SUR LA TOPOLOGI1'. DE II M VERS

ainsi que les grandeurs électromagnétiques, comme les inconnues du problème, nous avons atteint le but vibé, qui était d'avoir des équations différentielles donnant les dérivées par rapport au temps x0 en fonction des autres grandeurs et de leurs dérivées spatiales.

Le cône du passé passif d'un point 0' (dont le temps x0>o), découpe dans R une certaine région R', laquelle limite avec la nappe du cône, un domaine fini d'univers G; si notre affirmation que les lignes géodésiques de longueurs nulles représentent les points limites atteints par une action quelconque, est rigoureusement vraie, alors il est vrai aussi que si l'on connaît dans R' les valeurs des douze grandeurs mentionnées et celles des ç» et des F»*, les valeurs de toutes ces quantités seront bien déterminées dans G. Mais jusqu'ici notre première affirmation n'a pas été démontrée. Cependant on reconnaît dans chaque cas, que les équations différentielles du champ contiennent entièrement les lois de la nature, et qu'il n'y a pas lieu de donner des conditions à l'infini de l'espace pour déterminer l'état du champ.

Einstein est parvenu par des considérations cosmologiques sur l'univers global 30) au résultat suivant : l'univers est spatialement fermé. De même que dans la théorie newtonienne de la gravitation qui se développe à partir de l'équation de Poisson, l'on ajoute les conditions à l'infini (évanouissement du potentiel) pour déterminer sans ambiguité le champ, de même Einstein chercha à compléter sa théorie des équations de la gravitation par des conditions à l'infini de l'espace. Dans l'impossibilité où il était de formuler des conditions invariantes, qui soient en accord avec les faits astronomiques, le seul moyen qui s'offrit à lui de tourner la difficulté fut de supposer que l'univers est spatialement borné ; car sous cette hypothèse les conditions aux limites n'ont plus de raison d'être. Par suite de ce que nous venons de développer, je ne trouve, à cette manière de voir, aucune force démonstrative, puisque les équations différentielles expriment complètement les lois de la nature sans indétermination et sans recours à des conditions aux limites. Tout au plus les réflexions qui sont relatives à la question suivante possèdent-elles un certain poids : Comment se fait-il que le système des étoiles fixes dont les vitesses relatives sont faibles vis-à-vis de la vitesse de la lumière ne se soit pas dispersé dans l'infini depuis longtemps? Ce système a pour nous l'aspect qu'aurait pour un observateur de très petites dimensions, l'ensemble des molécules d'un gaz qui se trouve en équilibre. Dans ce gaz, en effet, les molécules considérées isolément ne sont pas au repos, mais leurs vitesses sont néanmoins réparties suivant la loi de Maxwell d'après laquelle les grandes valeurs des vitesses sont extraordinairement rares ; la répartition des molécules est en moyenne uniforme, de telle sorte que des différences de densité observables sont rarissimes. Si cette analogie avait quelque fondement nous pourrions admettre que l'état du système des étoiles fixes et de son champ de gravitation est soumis aux principes statis-

244 THÉORIE GÉNÉRALE DE i \ RELATIVITE

tiques qui nous apprennent qu'un gaz renfermé dans une enceinte est presque toujours en équilibre. Mais cela ne serait possible que si la répartition uniforme des étoiles au repos dans un champ de gravitation statique est un état d'équilibre compatible avec les lois de la gravitation. Dans un champ statique, la ligne d'univers d'un point matériel au repos, c'est-à-dire d'un point dont les coordonnées xlt x2, xa sont constantes et x0 variable, est une géodésique si oo

et par suite si

d9oo

Oxi

Une répartition de masses au repos n'est donc possible que si

sj g00=f=const. = 1 or l'équation :

(32) A/ = — ja (\i — densité de masse)

montre que l'état d'équilibre que nous avons en vue est incompa tible avec les lois de la gravitation.

