IX

du 3e ordre. Les relations (30) sont invariantes, c'est-à-dire que pour un nouveau système de coordonnées, on a

\-lr

Pour le faire voir, considérons 2 vecteurs contravariants |*, ij* et un vecteur covariant Çf; nous formons avec eux les composantes :

nil

d'un tenseur mixte du 2e ordre, or

ce qui montre, en ayant recours à (30) et (31) que :

hl hil

c'est-à-dire que les cki sont les nouvelles composantes du tenseur

Nous avons déjà rencontré de nombreux exemples de contraction. Partout où il fallait sommer par rapport à un indice, le terme général de la somme était affecté de l'indice de sommation une fois supérieurement et une fois intérieurement; une telle sommation n'était pas autre chose qu'une contraction. Par exemple, par les formules (29) on procède à la contraction du tenseur du 3e ordre Vik%1 produit de fa par V, en considérant les composantes va\k et en sommant par rapport à k, on obtient le tenseur contracté du 1er ordre u». Si une matrice A transforme x en x' = A (x), une deuxième matrice B, x' en x" = B (x')( il existe une matrice composée BA qui permet de passer directement de x à x", x" =BA (x). Si A a les composantes ûf , B les composantes bkt, celles de BA sont :

42 l'espace euclidien

encore ici il s'agit de multiplication suivie de contraction. La contraction peut s'effectuer simultanément pour plusieurs couples d'indices. Les tenseurs ai, auc, (hu de lre, 2e, 3e... espèce fournissent les invariants :

i ik ikl

Si la forme quadratique qui correspond au tenseur métrique fondamental est définie positive, ces invariants sont tous positifs; car dans un système cartésien, ils sont simplement égaux à la somme des carrés des composantes. Nous dirons, comme dans le cas d'un vecteur, que la racine carrée positive de ces invariants est la valeur absolue ou la grandeur du tenseur de lre, 2e, 3e.... espèce qui leur donne naissance.

Dorénavant, nous faisons la convention suivante : Si dans un terme d'une formule, affecté d'indices, et représentant les composantes d'un tenseur, il se présente un indice double, supérieur et inférieur, il sera toujours entendu que l'on doit contracter par rapport à cet indice sans qu'il soit nécessaire d'indiquer toujours l'opération par un signe

Les opérations d'addition, multiplication et contraction ne supposent que les principes de la géométrie affine ; elles ne se basent sur aucun « tenseur métrique fondamental », seul le procédé qui permet le passage des composantes covariantes aux composantes contravariantes et inversement suppose des considérations métriques.

Les équations d'Euler. — Pour nous exercer au calcul tensoriel, nous allons chercher les équations du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, en supposant qu'il n'est soumis à aucune force; on sait qu'elles sont dues, sous la forme cartésienne, à Euler. Les équations (27) peuvent s'écrire :

dUk

multiplions-les par les composantes contravariantes d'un tenseur symétrique gauche quelconque, indépendant du temps et contractons par rapport à i et k. Si Hik est égal à la somme

étendue à tous les points matériels du corps on aura :

— Likwik = Uikwik = //

où H est un invariant et nos équations sont synthétisées en une seule :

ALGÈBRE TENSORIELLE 43

En ayant recours aux expressions (29) de U» et à l'expression du tenseur d'inertie T, on trouve :

(33) lllk = Vtrn.

Jusqu'ici nous avons utilisé un système de coordonnées fixe dans l'espace. Les -composantes d'inertie T£ varient avec la répartition des masses au cours du temps. Utilisons plutôt, pour obvier à cet inconvénient» un système d'axes fixes dans le corps ; désignons par les mêmes lettres que tout à l'heure les composantes des tenseurs par rapport à ce nouveau système et par des lettres surlignées les composantes dans l'ancien système. A cause de l'invariance de H, l'équation (32) est encore valable. Les Tk sont maintenant des constantes ; les wik sont variables avec le temps. Notre équation donne :

dllik ., JT dwik

divik Pour déterminer — — - nous choisissons deux vecteurs fixes dans dt

le corps, dont les composantes covariantes sont (dans le système lié au corps) \i et r\i ; elles sont variables avec le temps. L'on a d'ailleurs :

w*im = wikJm>

et par suite :

drtk

"dt

mais, d'après (29) on a :

— = Virï = Vikr.

ai et par suite, le 2' membre de (35) est :

ÏÛ'*(î>iV,fc H- VkUrlr), mais puisque c'est un invariant, cm peut supprimer les barres sur chaque lettre, et par suite tout rapporter au système fixe dans le corps mobile :

dwik

*'T'k~dT = ""^Afi + ^fc)-

Si les H a sont des nombres quelconques, on aura, par suite de l'identité précédente en \ et tj :

dtv'k Hik-jr = w*(VlHrk+vkHir).

