I.KS BASES I»r: LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE
1I6) Xi = Ei.Q(ei,x).
Si Q est une forme indéfinie, il existe encore un théorème important sur sa décomposition en une somme de carrés :
Les nombres r et s des quantités e( respectivement positives ei négatives sont déterminées univoquement par la forme quadratique; nous dirons que celle-ci a r dimensions positives et s dimensions négatives. (On a l'habitude de dire que s est l'indice d'inertie de la forme quadratique, et le théorème que nous venons d'énoncer s'appelle aussi la loi d'inertie des formes quadratiqubs (*). On sait, par exemple, que la classification des quadriques en découle. On peut caractériser encore les nombres r et s d'une manière qui rend évidente leur invariance. Il y a r vecteurs e, orthogonaux entre eux pour lesquels Q (e)>0; mais pour tout recteur x (=£0) orthogonal à tous ceux-là, on a Q (x)<0, de telle sorte qu'il n'y a pas plus de r vecteurs e indépendants. Idem pour s. Les r vecteurs en question sont, par exemple, les r vecteurs fondamentaux e», qui dans l'égalité (14) correspondent aux e,- positifs; les composantes Xi (i = 1, 2,.-, r) qui leur sont relatives sont des formes linéaires déterminées de x : Xi = Li(x). (Comp. 16). Si maintenant les e*(£=l, 2,... r) forment un système de vecteurs, orthogonaux entre eux deux à deux, et tels que 0 (ej)>o; et si x est un vecteur orthogonal à tous les ei, on peut trouver une combinaison linéaire
y = Â,e, +..., + xr e, + ux dont tous les .coefficients ne sont pas nuls, et tels que les r équations linéaires et homogènes :
L1(y) = 0, ..., /.,. (y) = o soient satisfaites.
Alors, comme le montre la forme normale, Q (y) est négatif, sauf si y = 0. La formule :
oiyj- ! ï]Q(e,) + ... + V:.Q(er) } = ^Q(x)
montre bien que Q (x)<0; (sauf si y = 0; X1 = Â2 = Xi = 0, mais alors puisque p^éO, x = 0.)
Dans la théorie de la relativité, on a à considérer de* formes quadratique» à une dimension négative, les \n-l) autres étant positives. Dans une espace à 3 dimensions, l'équation
— x\ H- x\ -I- ref = 0
est, en coordonnées affines, l'équation d'un cône dont le sommet est à l'origine ; ce sommet divise le cône en 2 nappes correspondant l'une aui x( négatifs, l'autre aux x( positifs. Dans la théorie de la relativité ces 2 nappes sont l'image du passé et de l'avenir. Soit Q une f.>rme non-dégénérée avec une seule dimension négative. Nous choisissons un vecteur e, pour lequel Q(e) = — 1 : les vecteurs X non nuls, pour lesquels Q(x) ^. 0, seront dits vecteurs négatifs. D'après la loi d'inertie, il n'y a pas de vecteurs nSjçatif* pour lesquels on ait : Q[B,X) = 0. Ils se décomposent donc en 2 classes, ou « Cônes » suivant les relation* Q{e Xi < 0 et Q e X) > 0, d appartient à la première, — e à la deuxième. Un vecteur X est « à l'intérieur » de la nappe ou « sur » la nappe suivant que Q X) < 0. ou Q(X> = 0.
Pour montrer que les 2 cônes sont indépendants du choix du vecteur e, il suffit
* Ce théorème est dû à Sylvester. (Note du traducteur).
26 l'espace euclidien
de faire voir que si Q(e) = Q(e') = — 1, on a Q(x) Z. 0, dès que le signe de
(. ' ' ) est le même que celui de — Q(e.e'). Qie.Xi/ •
En effet, chaque vecteur X peut se décomposer en :
X = are -+- X* la première partie étant proportionnelle à e, la deuiième X# lui élant orthogonale. On n'a pour cela qu'à faire x as — Q(e.X) et l'on a :
Q .xi = - xl -4- Qx'l Q*=Q(X* est, nous le savons, certainement ^0; la relation :
(Tara*-* Q»X> = Q,1e,X)-+-Q(X) montre que Q* est une forme quadratique de x dégénérée du resle) qui satisfait à l'inégalité : Q*(X)^0 quel que soit X. Posons maintenant :
Q(X) = - a;2 -4- Q'ix) Z.0 Q &) = — e" -+- Q'ie'l < 0
|x = -Qie,x)| [ e' = — Q[e,e') j
L'inégalité (12) appliquée à Q* donne :
j Q«(e',x) ) * £ Q'(e'). Q*(X) < e"*' ; donc :
— Q(e',x) = ^x - Q*(e',x) a le signe du premier terme e'x.
