et 8^,,, i yg.ztti = ~-J

ce que nous exprimons par :

l\)k = (fea) g?a + (fcafj) &£., 4-(/,7-/p) og,',.;.

Les oDfc sont déterminés univoquement par l'équation (70) pourvu que l'on ajoute les conditions de symétrie :

(fciap) = (Map)

Alors les Sbfc sont les composantes d'une densité vectorielle (au sens propre) si l'on considère les Sqpi comme les composantes d'un vecteur covariant de poids o et les %guc comme celles d'un tenseur de poids 1. (Naturellement rien ne s'oppose à ce qu'on change ces conditions en d'autres qui soient aussi invariantes). Nous exprimons avant tout que fy&dx est un invariant relativement à l'étalonnée, c'est-à-dire que cette valeur ne change pas quand. l'étalonnage

de l'univers est varié infiniment pou. Prenons À. = 1 + jt, comme coefficient du changement d'étalonnage, n est un champ scalaire infinitésimal, pris arbitrairement. Les grandeurs fondamentales subissent des variations qui sont données par (69) :

(71) *:/,, = -?,,. ift^i-3^.

Substituons ces valeurs dans ot)fc; il prendra la forme :

(72) §a'(tï) = «• s*-h — — • y*

Les 8* (ré) sont les composantes d'une densité vectorielle qui dépend linéairement du champ scalaire a. Il s'ensuit, du moment que

du les — — sont les composantes d'un champ vectoriel covariant, que

OJux

ik est une densité vectorielle contravariante et que §kl est une densité covariante du second ordre. La variation (70) de l'intégrale d'action doit s'évanouir pour les déformations (71) à cause de l'invariance qu'elle présente vis-à-vis des changements d'étalonnage :

Transformons le premier terme de la deuxième intégrale par une intégration par parties; l'on obtient :

(W) J ^-h& — dx+J T- ( *r* Tm'>) dx = °

L'on trouve tout d'abord l'identité :

(7i) *+TB-0i

en effet, si le premier membre n'est pas identiquement nul, supposons qu'il soit positif en un point (xi); on peut alors prendre pour X un petit domaine entourant (xO dans lequel ce premier membre est positif. Choisissons n de telle façon qu'il soit nul à l'extérieur de X, et positif dans X, la première intégrale de (73) est nulle, tandis que la deuxième est positive; la contradiction démontre donc Lien l'identité (74). On a par suite :

ôxk

dx= o

et cette égalité doit être satisfaite pour n'importe quel domaine X, quand le champ scalaire jt est donné, donc :

(fo*(lt) - 7TU)*)

Substituons la valeur de 8* (.-r) tirée de (72) et remarquons que l'on

On peut se donner arbitrairement en un point les valeurs de n, —,

— — ; — alors la relation (75) se décompose en les identités suivantes :

ÔXiOXk

<73 ■•- ■> -sz - -ôrh ; ,,+ -£ = *l; v*v°ï

La troisième nous montre que fyk est une densité tensorielle linéaire du second ordre. La première est d'ailleurs une conséquence de la deuxième, si l'on a égard à la symétrie gauche de f)a? puisque :

ag OXa(JX^

IL — Faisons subir maintenant au continuum d'univers une déformation infinitésimale, par laquelle un point éprouve un déplacement dont les composantes sont £*; nous supposons que la métrique est entraînée dans la déformation sans qu'elle soit changée. Désignons par § la variation de n'importe quelle grandeur dans la déformation, quand on la considère au même point d'univers et par S' la variation quand on suit la déformation. D'après (20), (200 et (71), on a :

dxr ' J dxi

-sH?'£

/ à"-'' à"-' do \

Ici ji représente encore un champ scalaire infinitésimal et arbitraire. L'invariance de l'action, vis-à-vis d'une transformation de coordonnées et de la variation de l'étalonnage s'exprime par l'équation :

(77) 8' j Mdx= \-jjj + 32Q idx = o

Pour se borner à l'invariance relativement aux coordonnées, on fera n = o; mais les formules de variation (76) n'ont aucun caractère d'invariance. En effet, ce qui a été supposé signifie simplement ceci, c'est que les formes fondamentales de la métrique ont été variées de telle manière que la mesure l d'un élément linéaire restât inchangée 8'Z = o. Or, la propagation congruente d'un segment s'exprime par

8'/ = — l(9iS'xi) = — Z(9iÇ*).

Par suite il faut faire dans (76) n = — (çi|*) et non pas n = o. L'on obtient alors :

(78) \ t ( dï dï \ (dgik \tr

Ces formules expriment que la variation des deux formes fonda-

LA MÉTHIQUE d'uNIVEKS 255

mentales est telle que la métrique est entraînée sans changement dans la déformation et que chaque élément linéaire s'est déplacé congruement. Le caractère d'invariance se démontre facilement par l'analyse, la deuxième équation (78) par exemple, si l'on introduit le tenseur mixte

dxk + ' ** ~ y s'écrit alors :

Puisque l'invariance par rapport à l'étalonnage a été exprimée dans I, nous pouvons nous borner au choix particulier de * que nous venons de faire.

Pour la variation (78), posons :

mik + t) k = ©* (S) ©fcGj) est une densité vectorielle linéaire infinitésimale dépendant du champ £\ écrivons explicitement :

dx* 2 dxx dx?

(le dernier coefficient est naturellement symétrique en a et ji. &(;) est une densité vectorielle dépendant du champ Ç*; c'est ce qui exprime le plus simplement le caractère des coefficients du second membre; en particulier ©f a esl pas une densité tensorielle mixte, nous dirons que c'est une « pseudo densité tensorielle ». Introduisons dans (77), les expressions (70) et (78); on obtient une intégrale portant sur la fonction :

Or

et à cause de la symétrie des 2Ba; il vient :

Effectuons une intégration par parties sur le dernier terme de la fonction à intégrer, l'on obtient en fin de compte :

En faisant les raisonnements bien connus l'on trouve qu'il faut que :

(79) [...], c-à,d. (M P 2ûA + f^ = o \ àxk *> »/ '"'

2oG THÉORIE GKNKUU.K DE LA REt ATI \ I II

et

(«o) dxT~L~ **?'

Cette dernière identité se décompose en :