Dans les considérations qui nous ont conduits aux équations de la gravitation (§ 28), nous avons commis une petite erreur. R n'est pas le seul invariant contenant les gik, leurs dérivées premières et leurs dérivées secondes (ces dernières linéairement), mais l'invariant le plus général de cette espèce a la forme a/? + p, où a. et 0 sont des constantes numériques. Par suite, nous pouvons généraliser les lois

de la gravitation en y remplaçant R par R + k (et © par®-*- — l s/ g)

en désignant par À une constante universelle. Si elle n'est pas nulle comme nous l'avons admis précédemment, nous pouvons la choisir égale à 1; cela revient à déterminer l'unité de longueur d'une manière absolue, car le principe de relativité détermine déjà l'unité de temps et les lois de la gravitation l'unité de masse d'une manière absolue. Par cette modification, les équations de la gravitation, pour un champ créé par de la matière sans tension (incohérente) et au repos (%l= n = n0^/g, les autres composantes deX sont nulles), nous donnent par l'utilisation de l'équation /=1 et des notations du paragraphe 29 :

X = \i0 [à la place de (32)] et:

(61) P«— /Y* = o (i, fc=l, .2, 3).

Cet état d'équilibre idéal n'est donc possible que si la masse est répartie avec la densité X. L'espace doit alors être homogène au point de vue métrique, et en effet les équations (61) sont satisfaites pour

un espace sphérique de rayon a=v/^-. Nous pouvons donc introduire quatre coordonnées x^, x2, xs, x4 pour l'espace seul, satisfaisant à l'équation :

-I R TA TOPOLOGIE DE l'u.MVERS 245

(62) x\ h- x\ -+■ xl -+- xl = a*

et pour lesquelles on a :

rfj» b= dx\ -+- dx\ -+- rfx^ -+- dx\

L'espace est donc ferme et par conséquent fini. Si ce n'était pas le cas, on ne pourrait pas se représenter, comment un état d'équilibre statistique pourrait y exister. Si l'univers est spatialement fermé, il est possible qu'un observateur voie d'une seule et même étoile divers aspects simultanés, qui montrent l'étoile à des moments qui sont séparés par d'énormes intervalles de temps, époques pendant lesquelles la lumière fait le tour de l'espace. Il serait bon encore de se demander si les points de l'espace qui satisfont à (61) sont représentés univoquement et réciproquement au moyen des quadruples de valeurs Xi ou bien si à deux systèmes :

\xlx2x3xi) et { xlt x2, x3, — x4) correspond le même point. Au point de vue de l'Analysis situs ces (1- ux possibilités sont différentes, quoique les deux espaces fussent à deux côtés (contrairement à ce qui arrive pour le cas de deux dimensions). Suivant que l'un ou l'autre de ces cas est vrai, la masse totale de l'univers serait en grammes :

Notre hypothèse exige donc, en tous cas, que la masse totale qui est dans l'univers, soit représentée par un nombre en relation très

intime avec la constante universelle X= — ; c'est là une exigence

qui entraîne une bien remarquable coïncidence, puisque les deux grandeurs en question n'ont pas de relation logique entre elles.

Les solutions des équations de la gravitation pour le cas où la symétrie du champ est sphérique et où l'univers est privé de masse, là où on les considère, doivent être modifiées ; le principe de varialion s'exprime par : (Voyez les notations au § 21.)

g/(2wA'-i-XAr2)dr = o la variation de w donne comme auparavant A = l ; la variation de A donne à son tour :

Si nous exigeons la régularité pour r = o, on trome :

L'espace se laisse appliquer congruement sur une « sphère » :

(65) x\ H- x\ -+- x\ -4- x\ = 'âa* . ...

de rayon »j3a, dans l'espace euclidien à quatre dimensions ; à notre centre de symétrie correspond l'un des pôles de la sphère dont les trois premières coordonnées sont x1=zX2 = xz=o. L'univers est un cylindre érigé sur cette sphère dans la direction d'un cinquième axe de coordonnées. Mais puisque / est nul sur la « grande sphère » x4 = o, qu'on peut considérer coine l'équateur ou espace-horizon de notre centre, c'est que la forme métrique fondamentale de l'univers devient singulière dans cette région, ce qui montre que la possibilité d'un univers statique et vide contredit aux lois naturelles, que nous considérons comme valables. Tout au moins, à l'horizon doit-il se trouver des masses. Les calculs se font le plus simplement en y supposant l'existence d'un fluide incompressible; ce n'est d'ailleurs que pour fixer nos idées. Le problème variationnel à résoudre s'exprime comme au paragraphe 32, il suffit d'ajouter le terme en X :

8j A'u)+(|i0+ 5- V2A — r*vh [ dr = o.