Nous revenons au cas intéressant où la forme fondamentale est définie. Prenons un système cartésien pour représenter une correspondance congruente; les coefficients a,* des formules (5') du § 2 doivent être tels que :
d'où l'on tire les relations :
H 10 (ï^fcjf)
qui sont les conditions d'orthogonalitê.
Elles expriment ce fait que dans la transformation inverse les^ a,A. se changent en les a7„ :
On en tire encore que le déterminant A = | in, | d'une transformation congruente est identique à celui de la transformation inverse, et puisque leur produit doit être égal à 1, on voit que A = ± 1. (Les deux signes permettent de distinguer les congruences vraies de celles que l'on obtient par réflexion.)
Pour le traitement analytique de la géométrie métrique, il y a deux possibilités. Ou bien, on ne particularise en aucune manière le système de coordonnées affine, et alors il faut développer une théorie de l'invariance vis-à-vis de n'importe quelle transformation linéaire pour laquelle, au contraire de la géométrie affine pure, une forme quadratique invariante est donnée une fois pour toutes: o'esl la forme métrique fondamentale :
LE BA8B8 DB LA GBOMBTBiB MÉTRIQUE 27
Ou bien l'on n'utilise que des systèmes de coordonnées cartésiens; alors il s'agit d'établir une théorie de l'invariance vis-à-vis des transformations orthogonales, c'est-à-dire des transformations linéaires dont les coefficients satisfont aux relations (17). Nous devons nous engager dans la première voie afin de pouvoir embrasser des généralisations qui dépassent la géométrie euclidienne. Il paraît aussi plus simple, algébriquement parlant, de considérer les expressions qui restent invariantes pour toutes les transformations linéaires, plutôt que celles qui ne sont invariantes que vis-à-vis des transformations orthogonales, lesquelles forment une classe caractérisée par des conditions algébriques assez complexes. Nous développerons donc cette théorie de l'invariance — dite calcul tensoriel — mais de telle manière qu'elle ne rende pas seulement possible l'étude des objets mathématiques, mais encore et surtout l'étude des lois physiques *).
§ 5. Les tenseurs
Deux transformations linéaires (18) *:*<£■*? (141=5*0)
(18') r, = 2 «fe ( I A I ^ 0)
des variables |, tj, en les variables l, r\, sont dites contragrédientes l'une de l'autre, si la forme bilinéaire unitaire 2U %*' se transforme en elle-même :
La relation de contragrédience est donc réciproque. Si, par un premier couple de transformations, A, A les variables \, r\ se transforment en %, r\, et si celles-ci au moyen d'un deuxième couple B, B. se changent en H, r\, on voit par les relations
que les deux transformations qui permettent de passer directement
des %, r] aux f, r\, sont aussi contragrédientes. Les coefficients des relations (18) et (18') satisfont aux relations :
28 l'espace euclidien
Si dans le premier membre de (19), on remplace les % par leurs expressions en les ï, on reconnaît que les équations (18') sont résolues par les relations :
'21) V = j£ «fa
ce qui montre aussi, qu'à une tranformation linéaire il correspond une et une seule transformation qui lui soit contragrédiente. De la même manière, on trouve :
En remplaçant les Et et les th par leurs valeurs dans (19), on voit que les coefficients satisfont encore aux nouvelles relations :
Une transformation orthogonale est une -transformation qui est à elle-même sa propre contragrédiente. Si l'on soumet une forme linéaire des variables |» à une transformation linéaire quelconque, les coefficients se transforment suivant des relations qui sont contragrédientes aux transformations des variables; on dit aussi qu'ils se comportent d'une manière contravariante (ou contrevariante) visà-vis des variables.