Si l'on prend, en particulier, pour Ha les grandeurs désignées pré-

44 l'espace euclidien

cédemment par ces lettres, le 2e terme de (34) est déterminé et notre équation s'écrit :

~£ -+■ {vKHrk -+- vlHir) J w* = o

C'est une identité pour tous les tenseurs symétriques gauches iu** ; par suite, on a :

d{IIik — Hki) ( V-Hrk -+- vrkHir

dt ' l-vlHri-v\Hkr'

Introduisons les expressions (33) de Hik ; à cause de la symétrie des Ta

vlllir = vkv*Trs

est aussi symétrique en i et k ; les deux derniers termes de l'accolade se détruisent ; introduisons encore le tenseur :

vriVkr = grsv;vk = (vvjik,

nos équations deviennent :

-£ (virn-vkrT>;) = (vv)irn-(vv)krTl.

On sait qu'il est possible de trouver un système de coordonnées cartésien, formé par les axes principaux d'inertie pour lequel

gik =) -,,[ et Ti% = o (pour i z£ k) I oyi ^L k)

Posons Tx, au lieu de Ti : de même pour les autres indices; dans le nouveau système de coordonnées, les équations se simplifient :

{Tt -h Tk) -^ = [Tk — Ti)(vv)ik.

Ce sont les équations différentielles pour les composantes Va de la vitesse angulaire inconnue; on sait que ces équations s'intègrent par le moyen de fonctions elliptiques de t. Les moments d'inertie principaux Ti introduits ici sont en relation simple avec ceux que la théorie habituelle appelle T* ; on a :

t* = Ti-h Ts, 71* = T3 -+- T„ T* = T, -h T2.

Le problème de la rotation d'un corps solide a été traité ainsi d'une manière générale et notre solution est indépendante du nombre des dimensions de l'espace ; au point de vue pratique n>3 n'a pas de signification, mais il est intéressant de s'être affranchi de la valeur particulière que peut avoir le nombre des dimensions de l'espace, et l'expression des lois de la nature sous une telle forme nous garantit que leur signification mathématique complète est atteinte.

L'initiation au calcul tensoriel — abstraction faite de l'appréhension que causent les indices, et qui doit être vaincue — est certainement entourée de difficultés. Mais c'est bien la méthode de calcul

formel la plus simple ; elle est beaucoup plus simple que la méthode du calcul vectoriel élémentaire.

2 opérations : multiplication et contraction : juxtaposition des composantes de 2 tenseurs avec des indices différents — identification de 2 indices, supérieur et inférieur, et (implicitement) sommation par rapport à l'indice commun : vraiment la simplicité en est grande ! On a essayé plusieurs fois d'établir une méthode de calcul invariante en procédant avec les tenseurs eux-mêmes, et non pas avec leurs composantes, de même qu'en calcul vectoriel on procède avec le vecteur et non pas avec ses composantes. Mais les résultats obtenus se montrent absolument inutiles et inadéquats à l'extension du calcul tensoriel, on est obligé d'introduire un» foule de noms, de notations, de règles de calcul, ce qui fait que le gain que l'on croyait trouver en considérant le tenseur in globo est bien plutôt une perte. On doit protester énergiquement contre l'abus de ce formalisme avec lequel on commence aujourd'hui à surcharger même les techniciens.

§ 7. — Propriétés de symétrie des tenseurs

Par les exemples précédents, on se rend compte que les tenseurs de 2e espèce symétriques et symétriques gauches représentent des espèces de grandeurs tout à fait différentes. Le caractère d'une grandeur n'est donc pas encore complètement défini, quand on a dit qu'elle est représentable par un tenseur de tel ou tel degré ; il faut encore ajouter à ces données-là des attributs de symétrie.

Une forme linéaire de plusieurs séries de variables est dite symétrique si elle n'est pas altérée quand on y permute deux des suites quelconques de variables ; elle est symétrique gauche si cette permutation change son signe. Une forme symétrique ne change donc pas si l'on permute entre elles les séries de variables d'une manière quelconque ; une forme symétrique gauche reste inaltérée pour les permutations de classes paires des séries de variables ; pour une permutation de classe impaire, elle change de signe. Les coefficients diki d'une forme trilinéaire symétrique, par exemple, satisfont aux conditions :

<kkl = Clkli = Uujt = &kïl = Olki = dilk,

Si la forme est symétrique gauche les coefficients qui ont deux mêmes indices sont nuls, et pour ceux dont les 3 indices sont différents, on a :

Uikl = Ctkli = dlik = dkil = O-lki = Uilk-

Il ne peut donc exister de formes symétriques gauches non nulles identiquement, construites avec des séries de n variables, pour un nombre de séries supérieur à n. De même qu'une forme bilinéaire symétrique correspond univoquement et réciproquement à la forme quadratique que nous avons appris à lui adjoindre, de même à une