Comme plus haut, l'on obtient :

iv' — f no 4- --)r' == °. w = - 2Af 4-

Si le fluide se trouve entre deux sphères de latitude dont les équations sont xi = const, et dont le rayon est ?'0«aV3), la continuité avec (64) exige que :

r^ est nul (du premier ordre) pour une valeur r=b comprise entre

r0 et a\/3. L'espace se laisse de nouveau représenter sur la sphère (65), mais cette représentation n'est plus congruente dans la zone remplie de fluide. L'équation pour A(p. 233) donne maintenant une valeur pour / qui n'est pas nulle à l'équateur. Les conditions aux [imites pour la pression (p = o) amènent entre \i0 et r0 une relation qui montre que si l'horizon matériel est pris arbitrairement large, le fluide doit avoir une densité telle que la masse totale ne peut descendre au-dessous d'une certaine limite positive. 31)- La solution générale de (63) donne ensuite :

— ; = f2 = 1 — -- — — r2 (m = const)

Elle correspond au cas où le centre de symétrie est entouré d'une sphère matérielle. Il n'y a qu'une zone r0 -^ r ^ r, où /2 est positif, dans laquelle l'univers est privé de masse ; de nouveau l'on doit imaginer un horizon matériel. Il en est de même quand la masse centrale est chargée électriquement, car alors A=l. Dans l'exprès-

SUR LA TOPOLOGIE DE i/UNIVERS 247

sion de -ry = f, on doit ajouter le terme H — — et le potentiel éleo

p, trostatique est

Nous avons peut-être suivi, dans ces considérations, les suggestions d'une fantaise quelque peu aventureuse. Cependant, nous avons appris à faire quelques distinctions dans le domaine des possibilités en ce qui concerne les nouvelles conceptions de l'espace et du temps pour la théorie à faire naître. L'hypothèse à la base de ces considérations était dans chaque cas la plus simple qui pût nous faire comprendre que dans l'univers réel, relativement aux phénomènes électriques et gravifiques, il existe des rapports grosso modo d'ordre statique, et que les solutions du cas statique s'évanouissent à l'infini ou convergenl vers la métrique euclidienne. Sur la sphère, ces équations possèdent en effet une seule solution (ici les considérations aux limites n'interviennent pas, elles sont remplacées par la condition de régularité dans tout le domaine fermé), si l'on fait tendre X -> o. la solution sphérique converge vers la solution, qui pour l'univers infini satisfait précisément à l'infini aux conditions aux limites auxquelles nous avons fait allusion.

Un univers métriquement homogène se conçoit le plus simplement du monde en coupant un espace à cinq dimensions, où la métrique est donnée par ds2 = — Q(dx), — Qest une forme quadratique non dégénérée à coefficients constants — par la variété représentée par

l'équation ù(x) = y > cette section est en quelque sorte une section

conique à quatre dimensions. Nous obtiendrons par là une solution des équations d'Einstein, modifiées par le terme en X, pour une région d'univers sans masse. Si la forme métrique d'univers que l'on obtient ainsi possède trois dimensions négatives et une positive, comme cela doit être, il faut prendre pour Q(x) une forme à quatre dimensions positives et une négative :

Q(x) = x'] -h xî -4- x\ -f- x\ — X\ Cette solution se ramène du reste, à la solution trouvée plus haut par les substitutions :

x4 — z. ch t , xb — z. sh t

alors :

x'i h- xl ■+■ xi -+- z2 = — , — ds* = (dx'i -h dx\ -f- ctes -+- dz2) — z*dP.