Relativement à un système de coordonnées affines 0 (e,^... e«) nous avons caractérisé les translations x par leurs composantes |i : x = £1e1 + ç2e2+ ... +%nen
Si l'on prend un autre système de coordonnées 0; e,, e2, ..., e„
où ë, = 2 a1', ek
les composantes de x se transforment par
comme il appert de
donc ces composantes sont soumises à une transformation qui est contragrédiente à celle que subissent les vecteurs fondamentaux du système de coordonnées, elles se comportent d'une façon contravariante à ceux-ci, nous les appellerons les composantes contravariantes du vecteur x. Dans l'espace métrique, on peut encore caractériser une translation par les valeurs des produits scalaires des •vecteurs fondamentaux e* par le vecteur qui la représente :
LES TENSEURS 29
S, = (x.e,-ï Dans le passage à un autre système de coordonnées, ces Ç< se transforment comme les vecteurs fondamentaux eux-mêmes, ou comme l'on dit, d'une façon cogrédiente aux vecteurs fondamentaux, soit par les équations :
« — j2j tti '* '
On le voit immédiatement par la signification géométrique de la notion ainsi définie; en effet les %• ne sont pas autre chose que 'es projections orthogonales du vecteur (x) sur les axes des vecteurs e».
On dit que les \; se comportent d'une manière covariante, et nous les dirons les composantes covariantes de la translation. La relation entre les composantes covariantes et les composantes contravariantes est donnée par la formule :
(Si) li == ^ M*) **>= J2 ^
et inversement, en résolvant, par :
can s. =. 2 $***• *)
Dans un système cartésien, les composantes covariantes coïncident avec les composantes contravariantes. Insistons encore bien sur ce point que dans un espace affine, seules les composantes contravariantes ont un sens, de sorte que lorsque nous parlerons des composantes d'une translation sans préciser plus, il sera bien entendu qu'il s'agit des composantes contravariantes.
Nous allons considérer maintenant des formes linéaires de plusieurs translations. Soit par exemple A (x, y, z) une forme trilinéaire; supposons que x et y soient donnés par leurs composantes contravariantes, et z par ses composantes covariantes par rapport à un système quelconque de coordonnées. Alors A sera une forme trilinéaire des ;', V, v avec des coefficients déterminés :
Dans un autre système de coordonnées son expression serait par exemple :
(23') 2*kïVÊ-
et l'on passe de l'une à l'autre de ces deux formes par des formules de transformation qui, pour les % et les r\ sont contragrédientes aux formules de transformation des vecteurs de base du système et pour les t, sont cogrédientes à celles-ci. On pourra alors calculer les coeffi-
*) On verra plus loin la signification des gik, qui est d'ailleurs évidente ici.
30 l'espace euclidien
cienls ali/t. si l'on s'est donné les a]k et si l'on connaît les coefficients a[ de la transformation de coordonnées. Nous sommes arrivés ainsi à la notion « d'un tenseur de degré (r + s), r fois covariant, s fois contravariant » (r = 2, s = l, r + s — 3, dans notre exemple qu'il est bien facile de généraliser), nous allons en donner une définition in abstracto, en particularisant malgré tout les nombres r et s comme dans l'exemple développé tout à l'heure, afin de ne pas compliquer trop les notations.
Une forme trilinêaire dépendant d'un système de coordonnées, et fonction de trois séries de variables, est un tenseur du 3e degré doublement covariant et simplement contravariant, si cette dépendance est telle que les expressions de la forme, dans deux systèmes de coordonnées :
se transforment l'une dans l'autre, quand l'on soumet deux des séries de variables (ici % et r{) à deux transformations contragrédientes à la transformation des vecteurs de base du système, et la 3e série (t) à une transformation cogrédiente à cette dernière. Les coefficients de la forme sont les composantes du tenseur dans le système de coordonnées ; nous les disons covariantes pour les indices ik, qui sont liés aux variables contragrédientes, et contr avariantes par rapport à l'autre indice l.
La terminologie adoptée se justifie en remarquant que les coefficients d'une forme simplement linéaire sont coAariants si les variables sont contragrédientes, et contra variantes si elles sont cogrédientes. Les indices dont on affecte les coefficients seront placés en haut, si par rapport à eux le coefficient est contravariant, en bas dans le cas contraire. Les variables affectées d'un indice inférieur sont toujours cogrédientes et celles dont l'indice est supérieur, contragrédientes par rapport aux vecteurs de base du système de coordonnées. Un système de coordonnées étant donné, un tenseur est parfaitement connu, si ses composantes dans le système sont connues; elles sont d'ailleurs arbitraires. La tâche du calcul tensoriel est de trouver les propriétés et les relations des tenseurs qui sont indépendantes des coordonnées choisies. Dans un sens étendu, une grandeur physique ou géométrique sera un tenseur, si elle détermine univoquement et sans arbitraire une forme algébrique linéaire, dépendant du système de coordonnées de la manière indiquée plus haut, et telle aussi qu'inversement la connaissance de cette forme la détermine complètement.
