SUR LA TOPOLOGIE DE L 'UNIVERS

électrique, on remarque que :

f]\°dx1dx2dx3=Jipi est un invariant vis-à-vis de toutes les transformations linéaires.

Les Ji sont par suite les composantes d'un vecteur covariant constant à l'extérieur du canal : ce vecteur de l'énergie et de l'impulsion est univoquement déterminé par l'état physique du système. Sa direction donne grosso modo la direction dans laquelle circule le canal. L'invariant :

est la masse du système.

Dans le cas statique J1=J2 = J3 = o et J0 est l'intégrale de

étendue à l'espace. D'après le paragraphe 29, et les considérations du paragraphe 28 (p. 210), on a :

c'est pourquoi dans les notations des paragraphes 29 et 31, la masse J0 est égale au flux de la densité vectorielle spatiale (impropre)

qui avec des unités CGS doit être multipliée par ■ ■ • Comme

la solution du paragraphe 31 est valable à une grande distance du système, dans le champ pour lequel m* est un courant radial d'intensité

Biner 4-itr*

on voit que l'énergie ou la masse inerte J0 du système est égale précisément à cette masse m0 qui détermine le champ de gravitation du système z8). La physique de la substance assigne au contraire à la

masse la valeur de l'intégrale de — prise dans l'espace, alors qu'en

vérité pour que de la matière incohérente J0 = m0= l'intégrale spatiale de (i.; c'est là un indice clair des erreurs qui résultent de la notion de substance.)

§ 34. — Sur la topologie de l'univers, considéré dans son

ensemble.

La théorie de la relativité générale laisse de côté la question de savoir si les points de l'univers peuvent être représentés d'une manière continue, univoque et réciproque par les valeurs de quatre coordonnées x.

Elle suppose simplement que le voisinage de chaque point d'univers peut être représenté d'une manière continue, réciproque et univoque sur un domaine de l'espace numérique à quatre dimensions (on entend par « point de l'espace numérique quadridimensionnel » chaque quadruple de nombres) ; elle ne fait aucune hypothèse sur la configuration générale de l'univers. Quand on étudie d'ailleurs une surface au moyen d'une représentation paramétrique, celle-ci ne donne que les propriétés d'une partie de la surface; en général, la surface entière ne peut pas être représentée univoquement et continuement sur le plan euclidien ou sur un domaine plan par une seule représentation paramétrique. Les propriétés des surfaces qui se conservent dans toutes les correspondances bi-univoques et continues sont du ressort de l'Analysis situs ; la propriété de fermeture par exemple, est une de ces propriétés étudiées par l'Analysis situs. Toute surface qui s'obtient par la déformation continue d'une sphère ne diffère pas d'une sphère au point de vue de l'Analysis situs; mais par exemple, le tore en diffère. En effet, il y a sur le tore des lignes fermées qui ne décomposent pas la surface en plusieurs domaines; sur la sphère, de telles lignes n'existent pas, car toute ligne fermée y décompose la surface en deux ou plusieurs régions. Sur la sphère, nous avons développé la « géométrie sphérique » qui s'oppose à celle de Bolyai-Lobatschefsky (§ 10) et pour laquelle deux points diamétralement opposés sont identiques. La surface S qui engendre une telle géométrie (et qui n'est pas identique à la sphère à cause précisément de cette dernière propriété) est différente de la sphère aussi au point de vue de l'Analysis situs, elle en diffère parce qu'elle est une surface à un seul côté. Imaginons une petite roue tournant sur une surface, le sens de rotation ne changeant pas et supposons en plus qu'elle se déplace sur la surface, son centre décrivant une courbe fermée; nous devrions nous attendre à ce que la roue revienne au point de départ en tournant dans le même sens qu'à son départ. Si cela est, la surface est dite à deux côtés ; dans le cas contraire elle est dite à un côté. Moebius, semble-t-il, est le premier qui ait signalé l'existence de surfaces à un seul côté. La surface S dont nous avons parlé tout à l'heure est une surface à un seul côté, alors que la sphère a deux côtés. On le voit sans autre en remarquant que sur la sphère la petite roue doit décrire un grand cercle complet avant d'arriver à son point de départ, tandis que sur S la trajectoire se ferme alors que la roue n'a décrit qu'un demi grand cercle. D'une manière tout à fait analogue à la théorie des surfaces à deux dimensions, la théorie des multiplicités quadridimensionnelles permet de développer une Analysis situs où les propriétés sont extrêmement variées. Mais sur chaque multiplicité quadridimensionnelle, le voisinage d'un point se laisse représenter certainement d'une manière continue par un ensemble de quadruples de nombres, de telle manière qu'à des points différents de ce voisinage correspondent toujours deux quadruples de nombres diffé-

SLR La Topologie m. i.'i NTVBRS -Il

rents. C'est dans ce sens très précis qu'on doit entendre que l'univers est une multiplicité à quatre dimensions.