Mais les nouvelles coordonnées z, t ne représentent que la section « en forme de coin » x\ — xl > o. Sur 1' « arête » du coin (où xA = xs = o) t est indéterminé. Celle arête qui paraît être, avec les anciennes coordonnées, un domaine à deux dimensions est avec les nouvelles un domaine à trois dimensions : c'est le cylindre érigé sur l'équateur t = o de la sphère (65), dans la direction de l'axe des t. Il s'agit de savoir si c'est l'ancien ou le nouveau de ces systèmes de

coordonnées qui représente d'une manière régulière l'univers entier. Dans le premier cas, l'univers ne serait pas globalement statique et il s'accorderait avec les lois naturelles s'il était vide de masse; cette hypothèse est due à M. de Sitter 32). Dans le deuxième cas, nous avons un univers statique, mais il n'est pas possible sans masse à l'horizon; c'est à cette hypothèse qu'Einstein donne la préférence.

§ 35. — La métrique d'univers, cause des phénomènes électromagnétiques. 33) .

Nous parvenons à une dernière synthèse. Pour pouvoir caractériser par des nombres l'état physique de l'univers en un point, on doit non seulement rapporter le voisinage de ce point à un système de coordonnées, mais encore il faut faire le choix d'unités de mesure. 11 y a. un avantage à se placer pour ce deuxième point, dans la situation analogue à celle d'où Einstein est parti pour développer sa théorie de l'arbitraire qui s'attache au choix du système de coordonnées.

Appliquée à la géométrie et à la notion de segment, cette idée a permis de franchir (Ch. II) la dernière étape qui séparait la géométrie de Riemann d'une pure géométrie infinitésimale. Admettons, après nous être débarrassés de tous les reliquats de la « représentation à distance », que la géométrie d'univers est bien de cette espèce. Alors la métrique d'univers dépendra de la forme quadratique (I) et en outre de la forme différentielle linéaire cp/dx;.

Cette extension ne concerne tout d'abord que les fondements géométriques de la physique, tout à fait comme l'extension de la relativité restreinte à la relativité générale. La mécanique newtonienne, ainsi que la relativité restreinte, admettent que la translation uniforme est un état de mouvement distingué d'un système de vecteurs, tel que la position des axes à un moment donné détermine leur position à un instant quelconque. Mais cela est incompatible avec le principe évident de la relativité du mouvement. Cependant, sans en venir en conflit grossier avec les faits, nous avons pu satisfaire à ce principe, en élaborant la notion de déplacement parallèle infinitésimal d'un corps de vecteurs ; il nous a fallu considérer comme une réalité physique la connexion ai fine que ce déplacement détermine ; cet le réalité physique qui dépend des états de la matière, c'est ce que nous avons appelé le champ de contrainte. Les propriétés empiriquement connues de la gravitation, comme l'égalité de la masse inerte et de la masse pesante, nous ont appris enfin que dans le champ de contrainte outre l'inertie, il faut faire entrer la gravi tation; ainsi la théorie de la relativité généralisée a passé du stade1 géométrique (géométrie d'univers) au stade physique. C'est avec la même évidence qui s'atlache au principe de la relativité du mouve-

