H — = 2BÂ

^,Çv3f

(£f -KJpf ) •+- -^- = o; £f? -+- §Va ■+■ fc?" = o

Remplaçons dans (3), d'après (4),

&«» par -%W-§f< on trouve que :

est symétrique gauche par rapport aux indices a et p.

A la place de §V*> nous introduisons $** , (3) et (4) expriment simplement des conditions de symétrie; (2) se transforme en :

' d.i\ âx^dx^ ' '

et à cause des conditions de symétrie, on a : d2$? d3$?f

dx^dx^ dradx^dx.(

ce qui montre que (J est une conséquence de (2).

Exemple. — Pour la densité d'action selon Maxwell, on obtient aisément :

et ensuite :

««• = o, tyk = fi* ; @* = 18* — fa *• Les identités s'écrivent :

ttv = -r—, r- = o, a»;. = o d.i\ </x,- :

\ cfxk "2 OJi / dx.

Nous avons déjà obtenu les deux formules de la dernière ligne respectivement aux pages 201 et 145; la dernière exprimait la relation existant entre la densité tensorielle ©f de l'énergie du champ et la force pondéromotrice.

Lois du champ et théorèmes de conservation. — Prenons pour 8 dans (70) une variation quelconque, nulle en dehors d'un domaine fini, et prenons pour À' tout l'univers, ou un domaine fini hors duquel nous supposons 8 = o, nous avons :

I 820rfx = l (uvof, -+- =r Wkogik)dx.

Si fïïQdx est l'action, on reconnaît aisément que le principe d'Hamilton exige que les lois invariantes suivantes soient satisfaites :

tn* = o 2B* = o;

nous dirons que les premières sont les lois électromagnétiques et que les secondes sont les lois de la gravitation. Entre les premiers membres de ces équations, il existe 5 identités, ce sont celles qui sont écrites sous les numéros (74) et (79). Les équations du champ ne sont donc pas toutes nécessaires, il en est 5 qui sont superflues, elles correspondent aux 5 fonctions arbitraires qui caractérisent le passage d'un système de référence à un autre.

D'après (7o2) les lois de l'électromagnétisme ont l'aspect suivant : àhik (82) 7x~k = èi fet(67)J

qui est complètement en accord avec la théorie de Maxwell : §•' est la densité de l'hypercourant, I)ifc qui est une densité tensorielle linéaire est la densité du champ électromagnétique. Sans qu'il soit nécessaire dé spécialiser la fonction qui représente l'action, Soute la structure de la théorie de Maxwell se tire de l'invariance vis-à-vis de l'étalonnage. La forme particulière de la fonction hamiltonienne 233 influe seulement sur les formules qui permettent de déterminer le courant et la densité du champ, au moyen des grandeurs d'état ç» et Qik. Dans le cas de la théorie de Maxwell au sens étroit (208 = l) qui n'est valable que dans l'espace vide, l'on a précisément : f)ik = f*; S* = o.

De même que les §' constituent la densité de l'hypercourant, de même le tableau des P représentera la pseudo-densité tensorielle de l'énergie; dans le cas le plus simple où 23} = t, ce tableau coïncide avec les expressions de Maxwell. D'après (75x) et (80,) on a en général les théorèmes de conservation suivants :

âxi âxk

et l'on voit nettement que les équations de conservation se tirent des lois du champ par une double méthode. On a, en effet, non seulement :

d§' dw . . i .

-s — = -r— mais ausst = — -— 3QBJ axi âxi 2

et non seulement

Katf mais aussi s r" m ~ fikt0'

La forme des équations de la gravitation se tire de (81). Les lois du champ et les théorèmes de conservation qui s'y rapportent se laissent résumer d'après (75) et (80) dans les deux équations :

diHn) d@'fS)

âxi dx{

Weyl. — Temps, Espace, Matière. 17

La relation étroite qui existe entre les théorèmes de conservation de l'énergie et de l'impulsion et l'invariance vis-à-vis des coordonnées, nous était déjà connue. A ceux-ci, s'ajoute la cinquième loi de conservation qui est la loi de conservation de l'électricité; par suite il doit correspondre à cette dernière loi une propriété d'invariance qui entraîne une cinquième fonction arbitraire; c'est ainsi que l'on retrouve la raison de l'invariance vis-à-vis de l'étalonnage. Du reste, nous avons obtenu plus haut le théorème de conservation pour l'énergie et l'impulsion en ne faisant intervenir que l'invariance pour les coordonnées, il fallait décomposer la fonction hamiltonienne en deux parties : l'action du champ de gravitation et l'action de « l'état physique »; ces deux parties devaient être traitées différemment et les résultats partiels étant rapprochés d'une manière particulière (§ 33). Distinguons par un astérisque, les grandeurs qui proviennent de 201* + Sofc, quand les variations des grandeurs fondamentales se tirent de (76) avec îi = o, au lieu de (78); dans ce cas, par suite de l'invariance pour les coordonnées, les équations de conservation

s'écrivent -r — ■ = o. Mais pour la fonction d'action du 8 28 les

ÔXk

*êf ne sont pas les composantes de l'énergie et de l'impulsion. Pour le terme relatif à la gravitation, (20 = ©) nous avons bien défini l'énergie par *©^ (§ 33). Mais pour le terme électromagnétique (20 = 8, § 28), nous avons défini les composantes de l'énergie par 20*. Ce deuxième terme 8 ne contient que les guc, leurs dérivées n'y figurant pas; pour une telle grandeur, d'après (802), on a 20^ = S*