De chaque point part le double cône du passé passif et de l'avenir actif. Alors que dans la théorie restreinte ces deux cônes sont nette ment séparés par un domaine intermédiaire, il se pourrait très bien qu'ici ils empiétassent l'un sur l'autre ; il peut arriver donc que je constate maintenant un événement qui résulte en partie de mes faits et gestes à venir. Il n'est pas exclu non plus qu'une ligne d'univers repasse dans le voisinage immédiat d'un -point où elle a déjà passé, malgré qu'elle eût toujours une direction temporelle ; par exemple la ligne d'univers de mon corps peut revenir dans le voisinage d'un point où elle a passé jadis. En lait, dans le domaine d'univers où nous vivons, la variabilité des gik n'est pas assez grande pour que de tels retours soient possibles.; cependant il y a un certain intérêt à examiner ces possibilités si l'on se pose le problème philosophique des rapports du temps cosmique et du temps phénoménal. Quelque paradoxales que les choses puissent être, il ne se présentera jamais de contradictions avec les laits qui forment notre expérience immédiate.

Au paragraphe 26, nous avons vu que les lois fondamentales de l 'électrodynamique de Mie ont une forme compatible avec le principe de causalité : les dérivées par rapport au temps des grandeurs d'état s'expriment au moyen de ces grandeurs elles-mêmes et de leurs dérivées spatiales ; la gravitation n'intervenait pas alors. Mais ces faits restent exacts quand on fait intervenir la gravitation et qu'on complète la table des grandeurs d'état çj, Fik par les g^ et les

(• A cause de l'invariance générale des lois de la nature on peut

dire que les hypothèses que l'on fait sur les grandeurs d'état à un moment donné et qui ont un caractère d'invariance persistent à cause des lois naturelles ; mais il faut faire attention que cette affirmation ne se rapporte pas à l'univers global, mais seulement à un secteur représentable par le moyen de quatre coordonnées, Nous allons suivre Hilbert. -9) Dans le voisinage du point d'univers 0, introduisons quatre coordonnées x, de telle sorte que, en 0 même, l'on ait :

ds2 = dxl — (dxj -+■ dx-, ■+■ dxj)

Nous pouvons limiter dans l'espace à trois dimensions x0 — t., un domaine autour de 0 dans lequel — ds2 reste une forme définie positive. Par chaque point de R menons les lignes géodésiques d'univers orthogonales à cet espace et possédant une direction temporelle. Elles couvriront un certain voisinage de (.), à quatre dimensions, et cela une seule lois. Nous prenons alors un nouveau système de coordonnées qui coïncide avec l'ancien dois I! ; soir P le point de la ligne géodésique relative à P0(xy, x2, x.,) dans H ; si l'on considère P0 comme correspondant à l'instant initial du temps propre, le segment P0P de géodésique mesure le temps propre, nous ferons

Weyl. — Temps, Espace. Matière. 10

x0 = P0P. A chaque point P du voisinage de 0 nous avons fait correspondre ainsi quatre coordonnées. Gauss avait déjà introduit un tel système pour étudier les surfaces. Puisque sur chacune des lignes géodésiques ds2 = dxf„ c'est que, avec le système de coordonnées, on a identiquement en x0, xlf x2, x3 :

(58) fîr00 = l.

Parce que les lignes géodésiques sont orthogonales à l'espace tridimensionnel x0 = o, on a pour x0 = o :

(59) 9oi = 9o2 = g03 = °-

Or, les lignes où xlt x2, xs sont constants et où x0 varie, sont des lignes géodésiques, c'est donc que l'on a : (voy. l'équation des lignes géodésiques)

par suite :

et eu égard à (58), on a identiquement :

If =° «f. 2. 3)

mais, à cause de cela, ce n'est pas seulement pour x0 = o, mais identiquement en les quatre coordonnées que l'on a :

Nous avons donc la figure suivante : une famille de lignes géodésiques à direction temporelle, recouvrant une seule fois et sans lacune, un certain domaine d'univers, et une famille d'espace à trois dimensions x0 = const. D'après (60), ces deux familles sont orthogonales entre elles, et les arcs découpés sur les géodésiques par deux espaces « parallèles » x0 = const., ont le même temps propre. Dans ce système de coordonnées, on a :

t=Hv( *****

et les équations de la gravitation permettent d'exprimer les dérivées

f\ik[ «,'.'=1,2,3)

au moyen des <pi et de leurs dérivées, mais aussi au moyen des gik, de leurs dérivées du premier et du second ordre relativement à

xlf x2, x3 et au moyen des < \ eux-mêmes. En considérant les douze grandeurs :