é6 l'espace euclidien

forme trilinéaire symétrique on fait correspondre la forme cubique d'une seule série de variables dont les coefficients sont Oiki et celle-ci détermine aussi univoquement celle-là. Si l'on effectue dans une forme trilinéaire symétrique gauche

iki les 3 1 permutations des variables \, r\, Ç, les formes obtenues seront du signe de F ou du signe contraire, suivant que la permutation qui les a fait naître est paire ou impaire ; si l'on fait abstraction du signe on obtient 6 fois la forme primitive. Additionnons-les toutes ensemble, en négligeant les variations de signe, on trouve alors pour F l'expression :

tj* r/

Kk V

La propriété pour une forme linéaire d'être symétrique, ou d'être symétrique gauche, n'est pas détruite si l'on effectue sur chaque série de variables la même transformation linéaire. Par suite, il est naturel de parler de tenseurs covariants ou contravariants symétriques ou symétriques gauches. Mais pour des tenseurs mixtes, ces expressions n'ont aucun sens. Les tenseurs symétriques ne donnent lieu à aucune autre remarque ; nous allons nous étendre davantage sur les tenseurs symétriques gauches parce qu'ils ont une signification importante.

Par les composantes |* d'une translation, on se donne la direction d'une droite, son sens de parcours et la grandeur d'un segment. Si £*, t]* sont deux translations linéairement indépendantes, issues d'un même point, elles déterminent un plan. Les grandeurs :

déterminent par leurs rapports, la direction du plan (une direction de surface) de même que les g* déterminent par leurs rapports la direction d'une droite (une direction de ligne). Les Ç* sont nuls si les deux translations £4 et if sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire si elles ne déterminent aucune multiplicité à 2 dimensions. Les deux translations linéairement indépendantes l et r\ étant données, on peut en tirer pour le plan qu'elles déterminent un sens de rotation bien défini : ce sera le sens de la rotation qu'il faut faire pour amener la direction de \ sur la direction de r\ en effectuant un angle moindre que 180°; de plus, elles déterminent un nombre qui est la mesure de l'aire du parallélogramme construit sur Ç et t). Si l'on considère deux translations \ et i\ issues de 0, et deux autres S* et *)«. issues d'un autre point 0* , les 3 grandeurs qu'elles déterminent chacune : situation du plan, sens de rotation, et aire, sont respectivement égales l'une à l'autre si les \ik de l'un des couples sont égaux à ceux de l'autre.

De même que les %* déterminent la direction d'une droite, un sens de parcours sur cette droite et la grandeur d'un segment, de même les Vfc déterminent la direction d'un plan, un sens de rotation dans ce plan et la grandeur d'une aire. On voit bien l'analogie complète. Nous dirons que la lT* de ces expressions (£*) est un élément d'espace à 1 dimension, et la 2e (£ifc) un élément d'espace à 2 dimensions. Le carré de la grandeur du premier élément est l'invariant :

celui du 2e élément est :

qu'on peut écrire aussi :

De la même manière, on peut faire correspondre à 3 translations indépendantes £, r\, Ç, les déterminants :

gi p p

£«*' = t,» rtk 1)1

que l'on peut considérer comme les composantes d'un élément d'espace à 3 dimensions, dont la grandeur est la racine carrée de l'invariant :

Dans l'espace à 3 dimensions, cet invariant est :

£.6123 — n •/7„./ï.,IfiÀ;i£l23

et puisque |iw=±£123 suivant que ikl est une permutation paire ou impaire, notre invariant est :

où g est le déterminant des gi*. Le volume du parallélipipède devient ainsi :

rt

pris en valeur absolue. C'est bien la formule que donne la géométrie analytique. On peut généraliser facilement ces considérations pour un espace à un nombre quelconque de dimensions.

Il résulte de la manière d'écrire une forme linéaire employée dans (36) que, à un élément d'espace à une dimension, on peut faire correspondre un tenseur covariant d'ordre 1, à un élément d'espace à deux dimensions un tenseur covariant d'ordre 2, etc. Nous sommes donc fondés à désigner les tenseurs covariants symétriques gauches sous le nom de tenseurs linéaires. Dans le domaine des tenseurs linéaires, mentionnons les deux opérations :

48 l'espace euclidien

(37) dibk — akbi = Ciic.

(38) dibu + akbu + aibiJc = au ;

la première donne un tenseur linéaire de deuxième ordre, la deuxième en donne un de troisième ordre. Parfois, on est amené à considérer des conditions de symétrie plus compliquées que celles que nous avons vues jusqu'ici. Ainsi, parmi les formes quadrilinéaires F (\rfe'r\') celles-ci jouent un rôle important qui satisfont aux conditions suivantes :

(39,) F(rtfr{) =* /T(ï„1') = - f(fcÇy);

(392) W&iJ = /WV) ;

(39.) F(^W) + mW-n) -+- «$ft!Q = o.

On peut montrer en effet que, à chaque forme quadratique d'un

élément d'espace à deux dimensions

gi& __ gijj* — ^i

on peut adjoindre une et une seule forme quadrilinéaire F satisfaisant aux conditions précédentes et qui engendre précisément la forme quadratique si l'on identifie les 2 couples £', v\' et \, r\. Nous devrons donc utiliser des tenseurs covariants de 4e espèce, répondant aux conditions (39) lorsque nous considérerons des fonctions qui dépendent quadratiquement d'un élément de surface.