mont, que nous apparaît le principe de la relativité de la grandeur. Il faut avoir le courage de soutenir ce principe d'après lequel la grandeur d'un corps à un moment donné n'est pas déterminée en soi par sa grandeur à un autre moment ; et l'on doit soutenir ce principe malgré l'existence des corps solides". Pourtant c'est par la notion de déplacement concluent infinitésimal que nous pourrons lever les difficultés qui s'attachent à un tel problème, l'on devra donc pu -ciire en chaque point outre la détermination métrique, une connexion métrique. Mais il ne faut pas voir là une propriété « géométrique », qui appartienne à l'univers considéré comme forme des phénomènes, c'est bien plutôt la conséquence d'une réalité physique qui se manifeste par un champ. Si donc nous sommes conduits à fondei' la connexion affine sur des bases plus profondément enfoncées dans la nature de la métrique d'univers, et cela par le fait de la propagation de l'action et par l'existence du corps solide, il n'y a pas un grand pas à franchir pour identifier non seulement les coefficients <jik de la forme métrique </;*• </.'•; dx* avec les potentiels du champ de gravitation, mais aussi et surtout les coefficients de la forme linéaire ?tdxj avec les potentiels électromagnétiques. Alors le champ et les forces électromagnétiques sont aussi des émanations de la métrique universelle. Or, dans la nature, nous ne connaissons pas d'action essentiellement différente de celle de la gravitation et de l'électricité, les autres, en effet, semblent plausiblement résulter de l'application des lois statistiques aux deux ordres de phénomènes que nous venons de mentionner. Nous arrivons donc à la conséquence suivante: L'univers est une multiplicité métrique à (3 + 1) dimensions; tous les phénomènes physiques sont des émanations de sa métrique. (La vieille conception disait : Le continuum métrique à quatre dimensions est le théâtre des phénomènes physiques ; les entités physiques sont précisément ce qui existe dans cet univers, et nous devons les accepter spécifiquement et quantitativement comme l'expérience nous les donne.) Nous emploierons pour exprimer le caractère physique de la métrique, l'expression « Etat de l'éther » dans une acception tout à fait synonyme de métrique; il ne faut pas que ce nouveau terme engendre dans l'esprit des images fausses. Dans cette terminologie, le théorème fondamental de la géométrie infinitésimale exprime que le champ de contrainte, et par suite la gravitation, est déterminé par l'état de l'éther. L'opposition entre « l'état physique » et la « gravitation » qui se présentait au paragraphe 28, et qui correspondait à la décomposition en deux parties de la fonction hamiltonienne, est détruite par la nouvelle conception : une théorie unitaire et parfaitement synthétique apparaît à nos yeux. Le rêve de Descartes d'une physique purement géométrique semble se réaliser d'une manière toute naturelle et imprévue. Là se particulariseraient nettement les grandeurs d'extension.

* Il faudra faire en sorte que l'ensemble des directions spatiales .'i un Instant donné ne dépende qno du rapport d< -

La forme linéaire fondamentale qndxi n'est déterminée qu'à une différentielle totale additive près ; seul le tenseur de la courbure segmentaire

doj âok

dxk ôxi

ne comporte aucun élément arbitraire. Il en est précisément ainsi, d'après la théorie de Maxwell, pour la forme potentielle électromagnétique; le tenseur du champ électromagnétique, que nous avons désigné par Fjk peut être identifié maintenant à la courbure segmentaire /;&. Le premier système des équations de Maxwell

ox, ox, oxk

si notre conception de l'électricité est vraie représente une loi essentielle, dont la validité est absolument indépendante de la forme des lois naturelles qui régissent le cours universel des grandeurs physiques. Dans une multiplicité métrique l'invariant intégral le plus simple qui puisse exister est :

ldx = — f JikVkdx

et c'est précisément la forme que prend V action dans le principe hamiltonien d'où dérive la théorie de Maxwell. Nous pouvons donc affirmer que toute l'expérience résumée par la théorie de Maxwell parle en faveur de la nature métrique de l'électricité. Et puisque l'on ne peut pas construire dans une multiplicité métrique à un nombre de dimensions différent de 4, un invariant intégral aussi simple, nos conceptions ne nous donnent pas seulement une compréhension plus profonde de la théorie de Maxwell, mais elles nous font comprendre, en quelque manière, pourquoi l'univers que nous avions considéré comme quadridimensionnel d'une manière assez fortuite, a précisément 4 dimensions. Dans la forme linéaire fondamentale <p;cfài, il y a un élément arbitraire : une différentielle totale; l'action est un nombre pur, cela doit en être bien ainsi, si la théorie doit s'accorder avec la structure atomique de l'univers, à laquelle les résultats récents attachent une signification essentielle (théorie des quanta). Au cas statique correspondent les formes : ds2 = fdxl — do2 d<? = <?0dxn moyennant un choix convenable des coordonnées et de l'étalonnage; ç et / sont indépendants du temps x0, ils ne dépendent que des coordonnées spatiales xx, x2, x3; do2 est une forme différentielle quadratique définie positive attachée à l'espace (x1( x2, x3). Cet aspect particulier des formes fondamentales n'est pas altéré par une transformation de coordonnées et un changement d'étalonnage du type suivant le temps x0 et l'espace (xt, x2, x3) se transforment linéaire-

