'espace.

L'algèbre nous donnera encore les notions nécessaires pour passer à un stade plus élevé de la géométrie, qui est la géométrie métrique. Ces notions sont celles de formes bilinéaires et quadratiques. Une fonction Q (x, y) de deux vecteurs x et y quelconques, est une forme bilinéaire, si elle est à la fois linéaire en x, et linéaire en y. Si dans un système de coordonnées, les & sont les composantes de x, les tj» celles de y, on aura :

Q (x, y) = ^ «a*fl*

où les a,t sont des constantes. Cette forme est dite non dégénérée, si elle n'est identiquement nulle, pour n'importe quel y, que si x = o. Cela n'est possible que si les équations homogènes : ■

2^ = 0 k sfc 1.2, •• n

n'admettent que la solution- £i = o, c'est-à-dire si le déterminant

| aik I =±: o Par une transformation linéaire quelconque, cette propriété

onserve, comme on le sait par la théorie de la multiplication des

déterminants. La forme bilinéaire est symétrique, si Q(x.y) = Q(y,x),

c'est-à-dire si a.ki = <*-ik-

A chaque forme bilinéaire Q(x,y), correspond une et une seule forme quadratique qui ne dépend que d'un vecteur x :

Q.Ô0> (Hx,x)= 2 «*$&«

On voit qu'inversement, à chaque forme quadratique, on peut faire correspondre une infinité de formes bilinéaires dont une seule est symétrique. De plus, on peut encore remarquer que, d'une forme bilinéaire non symétrique, on peut déduire une forme symétrique par l'opération :

22 l'espace euclidien

à deux formes bilinéaires symétriques, correspondent deux formes quadratiques différentes. C'est évident, si l'on montre qu'une forme symétrique bilinéaire Q(x,y) est identiquement nulle, quand la forme quadratique Q(x,x) est nulle quel que soit x. Il suffit de considérer la relation :

Si Q (x) est une forme quadratique donnée, Q (x, y) désignera toujours la forme bilinéaire symétrique que l'on tire de Q(x). Si Q (x, y) n'est pas dégénérée, on dira que Q (x) ne l'est pas non plus. Une forme quadratique Q (x) est définie positive, si l'on a toujours Q (x)>o pour x=£ o ; une telle forme est évidemment non-dégénérée, car pour aucun vecteur x^o, Q (x,y) n'est nulle identiquement en y, puisque si y = x, Q>o.

§ 4. — Les bases de la géométrie métrique

Nous aurons encore recours à l'intuition pour passer de la géométrie affine à la géométrie métrique. Rappelons (pour l'espace) ce qu'est la grandeur qu'on nomme produit scalaire de deux vecteurs a et b. Après avoir fait choix d'un vecteur unitaire, nous mesurons la longueur de a et (ayant égard à la direction) la longueur de la projection orthogonale de b sur a ; le produit des deux nombres qui mesurent ces longueurs est le produit scalaire a.b. Il ne s'agit pas seulement ici — comme dans la géométrie affine — de comparer les longueurs de segments parallèles, mais encore il faut que nous puissions comparer les longueurs de segments diversement dirigés. Les règles qui régissent le calcul du produit scalaire s'expriment par les égalités :

xa.b = >.(a.b), (a + a').b = (a.b) + (a'.b) a.(b + b') = (a.b) +(a.b'), a.b = b.a.

Le produit scalaire de a par lui-même a. a = a2 est toujours positif, sauf si a = o ; il est égal au carré de la longueur de a. Ces règles ont pour conséquence que le produit scalaire x.y de deux vecteurs quelconques est une forme bilinéaire symétrique, dont la forme quadratique correspondante est définie positive. On reconnaît donc que ce n'est pas la longueur d'un vecteur, mais bien le carré de cette longueur qui dépend rationnellement du vecteur; cette dépendance s'exprime au moyen d'une forme quadratique : c'est là, à proprement parler le contenu essentiel du théorème de Pythagore. Le produit scalaire n'est pas autre chose que la forme symétrique bilinéaire, qui provient de cette forme quadratique. Nous formulerons donc ainsi l'axiome métrique : Après le choix d'un vecteur unitaire e, deux vecteurs xety déterminent univoquement un nombre (x.y) = Q (x,y) ; ce nombre est une fonction bilinéaire symétrique des 2 vecteurs, et la forme quadratique Q(x,x) qui lui correspond (x,x) = Q(x) est définie positive. Ç(ë) = l.