L'aspect le plus général des conditions de symétrie pour un tenseur F du 5e ordre — nous prenons un exemple déterminé pour fixer les idées — dont la première, la deuxième et la quatrième série de variables sont contragrédientes, la troisième et la cinquième étant cogrédientes s'expriment ainsi :

Ves^ = o ; s où S représente toutes les permutations des 5 séries de variables qui échangent les séries contragrédientes entre elles et les séries cogrédientes entre elles. Fs est la forme qui s'obtient en effectuant sur F la permutation S. La sommation est étendue à tous les S, après qu'on ait multiplié chaque F$ par un coefficient approprié es qui correspond à S. Les caractères de symétrie d'une espèce déterminée de tenseurs s'expriment par une ou plusieurs conditions analogues.

§ 8. — Analyse tensorielle — Tensions

Les grandeurs qui caractérisent l'état d'un système physique variable d'un point à un autre point de l'espace qu'il occupe, n'ont pas une valeur unique, mais elles changent aussi d'un point à un autre; mathématiquement, ce sont des « fonctions du lieu ». Suivant que les grandeurs sont des scalaires, des vecteurs ou des tenseurs, nous aurons à faire à des champs scalaires, vectoriels ou tensoriels. Un tel champ est donné, si pour chaque point de l'espace

ou pour chaque point d'une région déterminée de l'espace, on connaît le scalaire, le vecteur ou le tenseur en question. Si nous utilisons un système particulier de coordonnées, alors là valeur de la grandeur scalaire, ou les valeurs des composantes du vecteur ou du tenseur dans ce système, sont dès fonctions des coordonnées du point où l'on considère précisément l'une de ces quantités. L'analyse tensorielle apprend comment on peut obtenir à partir d'un champ de tenseur un nouveau champ de tenseur, lié au précédent d'une manière invariante, et cela par dérivation relativement aux coordonnées. Comme l'algèbre tensorielle, l'analyse tensorielle es! très -impie; elle ne connaît qu'une opération : la différentiation.

Soit . <p = / (x{x2, . . . xu) = / (x)

un champ scalaire donné; la variation de <p, lorsqu'on soumet le point (xlt x2 ... x„) à une translation infiniment petite par laquelle Xi s'accroît de dx\ est donnée par :

àf dl ôj

df = ~ dxi -h -r— dx2 h — -+- • - dxn dx\ OXi dxn

Le sens de cette formule est le suivant : si A-r» sont les composantes d'une translation fixe et A/ la variation qu'elle fait subir à /, la différence entre :

A/ et 2

&Xi

dxi

tend vers zéro avec les composantes de la translation et aussi avec I Az, | + | Ax2 | + ...+ | Axn | A cette différentielle, nous faisons correspondre la forme linéaire des variables c' :

Effectuons ces calculs dans un autre système de coordonnées, il s'ensuit par la définition même de la différentielle, que cette forme linéaire se transforme en une deuxième qui est analogue, si l'on soumet les V à une transformation contragrédiente à celle des vecteurs de base.

Par suite :

EL. il, ... EL

dxt dXï ' dxn

sont les composantes covariantes d'un vecteur qui correspond au champ scalaire 3, cette correspondance étant indépendante du choix des coordonnées. Dans le calcul vectoriel ordinaire, ce vecteur est le gradient (grad. <p) du scalaire- <p.

L'extension à un champ tensoriel quelconque se fait immédiatement.

Soient, par exemple, /(',. (x) les composantes d'un champ tensoriel de 3e ordre :

Weyl. - Temp*, Espnc, Matière. 4

50 l'espace euclidien

est alors un invariant, si nous y considérons les lh comme les composantes covariantes d'un vecteur que nous supposerons constant, c'est-à-dire indépendant du lieu, et les rf et les Ç{ comme les composantes eonlravariantes de deux vecteurs qui eux aussi seront supposés constants, La variation de cet invariant lorsqu'on passe du point (xt) au point (Xi + dxi) ésl par suite :

dxt c'est-à-dire que les :

fu */&

dx,

sont les composantes d'un .champ tensoriel du 4e ordre qui provient du champ considéré par un procédé de calcul, indépendant du système de coordonnées choisi. Ce procédé est celui de la différenlintion; comme on le voit lorsqu'on l'applique à un tenseur, on en obtient un nouveau dont l'ordre est plus élevé d'une unité. Il est à remarquer encore, par suite de l'indépendance du tenseur métrique fondamental par rapport au lieu, que l'on obtient par exemple, les composantes eonlravariantes du tenseur formé relativement à l'indice k en déplaçant tout simplement l'indice k dans l'expression

dît

trouvée, soit ■ ■ ' ■ ;' le passage du covariant au contra variant

OXi

et la différentiation sont des opérations permutables. La différentiation peut donc être exécutée formellement de la manière suivante: on considérera les expressions :

comme les composantes covariantes d'un vecteur par lequel on mul-

tiplie le tenseur à différencier; la dérivée partielle — - sera con-

OXi

sidérée comme le produit symbolique de / par -r— . Le vecteur

symbolique (40) est souvent désigné par l'épithète pleine de mystère de « vecteur Nabla ».