Par suite, nous pouvons {en utilisant la transformation que subissent les grandeurs fondamentales pour une variation infinitésimale de l'étalonnage, comparer les deux définitions de l'énergie l'une à l'autre lors même qu'on ne peut plus les identifier. Ce n'est qu'ici que se révolvent ces oppositions, puisque nous arrivons à une définition du courant ê*, de la densité du champ électromagnétique §ik et de l'énergie ©*j, au moyen de la nouvelle théorie; ces définitions ne sont plus liées à l'hypothèse que l'action se décompose en deux parties dont l'une ne contient pas les ç» ni leurs dérivées, et dont l'autre est privée des dérivées des gih- La déformation virtuelle du continuum universel, qui conduit à la définition des©* doit entraîner la métrique et les éléments de lignes, mais elle doit les laisser inaltérées au sens que nous donnons à ce mot et non pas au sens d'Einstein. Les théorèmes de conservation pour ê* et &t ne sont donc liés à aucune hypothèse sur la décomposition de l'action. Nous sommes ainsi parvenus à un point de vue supérieur d'où l'on saisit tout l'ensemble d'une manière vraiment synthétique. La théorie de la gravitation d'Einstein reconnaît dans l'égalité de la masse inerte et de la masse pesante une nécessité et non pas une conséquence des lois de la nature; la théorie que nous venons de développer reconnaît que la structure des équations de Maxwell et les

théorèmes de conservation sont nécessaires et qu'on ne doit pas chercher leur origine dans les phénomènes. Des théorèmes de conservation, on tire tout à fait comme dans le § 33, par l'intégration sur une section transversale d'un canal d'univers, les conséquences suivantes : si les S* et les ©f y sont nuls au dehors, le système a une charge constante c et une énergie d'impulsion constante J. Toutes les deux peuvent être représentées par les équations (82) et (81) respectivement, comme le flux d'un certain champ spatial à travers une surface Q qui entoure le système. Si l'on prend cette représentationlà comme définition, les théorèmes intégraux de conservation sont aussi valables quand le champ possède à l'intérieur du canal une singularité véritable. Pour le faire voir, on remplace le champ à l'intérieur du canal arbitrairement (en conservant toutefois la continuité avec l'extérieur) par un champ régulier et l'on définit les $' et les ©'; par les équations (82) et (81) (dans cette dernière le second membre est pris égal à zéro) au moyen des grandeurs ïj et § qui caractérisent le champ modifié. Les intégrales, étendues à une section du canal, (intérieure à 2) de ces grandeurs fictives 8* et ©" sont constantes; d'autre part, elles coïncident avec le flux du champ véritable à travers la surface û puisque sur Q le champ fictif coïncide avec le champ véritable, et le théorème est ainsi démontré.

§ 36. — Conséquences du principe d'action le plus simple. Les équations fondamentales de la mécanique.

Nous devons montrer maintenant qu'il est possible de trouver pour développer la nouvelle théorie, une fonction 2B dont les conséquences vérifiahles par l'expérience coïncident avec celles de la théorie d'Einstein. La plus commode pour le calcul, dont je n'affirme pas d'ailleurs qu'elle soit réalisée dans la nature est (36) :

(83) M = -jF*jg -h*l

L'action doit se composer du volume mesuré au moyen du rayon de courbure comme unité de longueur [comp. § 17 (62)] et de l'action de Maxwell; la constante positive a est un nombre pur. On trouve :

SgjJ = — — FWJg) -H — F*tyg -+- «3/ ■

Supposons que — F soit positif, alors on peut choisir l'étalonnage d'une manière telle que F = — 1, 82B est alors égal à la variation de de |

Utilisons pour F la formule [§ 17; (61)], laissons de côté la divergence

dx{ qui s'évanouit par l'intégration sur l'univers et transformons par une intégration par parties, l'intégrale d'univers de Z(\R\/g) en l'intégrale de 8© (§ 28), notre principe d'action s'exprime alors par la relation :

3 / %dx = o avec 93 = © -+- aï -h — ^ ) i — 3 (?i ©»') f

Notre condition signifie que nous mesurons avec des étalons d'ordre cosmique. Choisissons aussi la coordonnée Xi, de manière que les points d'univers dont les coordonnées présentent des différences dont l'ordre de grandeur est l'unité, soient à une distance d'ordre cosmique, nous pouvons alors admettre que les çt et les guc sont de l'ordre de grandeur de l'unité. (Bien que les potentiels aient des mesures extraordinairement faibles vis-à-vis des distances cosmiques, ils varient appréciablement.)