Nous avons considéré tout à l'heure une fonction de trois translations à coefficients doublement covariants et simplement contra variants; cela n'est possible que dans la géométrie métrique qui seule donne un sens aux mots composantes covariantes, etc. ; dans la géométrie affine, il eût fallu transformer l'expression de la forme pour ne la faire dépendre que des composantes contravariantes des trois translations.
LES TENSEURS 31
Donnons quelques exemples pour préciser ces questions en nous plaçant exclusivement au point de vue de l'affinité pure.
1) Représentons une translation a par ses composantes a* dans un système de coordonnées et faisons-lui correspondre, relativement à ce système, la forme linéaire :
des variables %*; on voit que les a* sont ainsi les composantes contravariantes d'un tenseur de premier ordre. Dorénavant, nous emploierons le mot « vecteur » non plus comme synonyme de translation, mais comme équivalent à « tenseur du lor degré » de telle sorte que nous dirons : la translation est un vecteur contravariant. La même chose a lieu pour la vitesse d'un point puisque celle-ci est le quotient d'une translation infiniment petite par dt. L'emploi actuel du mot vecteur est bien en accord avec la signification habituelle qu'on lui accorde; on sait en effet qu'un vecteur n'est pas seulement une translation, mais aussi n'importe quelle grandeur, qui après le choix d'une unité, peut être représentée univoquement et sans arbitraire par une translation.
2) On a l'habitude de considérer la force comme susceptible de recevoir une représentation géométrique analogue. Mais à cette représentation ordinaire de la force, on peut en substituer une autre qui, nous semble-t-il, s'applique mieux à l'essence physique de cette notion, parce que cette nouvelle interprétation repose sur la notion de travail plus claire, qui s'est placée au premier plan de la physique nouvelle. Soit un système de coordonnées 0 (ei), les nombres p* seront les composantes d'une force s'ils sont respectivement égaux au travail que l'on obtient dans les déplacements virtuels e* de son point d'application. La force est bien caractérisée par ces nombres; le travail qu'elle effectue pour le déplacement
x = i1e,+^2e2 + + %»en
de son point d'application est alors égal à \i /),?'.
Il s'ensuit que dans deux systèmes de coordonnées
Les variables \* étant contragrédientes aux vecteurs fondamentaux, la force est un vecteur covariant. On saisit immédiatement la parenté de cette interprétation avec l'ancienne en passant de notre point de vue de la géométrie affine à celui de la géométrie métrique. Remarques intermédiaires. — Puisque la transformation des composantes a, d'un vecteur covariant est contragrédiente à la transformation des composants £>* d'un vecteur contravariant, le nombre
7j aib' déterminé par ces deux vecteurs est indépendant du sys-
32 l'jbsp \ci: i.i CLIMEN
tème de coordonnées choisi. Nous avons ici le premier exemple d'une opération tensorielle invariante. Dans le système des tenseurs, les nombres ou scalaires ont le rang zéro. On sait ce qu'est une forme bilinéaire symétrique; on dira qu'une forme bilinéaire F (|ti) est symétrique gauche, si en échangeant les deux variables dont elle dépend, elle change de signe
F(iS = — M**)i donc les coefficients Oik sont liés par les relations :
aik = a/ci
Ces propriétés se conservent si l'on soumet les deux variables à la même transformation linéaire. C'est donc, pour un tenseur covariant du deuxième ordre, 'une propriété indépendante du choix d'un système de coordonnées, que d'être symétrique gauche, ou symétrique. C'en est encore une du même genre, que d'être représenté par une forme bilinéaire non dégénérée.
Puisque, par deux transformations contragrédientes des deux séries de variables, la forme bilinéaire unitaire ne change pas de forme, c'est qu'il existe un tenseur mixte (c'est-à-dire covariant pour un indice, contravariant pour l'autre) du 2e ordre, qui possède
dans chaque système de coordonnées les composantes o/l = v ~~
Nous l'appellerons le tenseur unité, ou le tenseur unitaire.
3) La métrique d'un espace euclidien fait correspondre aux deux translations :
^ sW y = 2 *»*
un nombre, indépendant des coordonnées choisies, qui est leur produit scalaire.
(xy) = 2 d>kVr]k, 9ik = (ei.ek)
Ut
La forme bilinéaire du second membre fournit un tenseur du deuxième ordre : le tenseur métrique fondamental. La métrique est déterminée parfaitement dès qu'on en connaît les composantes; son tenseur est symétrique et non dégénéré.