Exemples. — Le vecteur covariant w, donne naissance par dériva -

du, tion au tenseur — = u.jt. Nous formons avec lui en particulier oxk

le tenseur linéaire de deuxième espèce dont les composantes covariantes sont :

Pris avec le signe contraire, on l'appelle dans le calcul vectoriel ordinaire le rotationnel (rot. ou curl.). Au contraire les grandeurs

\ / dm duk

2 \0xk àx

sont les composantes covariantes d'un tenseur symétrique du 2e ordre. Si le vecteur u représente la vitesse d'une portion de matière continue et mobile, cette vitesse étant fonction du lieu, l 'évanouissement de ce dernier tenseur en un point nous permet de considérer le voisinage immédiat de ce point comme analogue à un corps solide, tout au moins si l'on se place au seul point de vue cinématique; nous pouvons donc désigner ce tenseur sous le nom de « tenseur de déformation ». Enfin les composantes mixtes u[ donnent naissance par contraction au scalaire :

dw

àx;

qui est connu en analyse vectorielle sous le nom de divergence (div.).

D'un tenseur de 2e espèce aux composantes mixtes S1- on fait naître par différentiation et contraction le vecteur

dxk

Si Vik sont les composantes d'un champ de tenseurs linéaires de 2" espèce, et si l'on se reporte à la formule (38) en mettant u à la place de b et en prenant pour a le vecteur symbolique (40), on obtient un tenseur de 3e ordre dont les composantes sont :

dxi dxk àxi

Le tenseur (41) (curl) s'évanouit si u est le gradient d'un champ scalaire; le tenseur (42) est nul, si u,* est le curl d'un vecteur u».

Tensions. — Un excellent exemple^ de champ tensoriel nous est fourni par les tensions qui existent dans un corps élastique; c'est d'ailleurs à ce propos que le mot tenseur a été forgé. Dans un corps élastique à la surface duquel s'exercent des tractions ou des pressions, à l'intérieur duquel des forces de volume (par exemple, la pesanteur) agissent sur les parties de la matière, il s'établit un état d'équilibre dans lequel les forces de cohésion, suscitées par la déformation, tiennent en échec les forces précédentes. Imaginons une portion J du corps, éloignons les autres parties de la matière, les forces de volume qui s'exercent dans J ne seront pas en équilibre; mais on peut le rétablir en faisant agir sur la surface Q de J les pressions ou les tractions que la partie de la matière enlevée exerçait auparavant. En effet, sans nous préoccuper de la structure atomique de la matière, nous pouvons nous figurer que les forces de cohésion ne sont agissantes que dans le voisinage immédiat des points où elles naissent, de telle sorte que l'action de la matière enlevée ne se faisait sentir auparavant que sur la surface de J par

52 l'espace euclidien

des pressions et dv< tractions: Si Tdw est la force agissant sur l'élément de surface (fa>, T signifiant donc la pression par unité de surface, T ne doit dépendre que du lieu où se trouve di» et de la direction de la normale n à cet élément, dirigée vers l'intérieur de J. Au lieu de T, nous écrivons pour exprimer cette dépendance T„. Si — n est la direction opposée à n, on voit que si un petit disque, infiniment mince est en équilibre, on a : (43) r„ = - TV

Utilisons des coordonnées cartésiennes xlt x2, x3. Désignons par Tx, T2, T3 les pressions par unité de surface, qui s'exercent contre des éléments de surface, dont les normales intérieures sont respectivement dirigées parallèlement à. l'axe des xx, à l'axe des xa et "à l'axe des x3. Nous choisissons 3 nombres positifs o^ a2, a3 et un nombre positif aussi e, qui devra tendre vers zéro (les a, sont fixes). Nous portons à partir du point considéré et dans les directions des axes des coordonnées, les segments :

OPi = €rti, 0/>, = efl8, 0/>3 = ta3

et nous considérons le tétraèdre OP^P2P3; nous réservons le nom de faces pour OPlP2, OP2P3, OP3P1, tandis que nous appellerons PlP2P3 la base. Si / est l'aire de la base et x^ x2, x3 les cosinus directeurs de la normale intérieure n, à la base, les aires des faces sont :

— /a, ( = %e2a2a3), —fa2, — /*»•

La force qui s'exerce sur les faces et sur la base vaut donc :

1\ T» — («iTj + <x2T2 + <y.3T3 j

/ est de l'ordre de e2; les forces de volumes qui s'exercent sur le tétraèdre ne sont que de l'ordre de e3. Pour que l'équilibre soit réalisé, il faut que :