Par la substitution Xi — zXi, introduisons des coordonnées de l'ordre habituel de grandeur (grandeur du corps humain), e est une très petite constante. Les gne ne changent pas dans cette transformation parce que nous effectuons en même temps le changement d'étalon-

nage par lequel ds2 est multiplié par — . Dans le nouveau système

de référence, l'on a alors :

g'ik=guc, yfi=ez>i; F'= — e2.

— est d'après cela, en mesures à notre échelle, le rayon de courbure

de l'univers. Conservons aux g^ et aux ci leur ancienne signification, mais désignons par xi les coordonnées désignées jusqu'ici par xU et soient Tfk les composantes de la connexion affine correspondant à ces coordonnées, alors :

rv«

En faisant abstraction du terme cosmologique fort petit nous obtenons ici précisément la théorie classique de Maxwell-Einstein de V électricité et de la gravitation. Pour avoir la coïncidence avec les

notalions du § 34, il suffit de faire -3-= A- Notre théorie nous donne

sans artifice aucun, le terme cosmologique d'Einstein— l s/ g. La

répartition uniforme de matière en repos, électriquement neutre, dans tout l'espace sphérique, est un état d'équilibre incompatible avec nos lois. Alors que dans la théorie d'Einstein (comp. § 34), il

doit y avoir une harmonie préétablie entre X considérée comme une constante universelle, et la masse totale de l'univers (parce que chacune de ces deux grandeurs détermine pour son compte la courbure de l'univers) dans notre théorie (où X signifie simplement la courbure), la masse existant dans l'univers détermine la courbure d'univers; il me paraît que c'est seulement par là que la cosmologie einsteinienne est physiquement possible. Dans le cas de l'existence d'un champ électrique, le terme cosmologique se complète par — 3). v^fiK <?»?*) J et les composantes Tfk du champ de gravitation contiennent aussi une expression qui dépend de X. Notre théorie comporte à sa base une unité déterminée d'électricité ; elle est égale à e en unités électrostatiques habituelles. Puisque dans (84), par

2x l'utilisation de ces unités — - remplace a, c est que :

notre unité d'électricité est la quantité d'électricité dont le rayon

de gravitation est égal à W— fois le rayon de courbure de l'univers.

Elle est d'après cela de l'ordre de grandeur cosmique comme le quantum d'action. Le développement cosmogonique qu'Einstein n'introduit qu'après coup dans sa théorie, se rattache immédiatement aux bases de la nôtre.

Si les ç» varient, on obtient les équations de Maxwell :

et l'on a simplement

= — — «pVfl'-

De même que dans la théorie de Maxwell l'éther est le siège de l'énergie et de la masse, de même d'après notre théorie nous trouvons qu'il existe dans l'univers une charge électrique répartie suivant une distribution raréfiée (avec courant). La variation des g* donne les équations de la gravitation :

(88) *-!£jî£ «?-.*},

*î = jl + 7 (?ri'i «î - /Vf - Ï.S»

La conservation de l'électricité s'exprime par l'équation :

C'est une conséquence, d'une part, des équations de Maxwell; elle

xammiE ciiwfani» me la »b Aimai,

peoft, d'aaftre put. se tirer des &pa»tiims de 1» gnrriMiat an raftoyai de nos résohals gè»ér»ŒL.

En effet, ooBtFKtotts ce demRres ea\ tt, 9

et pàsqae — F=2i. «m twww faim {M}. la

ndSe de rêaerfjie et de i"ïmpiilsiioa est, omvh «a linruît s y

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par «me translatàoa «■ sots propre j[to«mme OT> awae ? =ooot3L «=«] cm trovre,, ea effet, tant d"abord :

IVmt otoimir les éojaotioa'B de oamanaàiom,, cm doit éenre les éKmmmihlBmt:

de "■I - =©

©à sc= — 'îç^), «m ■iwliiflk pur s *et l'cm ajcmte à 4JS7). L\sa traorc-e alors :

et les lames iiiii'iesMitV^wpiii ~

Vmàvcts sfc-taq-oe est «bicorne dès rahaod; 9 s'agit de savoir si pametfcftnlrms^Fpemate

ChaofmmT rét-atoaaage de l^mrôeis statiaçme et dêsïfjacms les giam- ; relatives à ©et T-tiInaarifjr par des lettres ^mla&aflu, ; r«m ai :

CORSÉQ1 l Si ES DU PRINCIPE D'ACTION LE III S SIMPLE 263

9ik = — Fgik, donc g'* = —--j9Jg = f>ygt

l'équation (86) s'écrit :

mais cela prouve que F = const.

C'est parce qu'au terme cosmologique d'Einstein s'ajoute le terme électrique, que l'existence d'une particule matérielle est possible sans qu'il soit nécessaire d'exiger un horizon matériel. La particule est nécessairement chargée. Reprenons, pour déterminer les solutions à symétrie sphérique du cas statique, les anciennes notations du § 31, et soit <p le potentiel électrostatique, l'intégrale dont la variation est nulle est :

dr

(l'accent indique la dérivation par rapport à r). Les variations respectives de w, puis de A et enfin de ç donnent successivement :