LES BASES DE LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE
Q est la forme métrique fondamentale. Une représentation affine, qui fait correspondre au vecteur x le vecteur x' est une congruence, si elle laisse invariante la forme métrique fondamentale :
Deux figures, qui sont la représentation congruente l'une de l'autre, .cont congruentes. (Nous négligeons ici de faire la distinction entre la congruence directe et la congruence par réflexion. On eût pu la faire d'ailleurs pour la géométrie affine, et aussi bien dans la géométrie à n dimensions que dans celle à 3.)
La notion de congruence est donc définie.
Soit un ensemble d'opérations, pour lequel les axiomes du paragraphe 2 sont satisfaits, nous pouvons alors choisir une forme quadratique définie positive quelconque, que nous considérerons comme la forme métrique fondamentale de l'ensemble; par suite la congruence sera définie ; dans notre espace affine une métrique est introduite; et la géométrie euclidienne y est valable. — De nouveau, ces considérations ne sont pas liées à un nombre déterminé de dimensions. (10) et (9) nous montrent que pour une congruence, on a plus généralement :
Puisque la notion de congruence est définie par la forme métrique fondamentale, il n'y a rien d'étonnant alors, que celle-ci entre dans toutes les formules qui sont relatives à la mesure des grandeurs géométriques. Deux vecteurs a et a' sont congruents si l'on a :
Q(a) = <?(a') Nous pourrions prendre le nombre Q(a) comme mesure de la longueur du vecteur a, mais pour que la longueur de la somme de deux vecteurs parallèles soit égale à la somme des longueurs des parties, nous prendrons comme définition de la longueur du vecteur a la racine carrée positive de Q(a). Soient a, b et a', b' deux couples de vecteurs de longueur égale à l'unité, les deux figures qu'ils forment chacun sont congruentes, pourvu que :
Q(a,b) = Q(a',b') Nous ne prenons pas ce nombre Q (a, b) comme mesure de l'angle, mais nous définissons celle-ci par la relation
cos.6 = 0(a,b), afin que la mesure de la somme de deux angles soit égale à la somme des mesures des parties. L'angle 0 de deux vecteurs (a,b) quelconques, mais ^6 o, est alors donné par la relation :
rm * Q(a,b)
a et b sont rectangulaires, si Q(a,b)=o.
Que l'angle défini par (11) soit toujours réel, nous le voyons par la relation :
24 L 'espace euclidien
qui est vraie pour toute forme quadratique Q définie positive. En effet :
Q(x'a + jib) =X2Q(a) + 2XnQ(a,b) + n2Q(b)>o quels que soient X et n; donc le discriminant de la forme en (X, \i) n'est jamais positif, c'est-à-dire que
n vecteurs indépendants ei forment un système de coordonnées cartésien, si pour chaque vecteur
\loJ X = %iBi + ^2®2 "f" • • • + -^TiGn
on a :
c'est-à-dire si
g(x) = o;ÎH-xi H -ha;2
Q(*> **>>** lu.(i^fe)
Au point de vue métrique, tous les systèmes cartésiens sont équivalents. Nous allons reconnaître leur existence non seulement dans le cas où Q est définie, mais aussi pour tous les cas où Q est une forme quadratique non dégénérée; cela est d'importance pour le but que nous poursuivons, puisque la théorie de la relativité correspond précisément à une forme indéfinie. Nous affirmons :
Etant donnée une forme "quadratique Q, on peut toujours trouver un système de coordonnées ei, tel que Q prenne la forme :
En effet, on choisit un vecteur e,, pour lequel Q (ej 9^ o ; en le multipliant par un facteur convenable, on peut toujours s'arranger alors pour que Q(e,) = ± 1. Un vecteur x tel que Q(exx) =0 est encore dit orthogonal à e, . Si x* en est un, et si xx est un nombre quelconque on sait que de
on tire le « théorème de Pythagore » :
(15) Q(x) = x\ Q (e,)+ 2 x, Q (e,x*) + Q(x*) = ± x\ -+- Q(x*). Donc les vecteurs orthogonaux à e, forment une multiplicité linéaire à (n — 1) dimensions, à laquelle est attachée la forme non dégénérée Q(x). Puisque notre théorème est évident pour n=l, admettons qu'il soit vrai pour (n — 1) dimensions et démontrons alors qu'il est vrai pour n. C'est-à-dire admettons qu'il existe (n — 1) vecteurs e2,.... en orthogonaux à e,, tels que pour
X = X2G2 + • • • + XnQn
on ait
Q(X-) = ±a1±---± xl„, mais alors, pour Q(x), on trouve immédiatement la décomposition annoncée. L'on voit que
Q(ei)=8i, Q(ei,e*) = o. (i 36 ht)
Les et sont linéairement indépendants et chaque vecteur x se peut mettre sous la forme (13); cela est évident d'après les relations précédentes; on en tire encore :