Tn = x,7\ + a,T3 + y.3T3; à l'aide de la relation (43), on voit aisément que cette équation est valable quel que soit l'endroit où se trouve le tétraèdre. Soient 7',,, .Ti2, T-3 les composantes de T» dans le système d'axes choisi et 5*i V les composantes de deux translations de longueur 1, d'ailleurs quelconques, l'expression :

(44) V^TiàS"

est. la composante dans la direction de % de la pression sur un élément de surface dont \ est la normale ultérieure. La forme bilinéaire (44) a donc une signification indépendante du système de coordonnées; les T^ sont les composantes d'un tenseur qui est la tension. Puisque nous opérons avec des systèmes cartésiens nous n'avons pas besoin ici de faire la distinction entre la covariance et la contravariance.

Formons le vecteur T[ avec les composantes Tlit T.,h Tti. La composante de T'i suivant la direction de la normale inté-

PROPRIÉTÉS DE SVMKTIUE DES TENSEURS 53

rieure n d'un élément de surface est égale alors à la composante de

Tn suivant l'axe tk-s xx. La composante suivant x1 de la pression

totale sur l.i surface £! qui limite ./. est par suite égale à l'intégrale

de surface de la composante normale de T\; mais cette intégrale

est égale-, d'après le théorème de Gauss, à l'intégrale de volume :

fdtV T\ <l\ ;

Les mêmes raisonnements sont valables pour les 2 autres composantes.

Nous avons donc à former le vecteur p dont les composantes sont :

v ôrki

(on voit bien que c'est une formation invariante); les pressions T sont donc équivalentes à des forces de volume dont la direction et la grandeur par unité de volume sont données par p, de telle sorte que pour chaque partie de matière J, l'on a :

(45) fTndo = rpdV.

Si k est la force donnée par unité de volume, la première condition d'équilibre pour la partie du corps que nous avons isolée est :

fp + k)(/r= 0, j

el puisqu'elle doit avoir lieu quel que soit J, elle entraîne : (46) p + k = 0.

Si nous choisissons une origine quelconque 0, et si x représente le vecteur OP qui va de 0 au point P du corps, pour lequel on cherche les conditions d'équilibre, la 2e condition d'équilibre : l'équation des moments, est :

f[x,Tn]4w+ f[x,k>/r = 0, Q J

où la parenthèse carrée [ ] indique. un produit vectoriel; or puisque

(46) doit avoir lieu, on conclut que :

f\x..rn]dw = f\*,v}dv j

La composante de [x, Tn] suivant Oj, est égale à la composante de x2T'3 — xsT'2 suivant n ; le théorème de Gauss donne pour cette première composante la valeur :

— /,div(£c27'3' — x3T2)dV, J et l'on obtient la relation :

div (xtT3 - Xi?1*) = — (x2p3 — x3p.2). Le premier membre est :

(xt div /'j — x3 div T2) -t- ( T3 • grad x2 — 7'2 ' grad x3) = — (^2^3 — x3p2) -H ( 7'23 — Ta) .

54 l'espace euclidien

La dernière condition d'équilibre équivaut aux suivantes T —T T —T T —T

c'est-à-dire à la symétrie de la tension T. Pour une translation |* quelconque

est la composante suivant £ de la pression par unité d'aire qui s'exerce contre un élément de surface perpendiculaire à l. (Ici. on peut utiliser de nouveau un système de coordonnées quelconque, et non plus seulement un système cartésien). Les tensions sont équivalentes à une force de volume dont la densité p se calcule, par les formules invariantes :

dTk

Dans le cas d'une pression p égale dans toutes les directions on a :

La notion de tension est ainsi définie et précisée au point de vue mathématique. Nous n'avons pas le dessein d'établir plus avant les lois fondamentales de l'élasticité qui exigent qu'on connaisse la dépendance entre les tensions et la déformation.

§ 0. — Le champ électromagnétique stationnaire

Là où il était question de choses mécaniques ou physiques, nous avons réussi à mettre les lois qui les régissent sous forme de relations tensorielles invariantes. Nous avons eu l'occasion d'expliquer la signification du calcul tensoriel, par des exemples concrets et de préparer les analyses ultérieures, qui s'appliqueront aux théorie^ physiques. soit pour elles-mêmes, soit pour leur signification pour le problème du temps. A ce point de vue, la théorie du champ électromagnétique deviendra d'une «importance très grande; c'est de plus la partie la plus parfaite de la physique. Pour l'instant, nous nous bornons au cas où le temps n'intervient pas, c'est-à-dire au cas où seuls des rapports indépendants du temps sont à considérer.