1) Une transformation vectorielle linéaire fait correspondre à toute translation x une translation x' telle qu'à X + y doit correspondre x' + y' et au produit XX le produit Xx'. Pour caractériser d'un mot une telle transformation, nous l'appellerons une matrice. Si les vecteurs fondamentaux sont transformés par les relations :
e'i = 2 afc* /.■' une translation quelconque
(24) X = ^£j £'e* se transforme en x' = ^ t*r* = S "*£<e*-
LES TENSEURS 33
Dans le système (e»), la matrice est donc caractérisée par la forme bilinéaire :
2 aK%
ik
(24) montre que, pour deux systèmes de coordonnées, on a la relation :
2 «ft& - 2 a^'e* (= x/)
ik ik
si 2 ** = 2 ^ei (= x);
c'est donc que l'on aura :
si les Tii sont cogrédients et les l* contragrédients aux e».
De cette manière, la matrice est représentée par un tenseur mixte du deuxième ordre. En particulier, la matrice qui fait correspondre x à lui-même, est le tenseur unité.
Les exemples empruntés à la notion de force et à la métrique ont montré que la représentation d'une grandeur physique ou géométrique par un tenseur n'est possible que si l'on s'est donné une unité de mesure; lorsqu'on change celle-ci, les tenseurs représentatifs sont multipliés par un nombre qui est le rapport des unités et qui, par suite ne dépend pas des coordonnées.
La définition de la notion de tenseur est donc la suivante : Une forme linéaire de plusieurs séries de variables dépendant d'un système de coordonnées, est un tenseur, si elle a une valeur indépendante de ce système, quand on y remplace chaque série de variables contragrédientes par les composantes d'un vecteur contravariant arbitraire, et chaque série de variables cogrédientes par un vecteur covariant quelconque.
Revenons à la géométrie métrique; alors entre la covariance et la contravariance qui, dans la géométrie affine, sont deux notions relatives au tenseur lui-même, la différence de signification disparaît presque, pour ne laisser place qu'à une différence de représentation. Au lieu des tenseurs covariants, contravariants ou mixtes, nous parlerons plus volontiers des composantes covariantes, contravariantes ou mixtes d'un tenseur. Ce passage se formule aisément. Considérons dans un tenseur, les variables contragrédientes comme les composantes contravariantes d'une translation quelconque, et les variables cogrédientes comme les composantes covariantes d'une translation ; le tenseur se change alors en une forme linéaire de plusieurs translations arbitraires, cette forme étant attachée à un système de coordonnées; en représentant à volonté les arguments par leurs composantes, ou covariantes, ou contravariantes, nous passons alors à une
Weyl. — Temps, Espace, Matière. 3
34 l'espace euclidien
autre représentation du même tenseur. Algébriquement, cette transformation s'effectue par les formules (22) qui font passer des variables contravariantes V aux variables covariantes £» correspondantes; la nature invariante de ce procédé repose sur le fait que cette substitution transforme des variables contragrédientes en variables cogrédientes. La transformation inverse est donnée par les formules
Le passage du contravariant au covariant, ou l'abaissement de l'indice, se fait donc toujours par le schéma :
ai est remplacé par a» =^gija\
que a* soit affecté ou non d'autres indices. L'élévation de l'indice se fait par les formules inverses. Appliquons cela au tenseur métrique fondamental, on trouve :
ik i k ik
ses composantes mixtes sont donc les nombres §£, ses composantes contravariantes gih sont symétriques à cause de la symétrie du tenseur même. gik n'est pas autre chose que le quotient du mineur relatif à gik dans le déterminant | gik j , par ce déterminant luimême.
Quant aux notations, nous faisons une fois pour toutes les conventions suivantes : les composantes d'un même tenseur sont désignées par une même lettre, qu 'elles soient covariantes, contravariantes ou mixtes ; la position des indices nous renseigne précisément sur leur nature. L'exemple suivant emprunté à un tenseur du deuxième degré nous montre les différentes écritures d'un même tenseur :
iA- ik ik ik
où les grandeurs avec indices supérieurs ou inférieurs sont accouplées suivant les formules (22).