ment chacun pour son compte et le rapport d'étalonnage est une constante. Dans le cas statique, nous avons donc un espace riemannien à 3 dimensions dont do2 est la forme métrique et deux champs scalaires : le potentiel électrostatique <p et le potentiel de gravitation ou la vitesse de la lumière. Comme unités de mesure, nous choisissons arbitrairement les unités de longueur et de temps (cm., sec.); ds* est donc de dimension L2, / de dimension LT-i, et 9 de dimension T"1. Toutes les fois que l'on parlera d'espace (li ns la théorie de la relativité générale (à savoir dans le cas statique), il sera entendu que c'est d'un espace riemannien comme on peut s'y attendre, et non pas d'un espace métrique doué de cette propriété plus générale d'après laquelle le transport des segments n'est pas inlégrable. Nous retrouvons la relativité restreinte, si nous pouvons choisir les coordonnées et l'étalonnage de manière que ds* = dx$ — (dx* -+- dx\ | dxl) Si Xi et Xi sont les coordonnées d'un point dans 2 systèmes pour lesquels la forme du ds* a cet aspect, alors le passage des Xi aux x< est une transformation conforme, c'est-à-dire que

dxl ~ (dx\ -+■ dxl ■+■ dx3) est égal à dxl ~ C^i -+- dx\ ■+■ dxj), à un facteur de proportionnalité près. Les transformations conformes de l'univers minkowskien quadridimensionnel coïncident avec les transformations des sphères **), c'est-à-dire avec les correspondances de sphère à sphère dans l'univers. Une sphère est représentée par une équation linéaire homogène au moyen des coordonnées « hexasphériques » :

(xx') -4- \ (xr) — \ u0 : u, : u2 : u3 : «4 : us = x0 : or, : x, : .r3 : — : —

[(xx) = x% — (xl + x\ -H xfj\ lesquelles satisfont à la condition :

Les transformations de sphères entre elles, s'expriment donc par dea fonctions linéaires des i&, laissant invariante cette équation de condition. Les équations de Maxwell dans l'éther, telles qu'elles sont formulées dans la relativité restreinte ne sont pas seulement invariantes pour le groupe à 10 paramètres des transformations de Lorentz, mais encore elles le sont pour le groupe à 15 paramètres des transformations sphériques 3S).

Pour examiner si la nouvelle hypothèse sur la nature du champ électromagnétique permet d'expliquer les phénomènes connus, cherchons à en tirer les conséquences. Nous déduirons les lois de la nature d'un principe hamillonien, en exprimant que la variation de l'action f^lSdx, pour une altération infiniment petite de la métrique dans un domaine fini. es1 nulle. L'action est un invariant. W est par suite une densité scalaire (au sens propre^ attachée à la métrique. Miç, Hilbert et Einstein posent que l'action est un inva-

riant vis-à-vis des transformations de coordonnées; nous ajouterons comme nouvelle condition qu'elle soit aussi invariante vis-à-vis des transformations d'étalonnage, c'est-à-dire des transformations qui changent :

Oik en 'ujlk

1 âl

a dxt

(X étant une fonction positive du lieu). Nous supposons encore que 2B est une expression du second ordre, c'est-à-dire qu'elle est construite d'une part avec les #,& et leurs dérivées premières et secondes, et d'autre part avec les ©i et leurs dérivées premières. L'exemple le plus simple est la densité d'action de Maxwell l. Nous développerons nos recherches sans supposer une forme déterminée pour 28 En appliquant la méthode de Klein (§ 28), dont l'extension complète n'est possible que maintenant, nous obtiendrons quelques identités mathématiques valables pour n'importe quelle densité scalaire attachée à la métrique.

I. — Faisons subir aux grandeurs g^ et ©i, qui permettent d'exprimer la métrique relativement à un système de référence, des accroissements infiniment petits §©i et àgue", soit X un domaine fini d'univers. L'intégrale de la variation &EB sur le domaine X se décompose en deux parties; une intégrale de divergence et une intégrale portant sur une fonction linéaire des Sep» et S^- : (70)