La loi de Coulomb de l'électrostatique peut s'exprimer de la manière suivante : Si des charges quelconques sont réparties dans l'espace avec la densité o, elles exercent sur une charge ponctuelle e la force

(48) k = ce

où

(49) *=-f£ïdv

LE CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE STATIONNAÏRE 55

Ici, r est le vecteur OP qui joint l'origine 0 en laquelle on détermine e, au point argument ou point-source P, d'après lequel on intègre; r est la longueur de ce vecteur, dV l'élément de volume. La force se compose de deux facteurs, la charge e du corps d'épreuve qui ne dépend que de l'état de ce corps et le champ e, qui au contraire n'est déterminé que par la répartition des charges dans l'espace. Nous nous représentons alors les charges de la manière suivante : même dans le cas où nous n'observons pas la force k avec un corps d'épreuve, nous imaginons que les charges réparties dans l'espace créent un champ électrique représenté par le vecteur e; la force qui nous en donne connaissance est donnée par la formule (48).

On voit d'ailleurs que e dérive d'un potentiel — <p *

(50) e = grad a» ; — 4 *<p =& / — dV

Donc : 1) e a un tourbillon nul ; 2) le flux de e à travers toute surface fermée est égal aux charges qui sont à l'intérieur de cette surface, ce qui revient au même de dire que l'électricité est la source du champ électrique; en formules on a :

(51) rot e = o div e = q

De ces simples lois différentielles, on peut tirer la loi de Coulomb, en supposant que le champ e soit nul à l'infini. En effet, la première équation (51), nous montre que e = grad <p, et pour déterminer 9, la deuxième nous donne l'équation de Poisson Acp = q, dont la solution est donnée par (50).

La loi de Coulomb est une loi d'action à distance ; elle exprime que le champ en un point dépend des charges situées en tous les autres points de l'espace, les plus éloignés comme les plus proches. Au contraire les formules (51), beaucoup plus simples d'ailleurs, expriment des lois d'action de contact, puisque pour la détermination de la dérivée d'une fonction en un point, il suffit de connaître l'allure de cette fonction dans un voisinage arbitrairement petit autour de ce point; les valeurs de q et e en un point et dans un un voisinage immédiat sont liées par les équations (51). Ces lois d'action de contact doivent être considérées comme la vraie expression des dépendances entre les actions qui s'exercent dans la nature; l'équation (49) ne doit être considérée que comme une conséquence mathématique des équations (51); grâce aux équations (51) dont la signification intuitive est si simple, nous croyons comprendre d'où vient la loi de Coulomb. Certainement, nous obéissons avant tout à une contrainte d'ordre épistémologique; Leibnitz déjà, a formulé comme un principe général, la condition de continuité et d'action de contact, et la loi newtoniehne d'action à distance par la gravitation, qui correspond tout à fait à la loi de Coulomb, n'a pu le

*Pour la suite (§ 26) il est plus commode d'appeler le potentiel — »: au lieu de © comme il est d'usage).

5G l "espace euclidien

satisfaire. Mais en plus de cela, la pénétration mathématique et le sens intuitif simple des lois (51) nous apprennent une fois de plus que, si en physique, nous pénétrons le sens d'un certain domaine phénoménal jusqu'à en énoncer les lois, celles-ci se formulent mathématiquement d'une façon très harmonieuse. Enfin, en ce qui concerne son côté physique, la théorie de Maxwell nous donne la preuve de l'extraordinaire fécondité qui est la conséquence de la substitution du point de vue des actions de contact à celui des actions à distance. Le champ exerce sur les charges qui l'engendrent une force dont la densité par unité de volume est donnée par la formule

C'est ainsi que nous aurons à interpréter d'une manière étroite l'équation (48). Introduisons un corps d'épreuve chargé dans le champ, sa charge appartient aussi aux charges créatrices du champ, et la formule (48) ne pourra nous donner l'état du champ e, avant l'introduction du corps épreuve que si la charge e de ce dernier est très faible afin qu'elle n'altère qu'imperceptiblement le champ. Il y a là une difficulté qui embarrasse toute la physique expérimentale : par l'introduction des instruments de mesure, on altère les rapports que l'on veut précisément mesurer; c'est là pour une grande partie, la source des erreurs que l'expérimentateur doit chercher à éliminer par un redoublement d'habileté.

La loi fondamentale de la mécanique : Masse x accélération = force, nous apprend quelle sorte de mouvement prend une masse soumise à l'influence des forces données (pour certaines vitesses initiales données). Ce qu'est la force, la mécanique ne nous l'apprend pas, nous le savons par la physique. La loi fondamentale de la mécanique est un schéma qui n'enferme un contenu concret que si le concept de force qu'on y introduit est explicité par la physique. Les essais malheureux faits pour développer la mécanique comme une discipline fermée ne se sont jamais appuyés que sur une interprétation de la loi fondamentale qui en fait une définition : la force est définie par le produit masse x accélération. Ici, dans l'électrostatique, nous voyons ce qu'est la force et comment elle se détermine au moyen de (52) par les grandeurs d'état : charge et champ. Si nous regardons les charges comme données, les équations (51) nous montrent comment le champ est déterminé. On sait que les charges sont liées à la matière. La théorie électronique moderne montre que cela doit être entendu dans un sens très étroit : la matière se compose de particules élémentaires : les électrons, qui possèdent une masse invariable et bien déterminée, et une charge invariable aussi. Là où nous observons l'apparition de nouvelles masses, il faut admettre simplement que des charges élémentaires positives et négativès, naguère très rapprochées les unes des autres, à tel point que leurs actions à distance se compensaient, se sont séparées ; il se « forme » par un tel processus autant d'électricité positive