Dans l'espace métrique, la différence entre un vecteur covariant et un vecteur contravariant tombe d'après ce qui a été dit; nous pouvons donc représenter une force aussi bien par une translation que par un vecteur covariant, car la forme linéaire
peut aussi bien être représentée par
comme il appert des formules suivantes
LES TENSEURS 35
i ik ik i
la translation représentative p est donc déterminée par la condition que le travail effectué par la force pour un déplacement arbitraire x soit égal au produit scalaire de p par x. Dans un système de coordonnées cartésien où le tenseur métrique a les composantes
les relations (22) deviennent V' — li. Si donc, nous nous bornons à remploi de tels systèmes de coordonnées, la différence «ntre la covariance et la contravariance tombe, aussi bien pour les tenseurs que pour les composantes des tenseurs. Il faut mentionner toutefois que les notions analysées jusqu'ici ne supposent, relativement aux Çik, que la symétrie et la non-dégénérescence de la forme métrique, alors que l'introduction d'un système cartésien suppose que la forme métrique est définie positive. Cela n'est pas indifférent. Dans la théorie de la relativité, aux trois coordonnées d'espace s'ajoute la coordonnée de temps qui est équivalente aux trois premières, et la détermination métrique ne repose pas sur une forme définie, mais bien sur une forme indéfinie (Chap. III). Si, dans cette multiplicité à quatre dimensions, nous nous bornons à des coordonnées réelles, nous ne pouvons y concevoir aucun système cartésien, mais les notions développées jusqu'ici conservent toute leur extension pourvu qu'on les spécialise pour n=A . D'ailleurs une vue rétrospective sur nos calculs montre bien la simplicité algébrique de nos notions, et comme nous le disions à la fin du paragraphe 4, nous voyons tout l'intérêt qui s'attache à des considérations qui ne sont pas établies exclusivement au moyen des systèmes cartésiens. Enfin et avant tout, il est d'importance en vue d'extensions débordant la géométrie euclidienne, que l'on puisse déjà ici, développer complètement la géométrie affine par une méthode indépendante de considérations métriques.
Les grandeurs géométriques et physiques sont des scalaires, des vecteurs et des tenseurs ; c'est par elles que s'exprime la nature mathématique de l'espace dans lequel ces grandeurs existent. Ces calculs symétriques ont leur application en physique aussi bien qu'en géométrie, car les phénomènes naturels se déroulent dans un espace métrique ; le calcul tensoriel est l'instrument mathématique naturel pour l'expression des lois auxquelles ces phénomènes sont soumis.
§ 6. — Algèbre tensorielle. — Exemples.
Addition des t-ensears. — Si l'on multiplie une forme linéaire d'une, de deux,... de plusieurs séries de variables par un nombre,
36 l'espace euclidien
et si l'on additionne deux formes linéaires d'une, de deux... de plusieurs séries de variables, on obtient évidemment une forme analogue à celles dont on est parti. On peut donc additionner des tenseurs de même degré et de même espèce, et on peut les multiplier par un nombre (scalaire). Ces opérations s'effectuent d'une part, par la réduction des termes semblables dans les sommes, c'est-à-dire par l'addition des composantes, ou d'autre part en faisant le produit des composantes par le multiplicateur. Dans l'ensemble des tenseurs de chaque ordre, il y a un tenseur, le tenseur nul, dont toutes les composantes sont nulles; en l'additionnant à n'importe quel tenseur de même ordre, celui-ci reste inaltéré. — L'état d'un système physique est donné par les valeurs d'un certain nombre de scalaires et de tenseurs ; si, par un certain nombre d'opérations mathématiques, on obtient un tenseur invariant T nul, l'égalité T=0 exprime une loi naturelle.
Exemples : Le mouvement d'un point est connu analytiquement si l'on se donne le lieu du point mobile, c'est-à-dire ses coordon
dxi nées Xi en fonction du temps t- (*). Les dérivées — - sont les cornât
posantes contra variantes u' du vecteur «vitesse». Son produit par un scalaire m, la masse du point (qui exprime l'inertie de la matière), est la quantité de mouvement. En ajoutant toutes les quantités de mouvement relatives à tous les points matériels d'un système ou à tous les points d'un corps solide, on obtient la quantité de mouvement totale du système ou du solide. Dans le cas d'un corps continu les sommes sont des intégrales. Si les G' sont les composantes contra variantes de la quantité de mouvement d'un point, et les p* celles de la force, les équations du mouvement sont :
dG* (25) — = p{; G1 = mw.
Ces équations ne sont possibles que dans un espace métrique, et non dans un espace affine où la force est un vecteur covariant. Les mêmes lois sont valables pour la quantité de mouven.ent d'un corps solide.
Multiplication des tenseurs. — Par la multiplication de ieux formes linéaires
des variables % et r\, on obtient une forme bilinéaire
^aib&rf ; Ht
*) A cause de la signification très précise des coordonnées xit et de leurs différentielles dxit nous laisserons les indices en bas, bien que ces grandeurs-là soient contravariantes.
ALGÈBRE TENSORIELLE .37
par suite, les deux vecteurs a et b donnent naissance à un tenseur de deuxième ordre : leur produit :
(2b) aibk = en.
Les équations (26) représentent une relation invariante entre les vecteurs a et 6 et le tenseur c, c'est-à-dire que dans un nouveau système de coordonnées où les composantes de ces grandeurs sont en, bi, dk on a encore
a*bk = Cik.
De la même manière, on pourra effectuer la multiplication d'un tenseur de premier ordre par un tenseur de deuxième ordre (et plus généralement de deux tenseurs d'ordre quelconque); le produit de :
2*jg' par ]£f>fa%
i ik
est donné par la forme trilinéaire :
et l'on obtient le tenseur de troisième ordre c, par les relations :
«.•H = cii- On voit par cette opération, que chaque composante de l'un des facteurs doit être multipliée par chaque composante de l'autre ; on obtient donc autant de composantes distinctes pour le produit qu'il est de fois possible d'effectuer des produits 2 à 2; les indices doivent être toujours nettement séparés. On peut remarquer que les composantes covariantes par rapport à l du tenseur c s'obtiennent aisément en passant de :
clk = aibl à cm — aibki ; il est donc possible de déplacer dans chaque membre le même indice.
Exemples de tenseurs symétriques et symétriques gauches. — De deux vecteurs dont les composantes contravariantes sont ai et b» on tire par multiplication un tenseur y** = albk ; si l'on forme cik — vik y*» — aH)k ai,bi 0n obtient un tenseur symétrique gauche que l'on appelle le produit vectoriel de a et b. Si l'on distingue dans l'espace à trois dimensions un sens de rotation, il est possible d'établir entre ces tenseurs et les vecteurs, une correspondance univoque et réciproque qui permette par suite de représenter le tenseur c par un vecteur. (Dans l'espace à quatre dimensions, cette représentation est impossible parce qu'un tenseur symétrique gauche de deuxième ordre y possède six composantes indépendantes, tandis qu'un vecteur n'en a que quatre; la même impossibilité est manifeste pour des espaces à un plus grand nombre de dimensions. Les considérations qui suivent ne valent que pour trois dimensions. Utilisons un système cartésien et introduisons avec a et b une translation l; le déterminant :
38 l'espace euclidien
ci $* £3
-S cMÇl^jjMÇl^^llÇS
se trouve multiplié par le déterminant des coefficients de la transformation quand on change de système d'axes cartésiens. Mais ce dernier déterminant est ±1; si l'on se borne aux transformations qui sont des congruences au sens propre, c'est-à-dire si l'on se borne aux transformations pour lesquelles le déterminant est +1, la forme en \ reste alors inchangée; donc on peut faire correspondre, par les formules
e« = c*, c31 = c*, cXi = c*
un vecteur covariant au tenseur symétrique gauche c; ce vecteur correspond au tenseur d'une manière qui est invariante vis-à-vis de toutes les transformations orthogonales. Le vecteur c* est perpendiculaire aux deux vecteurs a et b et sa longueur est mesurée par le même nombre que l'aire du parallélogramme construit sur a et b. Cette substitution du vecteur au tenseur dans le calcul vectoriel ordinaire est justifiée par l'économie de notation qu'elle procure. Mais à beaucoup d'égards, elle cache l'essence de la chose, et, en électrodynamique, par exemple, elle amène à considérer dans l'espace où se déroulent les phénomènes électrodynamiques, un sens de rotation particulier (que la règle fameuse du bonhomme d'Ampère détermine) et qui ne s'impose pas d'après la nature des choses, mais que l'on est amené à introduire parce que le champ magnétique est considéré comme un vecteur, alors qu'en réalité, il est un tenseur symétrique gauche. S'il nous avait été octroyé une dimension spatiale de plus, cette erreur ne se fût jamais produite. Dans la mécanique, le tenseur symétrique gauche : produit de deux vecteurs se présente :
1) Comme moment de la quantité de mouvement par rapport à un point 0. Si S;1, \2, \3 sont les composantes de OP, u* lea composantes de la vitesse du point matériel P de masse m, le moment de la quantité de mouvement est défini par :
Lik = miu'^ — u^*).