que d'électricité négative. D'après cela, les lois forment un cycle fermé; la répartition des particules d'électricité, munies une fois pour toutes de charges fixes et leurs vitesses (car nous devons aussi envisager le cas non-stationnaire) déterminent le champ; le champ exerce sur la matière chargée une force pondéromoirice dont (52) nous donne la valeur, cette force détermine, d'après la loi fondamentale de la mécanique, l'accélération tl par suite la répartition et les vitesses des masses à chaque instant. C'est toute cette dépendance théorique qui est susceptible d'une vérification expérimentale. Si nous admettons que le mouvement de la matière est ce que nous pouvons observer directement (ce qui du reste peut être donné) — ce n'est pas une loi particulière arrachée à cet ensemble que l'on vérifie. La dépendance entre l'expérience immédiate et celle que la raison cherche à saisir conceptuellement dans une théorie, comme étant la chose objective, cachée derrière elle, n'est pas aussi simple que l'on puisse croire que chaque hypothèse particulière de la théorie possède un sens intuitif immédiat. Nous verrons plus tard, plus distinctement encore, que la géométrie, la mécanique et la physique forment de cette manière une unité théorique indissoluble, que l'on doit avoir en bloc devant les yeux, quand on se demande si ces sciences-là expriment rationnellement la réalité transcendante à la conscience, mais dont on a connaissance par les états de conscience : la vérité forme un système. Du reste, l'image du monde que nous commençons d'esquisser, est caractérisée par le dualisme de la matière et du champ, qui se trouvent dépendre l'un de l'autre; c'est seulement par la. théorie de la relativité que ce dualisme pourra être détruit, ce qui permettra de construire une physique du champ seulement (voir § 25).

La force pondéromotrice dans le champ électrique a été réduite déjà par Faraday à des tensions. Utilisons un système de coordonnées rectangulaires xlt x2. x3, dans lequel Eit E2. E:i sont les composants de la force électrique, la composante suivant l'axe des a", de la densité de f rce est :

„ ., (àEx di:> 01- ,\.

àxi

par un calcul simple, qui fait intervenir le fait que e est privé de tourbillon, on trouve que les composantes p, de la densité de force dérivent par les formules (47) d'un tenseur dont les composantes Sik sont représentées par le tableau :

±.(El + E>^,El)t - E&

- EiE, E&

I I — IE1 -+- El — Er

58 l'espace euclidien

On voit bien que Sik = Ski. Il faut remarquer avant tout l'importance de ce fait : c'est que les composantes de ce tenseur en un point, ne dépendent que de la force électrique en ce point. (Elles ne dépendent que du champ et non pas de la charge.) Toutes les fois qu'une force p se détermine par les équations (47) au moyen d'un tenseur S du 2e ordre et symétrique, ne dépendant que des valeurs des grandeurs qui déterminent l'état physique au point considéré, nous regarderons ces tensions comme des grandeurs primordiales, les actions des forces n'étant que leurs conséquences. La justification mathématique de cette manière de voir provient de ce que la force p s'obtient par différentiation de la tension; de cette manière là. on n'obtient pas la tension par intégration, ce qui aurait le désavantage de faire intervenir toutes les valeurs des grandeurs d'état et non pas simplement la valeur au point considéré. Puisque les forces électriques qui agissent sur un corps chargé s'obtiennent à partir d'un tenseur symétrique du deuxième ordre, il s'ensuit que la force résultante, comme le moment résultant s'évanouissent (parce que l'intégrale d'une divergence étendue à tout l'espace est toujours nulle); cela veut dire qu'un système isolé, formé de masses chargées, primitivement en repos, ne peut se mettre de soi-même et en bloc en mouvement de translation ou de rotation. Le tenseur (53) est naturellement indépendant du choix du système de coordonnées. Si nous introduisons le carré de la valeur absolue du champ :

| E l2 = EiË\ on a en effet :

Sik = lgih ! E\2 — EiE* ce qui donne les composantes covariantes de la tension, non seulement dans le système cartésien de coordonnées, mais aussi dans un système quelconque de coordonnées affines, si les Ei sont les composantes covariantes du champ dans ce système. La signification intuitive des tensions est très simple. Utilisons en un point des coordonnées rectangulaires, dont l'axe des xx est dirigé suivant le champ e alors :

les tensions consistent en une traction d'intensité — | E {* dirigée suivant les lignes de forces et en une pression de même valeur perpendiculairement à celles-ci.

Les lois électrostatiques fondamentales peuvent être synthétisées sous la forme tensorielle suivante :

(1) — = o, ou hi -