Pour un corps sofrde qui tourne autour d'un point fixe, on fait la somme de ces quantités-là pour chaque point.
2) Il se présente encore comme moment d'une force. Si celle-ci s'applique au point P et si p' sont ses composantes contra variantes, ce moment est :
q* =p«'£* — pk%.
Par addition on trouve le moment de toutes les forces appliquéesà un système par rapport au point 0.
Pour un point matériel, comme d'ailleurs pour un corps solide, il faut adjoindre à (25) les relations :
ALGÈBRE TENSORIELLE 39
in Ç->i
pour obtenir les lois complètes du mouvement.
Si le point 0 est fixe, les seules équations à considérer pour trouver le mouvement d'un corps solide qui tourne autour de 0 sont les équations (27).
Un autre exemple de tenseur symétrique gauche est la vitesse de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe 0. Si par une rotation autour de 0 le point P va en P' , on peut dire que OP' et aussi PP', réalisent une correspondance linéaire de OP. Si %■' sont les
composantes de OP, Sij* celles de PP', vik les composantes de cette correspondance (matrice), on a :
Si l'on ne considère que des rotations infiniment petites, elles sont caractérisées par des matrices infinitésimales telles que l'on ait identiquement en \
ce qui donne :
JgW = o.
en introduisant o£' donné par (28), il vient :
et par suite, puisque cette relation est identique en \ :
Vki -*- «i* = <> ;
Le tenseur u« est donc symétrique gauche.
Un corps solide en mouvement éprouve une rotation infiniment petite pendant le temps dt. Nous n'utiliserons que le quotient du tenseur v par dt (pris à la limite), ce qui nous donnera un nouveau tenseur symétrique gauche : la vitesse angulaire quç nous désignerons encore par v puisque la confusion n'est pas à craindre. Les formules (28) se transforment dans les formules fondamentales de la cinématique du corps solide :
où les «i sont les composantes covariantes de la vitesse du point P. L'existence d'un cure instantané de rotation découle du fait que les équations linéaires :
40 l'espace euclidien
dans le cas de n = 3, possèdent toujours des solutions non-nulles si vue — — vu. On a l'habitude dans ce cas de considérer la vitesse de rotation comme un vecteur dirigé suivant l'axe de rotation.
Le moment d'inertie d'un corps offre enfin un exemple de tenseur symétrique de deuxième espèce. Le point matériel P de masse m détermine avec 0 le vecteur OP, dont nous appellerons £* les composantes contravariantes; le tenseur symétrique de deuxième espèce dont les composantes contravariantes sont m;';A" (multiplication) est dite l'inertie de rotation du point matériel relativement à 0. L'inertie de rotation Tik d'un système de points est la somme des inerties de chaque point. La définition s'écarte de celle qu'on donne habituellement pour le moment d'inertie; mais c'est bien celle qui convient si l'on considère la vitesse de rotation, non pas comme un vecteur, mais comme un tenseur. Pour les rotations autour de 0, le tenseur V* joue le même rôle que le scalaire m pour les translations.
Contraction* . — Si les c* sont les composantes mixtes d'un tenseur de deuxième espèce, 2 c; est un invariant. Si donc les c* sont les
composantes mixtes du même tenseur dans un autre système de coordonnées, on a :
En effet, les variables ?', t,,- de la forme bilinéaire sont soumises aux transformations contragrédientes
qui transforment la forme bilinéaire en :
ik
ce qui montre que :
" ik V r /
et à cause de (20')
as > c;
* Nous traduisons le mot Verjûngung des Allemands par contraction suivant l'exemple de M. Langevin, N. d. T.
ALGÈBRE TENSORIELLE 41
L'invariant formé ainsi avec les composantes d'une matrice Vc; est dit la trace de cette matrice, t
Nous pouvons déduire de cela une opération de calcul général pour les tenseurs : la contraction; comme la multiplication, elle permet la formation de nouveaux tenseurs à partir de tenseurs connus. Considérons parmi les composantes mixtes d'un tenseur celles qui ont un indice supérieur bien déterminé, égal à un indice inférieur bien déterminé lui aussi, et faisons la somme de ces composantes par rapport à cet indice commun, nous obtenons un nouveau tenseur dont l'ordre est diminué de 2 unités; par exemple le tenseur aj^ du 5e ordre donne le tenseur :
